系统函数

Ak(1)k (k)
不在实轴上：
z
Az e
j

z
Az ej
2 | A | cos(k )(k)
(z
Az e j)2
(z
Az ej)2

2
|
A|
k
cos[(k
1)
](k )
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信号与系统 电电子子教教案案 （3）单位圆外的极点：
2
0

0

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信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
2、离散系统H(z)与系统频率响应：
设H(z)的收敛域包含单位圆，对因果系统，H(z) 的极点全部在单位圆内，则系统的频率响应为：
H (e jT ) H (z) |zejT

i 1
Ai
e
ji
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信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
| H (e jT ) |bmB1B2 Bm A1 A2 An
(T ) (1 2 m ) (1 2 n )
例：H (z) z 1 , | z |1 , 画出系统幅频响应曲线。
7.1 系统函数与系统特性
在实轴上：
Az Aak(k ), | a |1 z a
(z
Az a)2

Akak1(k )
不在实轴上：
z
Az e
j
z
Az ej

2
|
A
|
k
cos(k
)(k ),
1
A1 z (z e j)2
(
z
A1z ej)
j (1 2 m (1 2 n )
)
| H ( j) | e j()
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7.1 系统函数与系统特性
| H ( j) |bmB1B2 Bm ; A1 A2 An
() (1 2 m ) (12 n )
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7.1 系统函数与系统特性
2、对于离散系统：
H
(z)
B(z) A(z)
bm z zn
m bm1 zm1 b0 an1z n1 a0
m
bm (z 1)(z 2 )(z m ) (z P1)(z P2)(z Pn )
（1）单位圆内的极点：
在实轴上：
一阶极点： Az Aak(k), | a |1
z a
二阶极点：
Az (z a)2

Akak(k )
不在实轴上：
一阶极点：
z
A1z e
j
z
A1z ej

2
|
A1
| k
cos(k
)(k ),
1
二阶极点：
(z
A1 z e j)2
H ( j) h(t)ejtdt h(t)ejtdt

0
当 0 且 0 0 时，（H(s) 极点在左半平面）
H ( j) H (s) sj
这种情况下，h(t) 对应的系统称为因果稳定系统。
第第44--1144页页
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不在负实轴上：
一阶极点：
(s
B(s) ) 2 2

ke t
cos(
t
)(t )
二阶极点： B (s )
(s ) 2 2
2

k1te t co s( t 1 )(t ) k 2 e t c o s ( t 2 )(t
)
第第44--44页页
bm
(z
j 1 n
j )
,
(
i 1
z
Pi
)
其中：i ， i 1，2， ， m ，称 H(z) 的零点；
p j ， j 1，2， ， n ， 称 H(z) 的极点。
m n
零/极点的种类：实数、复数 (复数零、极点必共轭 ) 一阶、二阶及二阶以上极点
第第44--33页页
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信号与系统 电电子子教教案案 （2）极点在 jω轴上：
7.1 系统函数与系统特性
在原点：
一阶极点： k
s
二阶极点：
k s2

k1( t ) kt (t )
不在原点：
一阶极点： B ( s ) k cos( t )(t )
s 2 2
例：一阶RL系统，U1(s)为输入， U2(s)为输出，求系统 频率响应 H(jω)。
R U1 ( s)
sL U 2(s)

解： H (s) U2(s) sL s
U1(s) sL R s R
L
极点：R ,
L
在左半平面。
第第44--1166页页
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信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
() :
2
0 : ，0 ，(0) ；
2
2
: ， ，() ；
2
: ， ，() 0
22| H Fra bibliotek j) | 1
()
m
bm(s 1)(s 2)(s m ) (s p1)(s p2 )(s pn)
bmnj1(s j ) ,
(s
i 1
Pi
)
m n
其中：i ， i 1，2， ， m ，称 H(s) 的零点；
p j ， j 1，2， ， n ， 称 H(s) 的极点。
第第44--22页页
j)
bm( j1)( jm) ( jp1 )( jpn )
bm i1
n
(
( ji ) jpi )
i 1
设 ji Bie ji
，i 1，2，，m
jpi Aie ji ，i 1，2，，n
则：H
(
j)
bmB1B2 Bme A1 A2 Ane j
(z
A1z e ) j 2
2|
A1
| k1 cos[(k
1) ](k)
第第44--99页页
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信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
（2）单位圆上的极点：
在实轴上：
Az A(1)k (k ) z 1
Az (z 1)2
第第44--1133页页
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信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
三、系统函数与频域响应
1、连续系统H(s) 的零、极点与系统频率响应：
（1）H(s) 与 H(jω) 关系：设 h(t) 为因果信号
H (s) h(t)estdt 0
＞0
（3）H(z)的极点在单位圆外，对应h(k)按指数 规律增长。
第第44--1122页页
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信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
H(z) 的一阶极点与所对应的响应序列：
z平面 Im[z]
k
k
| z |1


