高中数学 三角函数系列课时教案25

第二十五教时三角函数
教材：综合练习课
目的：复习和角、差角、二倍角及半角，积化和差、和差化积、万能公式，逐渐培养熟练技
巧。

过程：
一、 小结本单元内容——俗称“加法定理”
1． 各公式罗列，其中和、差、倍角公式必须记忆，要熟知其结构、特点
2． 了解推导过程（回顾）
3． 常用技巧：
1︒化弦 2︒化“1” 3︒正切的和、积
4︒角变换 5︒“升幂”与“降次” 6︒
辅助角
二、 例题：
例一、《教学与测试》 基础训练题
1． 函数x x y 2cos )23
sin(3--π=的最小值。

（辅助角） 解：x x x x x y 2sin 2
32cos 212cos )2sin 212cos 23(3-=--= 1)26
sin(-≥-π=x 2． 已知的值。

，求x x 2sin 13
5)4sin(-=π- （角变换） 解：169
119)135(21)4(sin 21)]4(2cos[)22cos(2sin 22=--=π--=π-=-π=x x x x 3． 计算：(1 +3)tan15︒-3 （公式逆用）
解：原式= (tan45︒+ tan60︒)tan15︒-3=tan105︒(1-tan45︒tan60︒)tan15︒ -3
= (1 -3) tan105︒ tan15︒ -3= (1 -3)×(- 1)-3 = - 1
4． 已知sin(45︒ - α) = 3
2-，且45︒ < α < 90︒，求sin α （角变换） 解：∵45︒ < α < 90︒ ∴-45︒ < 45︒-α < 0︒ ∴cos(45︒-α) = 3
5 cos2α = sin(90︒-2α) = sin[2(45︒-α)] = 2sin(45︒-α)cos(45︒-α) =954- 即 1 - sin 2α = 9
54-， 解之得：sin α = 61022+ 例二、已知θ是三角形中的一个最小的内角，
且12
sin 2cos 2sin 2cos 2222
+=θ-θ-θ+θa a a ，求a 的取值范围 解：原式变形：1)2sin 2(cos )2sin 2(cos 2222+=θ-θ-θ-θa a 即1cos )1(+=θ-a a ，显然1≠a （若1=a ，则 0 = 2）
∴11cos -+=
θa a 又∵30π≤θ<，∴1cos 2
1<θ≤ 即：11121<-+≤a a 解之得：3-≤a 例三、试求函数2cos sin 2cos sin +++=x x x x y 的最大值和最小值。

若]2,0[π∈x 呢？
解：1．设]2,2[)4sin(2cos sin -∈π+=
+=x x x t 则x x t cos sin 212+= ∴1cos sin 22-=t x x
∴]23,43[41)21(122+∈+
+=++=t t t y ∴4
3,23min max =+=y y 2．若]2,0[π∈x ，则]2,1[∈t ，∴]23,3[+∈y
即3,23min max =+=y y
例四、已知tan α = 3tan(α + β)，6π=
β，求sin(2α + β)的值。

解：由题设：)
cos()sin(3cos sin β+αβ+α=αα 即sin α cos(α + β) = 3sin(α + β)cos α 即sin(α + β) cos α + cos(α + β)sin α = 2sin α cos(α + β) - 2cos αsin(α +
β)
∴sin(2α + β) = -2sin β 又∵6π=β ∴sin β2
1= ∴sin(2α + β) = -1 三、作业：《教学与测试》P117—118 余下部分。