微分方程稳定性理论简介(可编辑修改word版)

第五节 微分方程稳定性理论简介
这里简单介绍下面将要用到的有关内容：
一、 一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程 dx =
dt
f (x )
（1）
右端不显含自变量 t ，代数方程
f (x ) = 0
（2）
的实根 x = x 0 称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）
如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解 x (t ) 都满足
lim x (t ) = x t →∞
（3）
则称平衡点 x 0 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称 x 0 是不稳定 的（不渐近稳定）。

判断平衡点 x 0 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不
求方程（1）的解 x (t ) ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。

将 f (x ) 在 x 0 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：
dx =
dt
f '(x )(x - x 0 )
（4）
（4）称为（1）的近似线性方程。

x 0 也是（4）的平衡点。

关于平衡点 x 0 的稳定性有如下的结论：
若 f '(x 0 ) < 0 ，则x 0 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。

若 f '(x 0 ) > 0 ，则x 0 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点
x 0 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是
x (t ) = ce f '(x 0 )t + x 其中 C 是由初始条件决定的常数。

（5）
⎪ 2 0 1 2
⎪ 2 ⎩
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性
方程的一般形式可用两个一阶方程表示为
⎧ dx 1(t ) =
f (x , x ) ⎪ dt 1 2 ⎨
dx (t )
= g (x , x )
（6）
⎩⎪ dt 1 2
右端不显含 t ，代数方程组
⎧ f (x 1, x 2 ) = 0 ⎨g (x , x ) = 0
（7）
⎩ 1 2
的实根(x 0 , x 0 ) 称为方程（6）的平衡点。

记为 P (x 0 , x 0 )
1
2
1
2
如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解 x 1 (t ), x 2 (t ) 都满足
lim x (t ) = x 0
lim x (t ) = x 0
（8）
t →∞
1
1
t →∞
2
2
则称平衡点 P (x 0 , x 0
) 是稳定的（渐近稳定）；否则，称 P 0 是不稳定的（不渐 近稳定）。

为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程
⎧ dx 1(t ) = a x
+ b x ⎪ dt 1 1 1 2 ⎨ dx (t )
= a x + b x （9） ⎪⎩ dt
系数矩阵记作
2 1 2 2
A = ⎡ a 1 b 1 ⎤ ⎢
a b ⎥ ⎣ 2 2 ⎦
并假定 A 的行列式det A ≠ 0
于是原点 P 0 (0, 0) 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程
det( A -
I ) = 0
的根
（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式：
⎧2 + p + q = 0 ⎪ p = -(a + b ) （10） ⎨ 1 2 ⎪ q = det A
将特征根记作1,2 ，则
,=1
(-p ± p2- 4q )（11）
1 2 2
方程（9）的解一般有形式c e1t+c e2t （≠）或(c +c t)e t （==）
1 2 1 2 1 2 1 2
c 1,c
2
为任意实数。

由定义（8），当
1
,
2
全为负数或有负的实部时P
(0, 0) 是稳定
的平衡点，反之，当
1,
2
有一个为正数或有正的实部时P
(0, 0) 是不稳定的平衡
点
微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由
特征根
1,
2
或相应的p, q 取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一列
指按照定义（8）式得下马看花关于稳定性的结论。