k
0


k
Re[z]
k k
二阶极点：
s
2
B (s) 2
2
k1t c o s ( t 1 )(t ) k 2 c o s ( t 2 )(t )
第第44--55页页
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信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
（3）极点在右半平面：
在正实轴上：
一阶极点： k et(t)
s
二阶极点： k1 k2s
(s )2
(k11tet k12et )(t)
不在实轴上：
一阶极点：
(s2
B(s) )2 2
ket cos(t )(t)
二阶极点：
[(s
B(s) )2 2 ]2

k1tet
信号与系统 电电子子教教案案
第七章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性
一、系统函数的零点与极点 二、系统函数与时域响应 三、系统函数与频域响应
7.2 系统函数的因果性与稳定性
一、系统的因果性 二、系统的稳定性
7.3 信号流图
一、信号流图 二、梅森公式
7.4 系统的结构
一、直接实现 二、级联和并联实现
信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
H(s) 的一阶极点与所对应的响应函数：
j

t

t
t

0

t


t t

第第44--88页页
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信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
2、离散系统 H(z)的零、极点与h(k)的关系：
Ae j
Be j
j
e 2
| H ( j) | B : A


0 : B 0 ， A R L ，| H ( j0) |0 ； R / L
0

: B ，A ，| H ( j) | ；
: B ， A ，| H ( j) |1 ；
第第44--1177页页
cos(t
1)(t)
k2et cos(t 2 )(t)
第第44--66页页
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信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
H(s) 的零、极点与 h(t) 的关系：
(1) 零点影响 h(t) 的幅度、相位； (2) 极点决定 h(t) 的函数形式：
2

2|
A1
| k 1 cos[(k
1) ](k )
第第44--1111页页
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信号与系统 电电子子教教案案 结论：
7.1 系统函数与系统特性
（1）H(z)的极点在单位圆内，对应h(k)按指数 规律衰减；
（2）H(z)的极点在单位圆上 一阶极点对应h(k)为阶跃序列或正弦序列； 二阶及二阶以上极点对应h(k)增长。
信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
二、 系统函数与时域响应：
1、连续系统H(s) 的零、极点与时域响应 h(t)的关系： （1）极点在左半平面：
在负实轴上：
一阶极点： k
ke t ( t )
s
二阶极点： k1 k 2 s
( s ) 2
( k11te t k12 e t ) ( t )
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7.1 系统函数与系统特性
H
(
j)
jjR
L
jj( R0
L)
Be Ae
j j
B e j ()，＞0 ，
A
2
H ( j) | H ( j) | e j() ，| H ( j) |B ，()
A
j
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信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
7.1 系统函数与系统特性
一、 系统的零点和极点：
LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即：
H () B ( ) A ( )
1、对于连续系统：
H (s) bmssnma bnm1s1nsm1 1 a0b0
a) 左半平面极点对应 h(t)，随时间增加，是按 指数函数规律衰减的；
b) 虚轴上一阶极点对应 h(t) 是阶跃函数或正弦 函数，二阶及二阶以上极点对应 h(t) 是随时间增
加而增大的；
c) 右半平面极点对应 h(t) 都是随时间增加按指 数函数规律增加的。
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m
设 H (z) bmni1(z zi )
(
i1
z
Pi
)
m
则 H (e jT ) bmni1(e jT zi )
(e
i 1
jT
Pi )
令 e jT zi Bi e ji , e jT Pi Aie ji
m
则 H (e jT ) bmni1 Bie ji | H (e jT ) | e j(T )
信号与系统 电电子子教教案案
7.1 系统函数与系统特性
（2）H(s) 零、极点与连续系统频率特性： 设：H (s) bm (s 1)(s m ) 的极点全部在左半平面；
(s p1)(s pn )
则：H ( j) H (s) , sj H(jω) 又称系统频率响应。
m
H (