北京市门头沟区2016届九年级上学期期末考试数学试题解析(解析版)

一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1. 如果45a b =
（ab ≠0），那么下列比例式变形正确的是( ) A ．
54a b = B ．45a b = C ．45a b = D ．45
b
a = 【答案】A
考点：比例的基本性质
2．在Rt △ABC 中，如果∠C=90°，AB = 10，BC = 8，那么cos B 的值是( )
A ．
54 B ．53 C ．3
5
D ．45 【答案】D 【解析】
试题分析：根据直角三角形的边角的对应特点，利用锐角三角函数的定义cosB=BC AB =
84
105
=． 故选D
考点：锐角三角函数
3. 已知⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为8，那么点P 与⊙O 的位置关系是( )
A ．点P 在⊙O 上
B ．点P 在⊙O 内
C ．点P 在⊙O 外
D ．无法确定
【解析】
试题分析：根据点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d=r ；点P 在圆内⇔d ＜r ．由⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为6，可知点P 到圆心O 的距离大于圆的半径，可得点P 在⊙O 外． 故选C
考点：点与圆的位置关系
4. 小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从袋子里抽出一颗糖果. 袋子里有三种颜色的糖果，它
们的大小、形状、质量等都相同，其中所有糖果的数量统计如图所示. 小明抽到红色糖果的概率为( ) A ．518 B ．1
3 C ．
215 D ．115
620
84绿色
红色
黄色
【答案】
B
考点：概率
5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，如果∠DBC = ∠A ，
，AC = 3，那么CD 的长为( ) A ．1 B ．
32 C ．2 D ．5
2
A
B
C D
【解析】
试题分析：由题意知：在△BCD 和△ACB 中，∠C=∠C （公共角），∠DBC=∠A （已知），根据两角
对相等的两三角形相似，可得△BCD ∽△ACB ，可得BC AC
CD BC
=
，可由BC=，AC=3，求得CD=2． 故选C
考点：相似三角形的判定与性质
6.将抛物线y = 5x 2
先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，那么新抛物线的表达式
是( )
A ．()2
523y x =-+ B ．()2
523y x =++ C ．()2
523y x =-- D ．()2
5+23y x =- 【答案】B 【解析】
试题分析：根据二次函数的平移性质：左加右减，上加下减，可直接求解：2
5(2)3y x =++. 故选B
考点：二次函数的平移
7. 已知点A （1，m ）与点B （3，n ）都在反比例函数2
y x
=
的图象上，那么m 与n 之间的关系是( ) A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ≥n D ．m≤n 【答案】A 【解析】
试题分析：分别把A 、B 两点的坐标代入解析式2
y x =
，可得m=2，n=23
，从而判断得m ＞n ，或者根据解析式知k=2＞0，此函数在一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，故可判断m ＞n. 故选A
考点：反比例函数的图像与性质
8. 如图，点A （6，3）、B （6，0）在直角坐标系内．以原点O 为位似中心，相似比为1
3
，在第一象限内把
线段AB 缩小后得到线段CD ，那么点C 的坐标为( ) A ．（3，1） B ．（2，0） C ．（3，3） D ．（2，1）
x
y
O
A
B
C
D
【答案】
D
考点：位似变换
9．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB = 20°，那么∠AOD 等于( ) A ．160° B ．150° C ．140° D ．120°
【答案】C 【解析】
试题分析：利用垂径定理得出 CB
BD ，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出∠AOD=140°． 故选：C ．
考点：1.垂径定理，2.邻补角
10. 如图，点C 是以点O 为圆心、AB 为直径的半圆上的一个动点（点C 不与点A 、B 重合），如果AB = 4，
过点C 作CD ⊥AB 于D ，设弦AC 的长为x ，线段CD 的长为y ，那么在下列图象中，能表示y 与x 函数关系的图象大致是
( )
A B C D
【答案】B
【解析】
试题分析：由勾股定理得：，则△ABC的面积
y=
1
2
=
故选B．
考点：动点问题的函数图象．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个相似三角形的面积比是．
【答案】1:9
考点：相似三角形的性质
12．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是米．
【答案】12
【解析】
试题分析：根据正六边形的边长等于其内接圆的半径，因此可求得边长为2米，因此周长为2×6=12米. 考点：圆内接正六边形
13．图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知 AB的长是_________m．
【答案】2 3π
【解析】
试题分析：根据图2可求得圆的半径为2÷2=1m，然后根据三等分，可知弧AB的长为2π÷2=2
3π.