1,
2
p, q 平衡点类型稳定性
1<
2
<0 p > 0, q> 0, p2>4q 稳定结点稳定
1>
2
>0 p < 0, q > 0, p2>4q 不稳定结点不稳定
1< 0 <
2
q < 0 鞍点不稳定
1=
2
<0 p > 0, q> 0, p2=4q 稳定退化结点稳定
1=
2
>0 p < 0, q > 0, p2=4q 不稳定退化结点不稳定
1
,2=±ι,<0 p > 0, q > 0, p2<4q 稳定焦点稳定
1
,2=±ι,>0 p < 0, q > 0, p2<4q 不稳定焦点不稳定
1
,2=±ι,=0 p = 0, q > 0 中心不稳定
由上表可以看出，根据特征方程的系数p, q 的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若
p > 0, q > 0 则平衡点稳定，若
p < 0 或q < 0 （12）（13）
则平衡点不稳定
⎪ 2 0 1 2
0 1 2 0 1 2 0 1 2 1
2 ⎦
1 2 x 以上是对线性方程（9）的平衡点 P 0 (0, 0) 稳定性的结论，对于一般的非线性
方程（6），可以用近似线性方法判断其平衡点 P (x 0 , x 0 ) 的稳定性，在 P (x 0 , x 0 )
1
2
1
2
点将 f (x 1 , x 2 ) 和 g (x 1 , x 2 ) 作泰勒展开，只取一次项，得（6）的近似线性方程
⎧ dx 1(t ) = f (x 0 , x 0 )(x - x 0 ) + f (x 0 , x 0 )(x - x 0 )
⎪ dt x 1 1 2 1 1 x 2 1 2 2 2 ⎨
dx (t ) = g (x 0 , x 0
)(x - x 0 ) + g (x 0 , x 0 )(x - x 0 ) (14)
⎩
⎪ dt x 1 1 2 1 1 x 2 1 2 2 2 系数矩阵记作
⎡ f x
f x ⎤ A = ⎢ 1
2
⎥∣ ⎢⎣ g x g ⎥ P
0 ( x 0
, x 0
)
特征方程系数为
p = -( f x 1 + g x 2 )∣P ( x 0 , x 0 ) , q = det A
显然， P (x 0 , x 0
) 点对于方程（14）
的稳定性由表 1 或准则（12）、（13）决定，而且已经证明了如下结论:
若方程（14）的特征根不为零或实部不为零，则 P (x 0 , x 0 ) 点对于方程（6）
的稳定性与对于近似方程（14）的稳定性相同。

这样， P (x 0 , x 0 ) 点对于方程（6）的稳定性也由准则（12）
、（13）决定。

第六节
种群的相互竞争与相互依存
当某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称为种群）生存时，人们常用 Logistic 模型来描述这个群数量的演变过程，即
dx = rx (1- x ) (1) dt N
x （t ）是种群在时刻 t 的数量， r 是固有增长率，N 是环境资源容许的种群最大数量，在前面我们曾应用过这种模型，由方程（1）可以直接得到， x 0 =N 是 稳定平衡点，即 t→∞时 x(t)→N，从模型本身的意义看这是明显的结果。

如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食（食饵与捕食者）的关系。

这里将
N N 从稳定状态的角度分别讨论这些关系。

一、种群的相互竞争
当两个种群为了争夺有限的食物来源和生活空间而进行生存竞争时，最常见 的结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。

人们今天可以看到自然界长期演变成的这样的结局，例如一个小岛上虽然有四种燕子栖息，但是它们的食物来源各不相同，一种只在陆地上觅食，另两种分别在浅水的海滩上和离岸稍远的海中捕鱼，第四种则飞越宽阔的海面到远方攫取海味，每一种燕子在它各自生存环境中的竞争力明显地强于其它几种，这里我们建立一个模型解释类似的现象，并分析产生这种结局的条件。

模型建立 有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的 演变均遵从 Logistic 规律，记 x 1 (t ), x 2 (t ) 是两个种群的数量， r 1 , r 2 是它们的固有增长率，N 1、N 2 是它们的最大容量， 于是对于种群甲有
dx 1 = rx (1- x 1 )
dt 1
N
其中因子(1-
x 1
) 反映由于甲方有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞
N 1
作用， x
1 N 1 可解释为相对于 N 1 而言单位数量的甲消耗的供养甲的食物量（设食物
总量为 1）。

当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲
的增长产生的影响，可以合理地在因子(1-
x 1
) 中再减去一项，该项与种群乙的
N 1
数量 x 2 （相对于 N 2而言）成正比，得到种群甲方增长的方程
dx 1 = r x (1- x
1 - x
2 )
(2)
dt 1 1 N
1 N
1
2
这里1 的意义是，单位数量乙（相对 N 2 而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对 N 1）消耗的供养甲的食物量的1 倍。

类似地，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙的方程应该是
dx 2
= r x (1- x 1 - x 2 ) (3) 2 2 2
1
2
对
2 可作相应的解释。

1
dt
N N ⎩ 1 2 在两种群的相互竞争中1 、2 是两个关键指标，从上面对它们的解释可知，
1
＞1 表示在消耗供养甲的资源中，乙的消耗多于甲，因而对甲增长的阻滞作用乙大于甲，即乙的竞争力强于甲，对
2 ＞1 可作相应的理解。

