专题4-3 简单的三角恒等变换讲-2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版 含解析 精品

第03节三角恒等变换
【考纲解读】
【知识清单】
1.两角和与差的三角函数公式的应用
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
；
T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
.
变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
错误！未找到引用源。

.
函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2
＋b 2
sin(α＋φ)或f(α)＝a 2
＋b 2
cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 对点练习：
【2018广西南宁二中、柳州高中9月联考】若错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

为第三象限角，则错误！未找到引用源。

等于( )
A. 7
B. 错误！未找到引用源。

C. 1
D. 0
【答案】A
本题选择A 选项.
2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
C 2α：cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝2cos 2
α－1＝1－2sin 2
α； T 2α：tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α. 变形公式：
cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2
α＝1－cos 2α2
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
对点练习：
【2017浙江，18】已知函数f （x ）=sin 2
x –cos 2
x –错误！未找到引用源。

sin x cos x （x 错误！未找到引用源。

R ）．
（Ⅰ）求错误！未找到引用源。

的值．
（Ⅱ）求错误！未找到引用源。

的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为错误！未找到引用源。

，单调递增区间为错误！未找到引用源。

． 【解析】
（Ⅱ）由错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。

的最小正周期是错误！未找到引用源。

由正弦函数的性质得错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。

的单调递增区间是错误！未找到引用源。

．
【考点深度剖析】
对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．
【重点难点突破】
考点1两角和与差的三角函数公式的应用
【1-1】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】错误！未找到引用源。

的值是
（ ）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】D
【解析】故选D.
【1-2】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆错误！未找到引用源。

：错误！未找到引用源。

，点错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，记射线错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

轴正半轴所夹的锐角为错误！未找到引用源。

，将点错误！未找到引用源。

绕圆心错误！未找到引用源。

逆时针旋转错误！未找到引用源。

角度得到点错误！未找到引用源。

，则点错误！未找到引用源。

的坐标为__________． 【答案】错误！未找到引用源。

【解析】设射线OB 与错误！未找到引用源。

轴正半轴的夹角为错误！未找到引用源。

，有已知有错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，C 点坐标为错误！未找到引用源。

. 【1-3】已知：αππ∈⎛⎝
⎫⎭⎪434，，βπ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪04，，且cos sin παπβ435541213
-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫
⎭⎪=-，，则()cos αβ+=_______. 【答案】65
33-
【解析】错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

【领悟技法】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． 2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．
提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π
2(k ∈Z )，即保证tan α，
tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π
2
(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．
【触类旁通】
【变式一】已知错误！未找到引用源。

均为锐角，且错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

．
（Ⅰ）求错误！未找到引用源。

的值；
（Ⅱ）求错误！未找到引用源。

的值．
∴错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

．
【变式二】已知函数错误！未找到引用源。

的部分图像如图所示.
（Ⅰ）求函数错误！未找到引用源。

)的解析式，并写出错误！未找到引用源。

的单调减区间；（Ⅱ）错误！未找到引用源。

的内角分别是A,B,C.若错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

,求错误！未找到引用源。

的值.
【解析】（Ⅰ）由图象最高点得A=1，
由周期错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

.
当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，可得错误！未找到引用源。

，
因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

．
错误！未找到引用源。

.
由图象可得错误！未找到引用源。

的单调减区间为错误！未找到引用源。

.
考点2 二倍角公式的运用公式的应用
【 2-1】【2017浙江ZDB 联盟一模】已知错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

，则
错误！未找到引用源。

__________，
错误！未找到引用源。

__________． 【答案】 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

【解析】因为错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，因此错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

.
【2-2】【江苏省淮安市五模】已知错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值为 ． 【答案】错误！未找到引用源。

【2-3】已知错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值为__________.
【答案】错误！未找到引用源。

【解析】因为，所以错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，又因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

.
【领悟技法】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
【触类旁通】
【变式一】已知错误！未找到引用源。

，
（1）求错误！未找到引用源。

的值；
（2）求错误！未找到引用源。

的值．
【变式二】已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值为（）
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】A
【解析】由二倍角公式得错误！未找到引用源。