考点：弧长
14．写出一个图象位于二、四象限的反比例函数的表达式，y= ．
【答案】
2 y
x =-
考点：反比例函数的图像与性质
15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O
的直径，弦AB CD
⊥于E，如果CE = 1，AB = 10，那么直径CD的长为.”
D
【答案】26
【解析】
试题分析：连OA，根据垂径定理可由AB⊥CD, 得AE=
1
2
AB=
1
2
×10=5，然后在Rt△AOE中，由勾股定理可得OA2=AE2+OE2，R2=52+(R-1) 2，解得R=13，所以CD=2R=2×13=26.
考点：1.垂径定理，2.勾股定理
16．学习了反比例函数的相关内容后，张老师请同学们讨论这样的一个问题：“已知反比例函数
2
y
x
=-，当x＞1时，求y的取值范围？”同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手回答说：“由于反比例函数
2
y
x
=-的图象位于第四象限，因此y的取值范围是y＜0．”
你认为小明的回答是否正确：_________________________，
你的理由是：_________________________________________________________．
【答案】不正确，根据当x=1时，函数值y=-2，因此范围是-2＜y＜0.
【解析】
试题分析：不正确，根据反比例函数的图像与性质，可知k＜0，图像在二、四象限，y随x的增大而减小，因此可由x＞1，可知-2＜y＜0.
考点：反比例函数的图像与性质
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．计算：sin30cos45tan60
1
︒⨯︒-︒+-
1.
-
【解析】
试题分析：根据特殊角的三角函数值，和绝对值的性质可直接代入求值.
试题解析:sin30cos45tan60
1
︒⨯︒
-︒+-
1
1
2
=-+-
1.=
- 考点：实数的运算
18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是边AB 上的高． （1）求证：△A BC ∽△CBD；
（2）如果AC = 4，BC = 3，求BD 的长．
D
C
B A
【答案】（
1）证明见解析，（2）9
.5
BD =
（2）∵在△A BC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴由勾股定理得AB=5 ∵△A BC ∽△CBD，
∴.BC AB
BD BC = ∴
353
BD =， ∴9
.5
BD =
考点：相似直角三角形的性质与判定 19．已知二次函数 y = x 2
－6x+5.
（1）将 y = x 2
－6x+5化成y = a (x －h)2
+ k 的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小． 【答案】（1）y=(x －3)2
－4（2）（3，-4）（3）x ＜3 【解析】
试题分析：（1）根据配方法可求； （2）根据顶点式求解对称轴，顶点； （3）根据二次函数的图像与性质判断. 试题解析：（1）y=x 2
－6x+5
=x 2
－6x+9－4 =(x －3)2
－4． （2）∵y=(x －3)2－4，
∴该二次函数图象的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，－4）．
（3）由图象可知当x ＜3时，y 随x 的增大而减小． 考点：二次函数的图像与性质
20．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BC = 1，
.
（1）以点B 为旋转中心，将△ABC 沿逆时针方向旋转90°得到△A ′BC ′，请画出变换后的图形； （2）求点A 和点A ′之间的距离．
C
B A
【答案】（1）图形见解析（
2） 【解析】
试题分析：(1)根据题意按要求逐步画图即可；
（2）连接AA ’，然后根据旋转的性质和勾股定理可求解. 试题解析：（1）按要求画图，如图所示.
A'C'
B
A
C
考点：1.旋转变换，2.勾股定理
21．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x =-的图象与反比例函数k
y x
=
的图象的一个交点为A(－1，n)． （1）求反比例函数k
y x
=
的表达式； （2）如果P 是坐标轴上一点，且满足PA = OA ，请直接写出点P 的坐标．
x
【答案】（1）x
y 2
-=（2）（－2，0）或（0，4） 【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法，利用代入法可求解；
（2）根据相等，根据图像和等腰三角形的性质可直接判断，写出. 试题解析：（1）∵A （1-，n ）在一次函数x y 2-=的图象上， ∴n=2-×(1-)=2.
∴点A 的坐标为（1-，2）.
∵点A 在反比例函数x
k
y =的图象上， ∴2-=k .
∴反比例函数的表达式为x y 2
-
=. （2）点P 的坐标为（－2，0）或（0，4）.