一般地说，1 与2 之间没有确定的关系，但是可以把下面这种特殊情况作 为较常见的一类实际情况的典型代表，即两个种群在消耗资源中对甲增长的阻作用对乙增长的阻滞作用相同，具体地说就是，因为单位数量的甲和乙消耗的供养 甲方食物量之比是 1：1 ，消耗的供养甲方食物量之比是2 ：1，所谓阻滞作用相同即 1：1 =2 ：1，所以这种特殊情形可以定量地表示为
1 2
=1 （4）
即1 、2 互为倒数，可以简单地理解为，如果一个乙消耗的食物是一个甲的
1
= k 倍，则一个甲消耗的食物是一个乙的2 =1/ k 。

下面我们仍然讨论1 、2 相互独立的一般情况，而将条件（4）下对问题的分
析留给大家讨论。

稳定性分析 为了研究两个种群相互竞争的结局，即 t→∞时 x 1 (t ), x 2 (t ) 的趋 向，不必要解方程（2）、（3）,只需对它的平衡点进行稳定性分析。

首先根据微分方程（2）、（3）解代数方程组
⎧
f (x , x ) = r x (1- x 1 - x 2 ) = 0 ⎪ 1 2 1 1 N 1 N
⎨ 1 2 （5） ⎪g (x , x ) = r x (1- x 1 - x 2 ) = 0 ⎪
1 2 2 2 2
得到 4 个平衡点：
P (N , 0), P (0, N ), P ( N 1 (1-1 ) , N 2 (1-2 )), P (0, 0)
1 1
2 2
3 1- 1- 4
1 2 1 2
因为仅当平衡点们于平面坐标系的第一象限时（ x 1 , x 2 ≥ 0 ）才有实际意义， 所以对 P 3 而言要求1 、2 同时小于 1，或同时大于 1。

按照判断平衡点性的方法（见前面）计算
2 ⎦ P
N N ⎡
r (1- 2x 1 - 1 x 2 )
- r 1
1x 1
⎤
⎡ f x f x ⎤ ⎢ 1 N N N ⎥ A = ⎢ 1
2 ⎥ = ⎢ 1 2
2
⎥ ⎢⎣ g x 1
g x ⎥ ⎢ - r 22 x 2 r (1- 2 x 1 - 2x 2 )⎥
⎢ N 2
N N ⎥
⎣ 1
1 2
⎦
p = -( f x + g x ) P , i = 1, 2, 3, 4
1
2
i
q = det A , i = 1, 2, 3, 4 i
将 4 个平衡点 p 、q 的结果及稳定条件列入下表*）
平衡点 p q 稳定条件
P 1 (N 1 , 0) r 1 - r 2 (1-2 ) -r 1r 2 (1-2 ) 1
< 1,2 > 1 P 2 (0, N 2 ) -r 1 (1-1 ) + r 2 -r 1r 2 (1-1 ) 1
> 1,2 < 1
P ( N 1 (1-1 ) , N 2 (1-2 )) 3
1- 1-
1 2 1 2 r 1 (1-1 ) + r 2 (1-2 )
1-12 r 1r 2 (1-1 )(1-2 )
1-12
1
< 1,2 < 1
P 4 (0, 0)
-(r 1 + r 2 )
r 1r 2
不稳定
注：表中最后一列“稳定条件”除了要求 p>0,q>0 以外，还有其他原因，见下面的具体分析。

为了便于对平衡点 P 1、P 2、P 3 的稳定条件进行分析，在相平面上讨论它们。

在代数方程组（5）中记
(x , x ) = 1- x 1 - x
2 = 0 1 2 N 1 N
1 2
(x , x ) = 1-
x 1 - x 2 = 0 1
2
2 1
2
对于1 、2 的不同取值范围，直线=0 和=0 在相平面上的相对位置不同， 下面给出它们的 4 种情况;并对这 4 种情况进行分析
1、1 < 1,2 > 1。

由表 1 知对于 P 1 (N 1 , 0) 有 p ＞0， q ＜0， P 1 稳定； P 1 的稳
定性还可以从 t→∞时相轨线的趋向来分析，图 1 中 =0 和=0 两条直线将相平面（ x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 ）划分为 3 个区域：
（
1）
1
< 1, 2 > 1
S 3
P 稳定
= 0 S 1
S 2
= 0
P 1 1
x 2 N 2 /
1
N 2
O
N /
N
x 1
1
2
1
图 1
1
< 1, 2 > 1
P 1 稳定 S 1 : dx 1 / dt > 0, dx 2 / dt > 0 (6) S 2 : dx 1 / dt > 0, dx 2 / dt < 0 (7) S 3 : dx 1 / dt < 0, dx 2 / dt < 0
(8)
可以证明，不论轨线从哪个区域出发，t→∞时都将趋向 P 1（N 1，0）。