，整理得错误！未找到引用源。

，
因此错误！未找到引用源。

，由于错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，故答案为A ． 考点3 三角恒等式的证明 【3-1】求证：
cos 2
α
1tan
α2
－tan α2＝1
4sin 2α.
【解析】∵左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2
α
cos 2α2－sin 2α2sin α2cos
α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin
2α2＝cos 2
αsin α2cos α2cos α
＝cos αsin α2cos α2＝1
2sin αcos α
＝1
4sin 2α＝右边．
∴原式成立．
【3-2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)
sin α
－2cos (α＋β
).
【3-3】已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
证明：错误！未找到引用源。

.
【解析】错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，
又错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

. 【领悟技法】
1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．
(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．
(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．
（3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． 2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝α＋β2－α－β2；
α－β2＝错误！未找到引用源。

.
（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等 【触类旁通】
【变式一】求证：错误！未找到引用源。

. 【解析】左边＝sin α
cos α
＋错误！未找到引用源。

故原式得证．
【变式二】已知错误！未找到引用源。

，证明：错误！未找到引用源。

.
【解析】左边错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

右边.
故原命题成立.
考点4三角函数的综合应用
【4-1】【2018湖北省部分重点中学起点】设函数错误！未找到引用源。

，其中θ∈错误！未找到引用源。

，则导数f ′(1)的取值范围是________．
【答案】[错误！未找到引用源。

，2]
【4-2】【2017浙江温州二模】已知函数错误！未找到引用源。

．
（1）求函数错误！未找到引用源。

的最小正周期；
（2）若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

的值.
【答案】（1）错误！未找到引用源。

；（2）错误！未找到引用源。

.
【解析】试题解析：
（1）错误！未找到引用源。

∴函数错误！未找到引用源。

的最小正周期是错误！未找到引用源。

（2）错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，又错误！未找到引用源。

.
∴错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

.
【4-3】【2018江苏海安上学期第一次测试】已知向量错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
（1）若错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

的值；
（2）记错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

的最大值和最小值以及对应的错误！未找到引用源。

的值．
【答案】(1) 错误！未找到引用源。

;(2) 当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

取到最大值3；当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

取到最小值错误！未找到引用源。

..
【解析】试题分析：（1）依据题设条件错误！未找到引用源。

建立方程错误！未找到引用源。

分析求解；（2）先运用向量的坐标形式的数量积公式建立函数错误！未找到引用源。

，然后借助余弦函数的图像和性质进行探求：
解：（1）因为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，
所以错误！未找到引用源。

.
若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，与错误！未找到引用源。

矛盾，故错误！未找到引用源。

.
于是错误！未找到引用源。

.
又错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

.
【领悟技法】 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为错误！未找到引用源。

的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．
【触类旁通】
【变式一】【2017浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】函数错误！未找到引用源。

的部分图
象如图所示,M 为最高点,该图象与y 轴交于点错误！未找到引用源。

,与x 轴交于点B,C, 且错误！未找到引用源。

的面积为错误！未找到引用源。

．
(Ⅰ)求函数错误！未找到引用源。

的解析式； (Ⅱ)若错误！未找到引用源。

,求错误！未找到引用源。

的值.
【答案】( Ⅰ) 错误！未找到引用源。

；(Ⅱ) 错误！未找到引用源。

.
【解析】试题分析：
试题解析： ( Ⅰ)因为
, 所以周期，， 由,得, 因为
,所以, 所以； (Ⅱ)由,得, 所以
.
【易错试题常警惕】 易错典例：若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2
－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．
易错分析：不注意挖隐含条件，角错误！未找到引用源。

的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．
正确解析：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，
温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.
【典例】在平面坐标系错误！未找到引用源。

中，直线错误！未找到引用源。

与圆错误！未找到引用源。

相交于错误！未找到引用源。

,（错误！未找到引用源。

在第一象限）两个不同的点，且错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

的值是（）
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】A
∴错误！未找到引用源。

．。