考点：反比例函数的图像与性质
22．“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如
图，他们在A 点测得顶端D 的仰角∠DAC = 30°，向前走了46米到达B 点后，在B 点测得顶端D 的仰角∠DBC = 45°．求永定楼的高度CD ．（结果保留根号）
B D
C
A
【答案】23 【解析】
试题分析：根据题意构造数学模型，然后根据锐角三角函数的性质可求解. 试题解析：∵在Rt △BDC 中，∠DCB=90°，∠DBC=45°，
∴DC=BC ． 令DC=BC=x 米． ∴AC=AB+BC=(46+x)米．
∵在Rt △ADC 中，∠DCA=90°，∠DAC=30°， ∴tan DC
DAC AC
∠=， ∴
46
x x + 解得x=
23（米）． 答：永定楼的高度为23米．
B D
C
A
考点：锐角三角函数
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．已知二次函数y = mx 2
－(m+2) x+2（m ≠ 0）．
（1）求证：此二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）如果此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．
【答案】（1）证明见解析（2）正整数m的值为1
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数与做标轴的交点的判定，由根的判别式证明；
（2）令y=0，构造一元二次方程，求解出用m表示的方程的解，然后根据正整数解求得m的值.
试题解析：（1）∵m≠0，
∴△=(m+2)2－4m×2
=m2+4m+4－8m
=(m－2)2．
∵(m－2)2≥0，
∴△≥0，
∴此二次函数的图象与x轴总有交点．
考点：二次函数的图像与性质
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥AD交AB于E，连接AC、DE，AC与DE交于点F．（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）如果EF =FCD =30°，∠FDC =45°，求DC的长．
B E
F
D
C
【答案】（1）证明见解析（2） 2.+ 【解析】
试题分析：（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证明；
（2）过点F 作FG ⊥CD 于G ，然后根据直角三角形的性质，由锐角三角函数求解. 试题解析：（1）∵AB ∥CD ，CE ∥AD ，
∴四边形AECD 为平行四边形．
（2）如图，过点F 作FG ⊥CD 于G
．
∵四边形AECD 为平行四边形， ∴FD=EF=
∵在
Rt △FGD 中，∠FGD=90°，∠FDC=45°，FD= ∴
cos DG
FDG FD
∠=
， ∴cos cos 45 2.DG FG FD FDG ==∠=︒= ∵在Rt △FGC 中，∠FGC=90°，∠FCD=30°，FG=2， ∴tan FG
FCG CG
∠=， ∴2
tan tan 30FG CG FCD
=
==∠︒
∴CD=CG+GD= 2.+
B E
F
D
C
G
考点：1.平行四边形，2.解直角三角形 25．已知二次函数1y = x 2
+ 2x + m －5．
（1）如果该二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；
（2）如果该二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点B 的坐标为（1，0），求它
的表达式和点C 的坐标；
（3）如果一次函数2y =px+q 的图象经过点A 、C ，请根据图象直接写出2y ＜
1y 时，x 的取值范围．
x
y
O
【答案】（1）m ＜6（2）C （0，－3）（3）x ＜－3或x ＞0
（2）∵二次函数y1=x2+2x+m－5的图象经过点（1，0），
∴1+2+ m－5=0，
解得m=2．
∴它的表达式是y1=x2+2x－3．
∵当x=0时，y=－3，
∴C（0，－3）．
（3）当y2＜y1时，x的取值范围是x＜－3或x＞0．
考点：二次函数的图像与性质
26．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD BF
于D．
（1）求证：DA为⊙O的切线；
（2）如果BD = 1，tan∠BAD =1
2
，求⊙O的直径．
F
【答案】（1）证明见解析（2）5
【解析】
试题分析：（1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．
（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O 的半径．
试题解析：(1)如图，连接AO.
∵ AO=BO，∴∠2=∠3.
∵BA平分∠CBF，∴∠1=∠2.
∴∠1=∠3 .
∴ DB∥AO.
∵AD⊥DB，∴∠BDA=90°.
∴∠DAO=90°.
∵AO是⊙O半径，
∴DA 为⊙O 的切线.