若轨线从 S 1 出发，由（6）可知随着 t 的增加轨线向右上方运动，必然进入 S 2； 若轨线从 S 2 出发，由（7）可知轨线向右下方运动，那么它或者趋向 P 1 点， 或者进入 S 3，但是进入 S 3 是不可能的，因为，如果设轨线在某时刻 t 1 经直线=0
进入 S 3，则d x 1 (t 1)/ dt =0,由方程（2）不难算出
d 2 x
r dx
1
= - 1 1 x 1
2 dt 2 N dt
2
由（7）、（8）知dx 2 / dt ＜0, 故d 2 x / dt 2
> 0 ，表明 x (t)在 t 1 达到极小值，
而这是不可能的，因为在 S 2 中dx 1 / dt ＞0,即 x 1 (t)一直是增加的；
若轨线从 S 3 出发，由（8）可知轨线向左下方运动，那么它或者趋向 P 1 点，
或者进入 S 2，而进入 S 2 后，根据上面的分析最终也将趋向 P 1 。

1
（
2）
P 1
> 1, 2 < 1
2
P 稳定
= 0
= 0
综上分析可以画出轨线示意图（图 1），因为直线=0 上 d x 1 =0，所以在=0
上轨线方向垂直于 x 1 轴；在=0 上 d x 2 =0,轨线方向平行于 x 1 轴。

2、1 > 1,2 < 1，类似的分析可知 P 2 (0, N 2 ) 稳定。

x 2
N
2
N 2 /
1
O
N
N /
x 1
1
1
2
图 2
1 > 1,
2 < 1 P 2 稳定
3、1 < 1,2 < 1 ，由表 1 知对于 P 3 点 p ＞0， q ＞0，故 P 3 稳定，对轨线趋势的分析见图 3。

x 2 N 2 /
1
（
3）
1
< 1, 2 < 1
N 2
3
= 0
= 0
P 稳定
O
N
N /
x 1
1
1
2
图 3
1 < 1,
2 < 1 P
3 稳定
P
4、1 > 1,2 > 1，由表 1 知对于 P 3 点q ＜0，故 P 3 不稳定（鞍点），轨线或者
趋向 P 1 ，或者趋向 P 2 ，由轨线的初始位置决定，示意图见图 4，在这种情况下 P 1
和 P 2 都不能说是稳定的，正因为这样，所以 P 1 稳定（与初始条件无关）的条件需要加上1 < 1， P 2 稳定的条件加上2 < 1 。

x
2
（
4）
N 2
1
> 1, 2 > 1
N 2 /
1
O
P 3
= 0
N /
P 不稳定
= 0
N 1
x 1
1
2
图 4
1 > 1,
2 > 1 P
3 不稳定
结果解释 根据建模过程中1 ,2 的含义，说明 P 1 、 P 2 、 P 3 点稳定在生态上的意义。

1、1 < 1,2 > 1， 1 < 1意味着在对供养甲的资源的竞争中乙弱于甲，
2 > 1意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙，于是种群乙终灭绝，种群甲
趋向最大容量，即 x 1 (t ), x 2 (t ) 趋向平衡点 P 1 (N 1 , 0)
2、1 > 1,2 < 1，情况与 1 正好的相反。

3、1 < 1,2 < 1 ，因为在竞争甲的资源中乙较弱，而在竞争乙的资源中甲较
弱，于是可以达到一个双方共存的稳定的平衡状态 P 3 ，这是种群竞争中很少出现的情况。

4、1 > 1,2 > 1，请大家作出解释。

N
N 生态学中有一个竞争排斥原理；若两个种群的单个成员消耗的资源差不多相同，而环境能承受的种群甲的最大容量比种群乙大，那么种群乙终将灭亡，用本节的模型很容解释这个原理。

将方程（2）、（3）改写为
x + N 1 x dx 1 1
N 2 1
= r 1 x 1 (1- 2 ) dt N 1
N
2 x + x dx 2 N 1 2 2 = r 2 x 2 (1- 1
) dt N 2
原理的两个条件相当于 N 1 = 1, N
2 = 1, N > N 1 2 1 2
2 1
从这 3 个式子显然可得1 < 1,2 > 1，这正是 P 1 稳定，即种群乙灭绝的条件。

二、种群的相互依存
自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的，植物
可以独立生存。

昆虫的的授粉作用又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的昆虫却不能离开植物单独存活，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系，这种共生现象可以描述如下。

设种群甲可以独立存在，按 Logistic 规律增长，种群乙为甲提供食物，有助于甲的增长，类似于前面的方程（2），种群甲的数量演变规律可以写作（r 1、N 1、 N 2 的意义同前）
dx 1 = r x (1- x 1 + x
2 ) (9) dt 1 1 N 1 N
1 2
1 前面的- 号这里变成+号，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲提供食物，
1
的含义是:单位数量乙（相对于 N 2）提供的供养甲的食物量为单位数量甲（相
对于 N 1）消耗的供养甲食物量的1
倍。

种群乙没有甲的存在会灭亡，设其死亡率为 r 2，则乙单独存在时有
dx 2 / dt = -r 2 x 2
(10)
甲为乙提供食物，于是（2）式右端应加上甲对乙增长的促进作用，有
N N dx / dt = -r x (1-
x 1 ) (11)
2
2 2
2 1
显然仅当 x
1 >1时种群乙的数量才会增长，与此相同乙的增长又会受到自
2 1
身的阻滞作用，所以 93）式右端还要添加 Logistic 项，方程变为
dx / dt = -r x (1- x 1 + x 2 )
(12) 2 2 2 2 1
2
方程（9）、（12）构成相互依存现象的数学模型，下面利用平衡点的稳定性
分析，讨论时间足够长以后两个种群的变化趋向。

类似于前面的作法将方程（9）、（12）的平衡点及其稳定性分析的结果列入 表 2
平衡点
p q 稳定条件
P 1 (N 1 , 0)
r 1 - r 2 (2 -1)
-r 1r 2 (2 -1)
2
< 1,12 < 1
P ( N 1 (1-1 ) , N 2 (2 -1))
r 1 (1-1 ) + r 2 (2 -1)
r 1r 2 (1-1 )(2 -1)
1
< 1,2 >
1, 2
1- 1-
1 2
1 2 1-12 1-12
12
< 1
P 3 (0, 0) -r 1 + r 2 -r 1r 2
不稳定
显然， P 2 点稳定才表明两个种群在同一环境里相互依存而共生，我们着重分
析 P 2 稳定的条件。

由 P 2 的表达式容易看出，要使平衡点 P 2 有实际意义，即位于相平面第一象限 ( x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 )，必须满足下面两个条件中的一个：
A 1 :1 < 1,2 > 1,12 < 1
A 2 :1 > 1,2 < 1,12 > 1
而由表 2 中 P 2 点的 p 、q 可知，仅在条件 A 1 下 P 2 才是稳定的（而在 A 2 下 P 2
是鞍点，不稳定），图 5 画出了条件 A 下相轨线的示意图，其中= 1-
x 1
+ x
2 ,
1
N 1 N 1
2 N N
= 0
S 4
S 1
P 2
= 0
S S 3
2
N N = -1+ x 1 - x 2 。

直线
= 0 和= 0 将相平面（ x ≥ 0, x ≥ 0 ）划分为 4 个区
2 1
2
域
：
S 1 : dx 1 / dt > 0, dx 2 / dt < 0 ； 1 2
S 2 : dx 1 / dt > 0, dx 2 / dt > 0 ；
S 3 : dx 1 / dt < 0, dx 2 / dt > 0 ； S 4 : dx 1 / dt < 0, dx 2 / dt < 0 。

从 这 4 个 区 域 中
dx 1 / dt , dx 2 / dt 的正负不难看出其相轨线的趋向如图 5 所示。

x 2
O
N /
N
x 1
1
2
1
图 5
在条件 A 1 下 P 2 稳定的相轨线
分析条件 A 1 的实际意义，其关键部分是2 ＞1，考虑到2 的含义，这表示种群甲要为乙提供足够的食物维持其生长，而
12
<1 则是在2 ＞1 条件下为 P 2 位于
相平面第一象限所必需的，当然这要求1 很小（
1
< 1是必要条件），注意到1
的含义，这实际上是对乙向甲提供食物加以限制，以防止甲的过份增长。

在种群依存模型（9）、（12）中如果平衡点 P 1(N 1, 0) 稳定，那么种群乙灭绝，
没有种群的共存，请大家分析导致 P 1 (N 1 , 0) 稳定的条件及在生态学上的意义。

评注 模型（9）、（12）是种群相互依存的一种类型，即种群甲可独立生存，
而种群乙不能，依存模型还有其它类型，如两种群均能独立生存，及均不能独立生存的情况，这些情况的稳态结果如何，大家可以类似讨论。