F
考点：1.切线的性质与判定，2.勾股定理，3.解直角三角形
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212c y x x b =
++经过点A （0，2）和B （1，3
2
）
． （1）求该抛物线的表达式；
（2）已知点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4，求点C 与点
D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线在点A ，D 之间的部分（含点A ，D ）记为图象G ，
如果图象G 向下平移t （t ＞0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．
x
O y
【答案】（1）2
212
y x x =-+（2）C （2，2）．D （4，6）．（3）1＜t ≤3 【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法可求解析式；
（2）根据配方法求出对称轴，然后根据对称性求出C ，再根解析式求出D ； （3）根据二次函数的平移的性质求解范围. 试题解析：（1）∵抛物线212c y x x b =++经过点A （0，2）和B （1，3
2
）， ∴2,13.22
c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩
解得2,1.c b =⎧⎨=-⎩
∴该抛物线的表达式为2
212
y x x =
-+．
，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1． 又∵A （0，2）， ∴C （2，2）． ∵当x=4时，y=6， ∴D （4，6）．
考点：二次函数的图像与性质
28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′）
，给出如下定义： 如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨
-⎪⎩
≥＜，那么称点Q 为点P 的“关联点”． 例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（－5，6）的“关联点”为点（－5，－6）． （1）① 点（2，1）的“关联点”为 ；
② 如果点A （3，－1），B （－1，3）的“关联点”中有一个在函数3
y x
=
的图象上，那么这个点是 （填“点A ”或“点B ”）．
（2）① 如果点M *（－1，－2）是一次函数y = x + 3图象上点M 的“关联点”，那么点M 的坐标
为 ；
② 如果点N *（m+1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N 的“关联点”，求点N 的坐标． （3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是
－4＜y ′≤4，那么实数a 的取值范围是 ．
x
y
O
【答案】（1）①（2，1）； ② 点B ． （2）① M （－1，2）； ②N （－5，－2）（3）2≤a
＜【解析】
试题分析：（1）根据“关联点”的特点，由两种情况求解即可； （2）根据一次函数的解析式和“关联点”可求解； （3）根据y 的取值范围，结合图像判断求解其范围. 试题解析：（1）①（2，1）；
② 点B ． （2）① M （－1，2）；
② 当m+1≥0，即m ≥－1时，由题意得N （m+1，2）． ∵点N 在一次函数y=x+3图象上， ∴m+1+3=2， 解得m=－2（舍）.
当m+1＜0，即m ＜－1时，由题意得N （m+1，－2）． ∵点N 在一次函数y=x+3图象上， ∴m+1+3=－2， 解得m=－6. ∴N （－5，－2）．
（3）2≤a
＜ 考点：函数的图像与性质
29．在菱形ABCD 中，∠BAD=120°，射线AP 位于该菱形外侧，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE 、
DE ，直线DE 与直线AP 交于F ，连接BF ，设∠PAB=α． （1）依题意补全图1；
（2）如图1，如果0°＜α＜30°，判断∠ABF 与∠ADF 的数量关系，并证明； （3）如图2，如果30°＜α＜60°，写出判断线段DE ，BF ，DF 之间数量关系的
思路；（可以不写出证明过程）
（4）如果60°＜α＜90°，直接写出线段DE ，BF ，DF 之间的数量关系．
C
A
D
B P B C
A
D P
C
A
D
B C
A
D
B
P A
D P
B
C
A
D
B
图1 图2
C
A
D B
C
A
D
B
备用图
【答案】（1）图形见解析（2）∠ABF=∠ADF （3）图形见解析（4）DE=BF －DF
试题解析：（1）补全图形，如图1所示.
图1
F
E
C
A D
P
B
G
F
E C
A
D
B
P
图2
（2）∠ABF与∠ADF的数量关系是∠ABF=∠ADF．
理由如下：连接AE，如图1.
∵点E与点B关于直线AP对称，
∴ AE=AB，∠AEB=∠ABE.
∴ FE=FB，∠FEB=∠FBE.
∴∠AED=∠ABF.
又∵菱形ABCD，
∴AB=AD.
又∵AE=AB，
∴AE=AD.
∴∠AED=∠ADF.
∴∠ABF=∠ADF．
（3）求解思路如下：
a. 画出图形，如图2所示；
b. 与（2）同理，可证∠ABF=∠ADF；
c. 设AD与BF交于点G，由对顶角相等和三角形内角和定理可得∠BAD=∠BFD=120°.
d. 在△EBF中，由BF=EF，∠EFB=60°，可得△EBF为等边三角形，所以BF=EF；
e.由DE=EF+DF，可得DE=BF+DF.
（4）DE=BF－DF.
考点：1.菱形的性质，2.轴对称的性质，3三角形的内角和
高考一轮复习：。