优化方案2017高中数学第一章三角函数1.1.2弧度制应用案巩固提升新人教A版必修4

【优化方案】2017高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制应用案
巩固提升 新人教A 版必修4
[A 基础达标]
1．1 920°的角化为弧度数为( ) A.16
3 B ．323
C.
163
π D.323
π 解析：选D.因为1°＝π180 rad ，所以1 920°＝1 920×π180 rad ＝32
3 π rad.
2．角－29
12π的终边所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D.－2912π＝－4π＋1912π，19
12π的终边位于第四象限．
3．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.14
3 π B ．－143π
C.7
18
π D ．－718
π
解析：选B ．显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了7
3周，转过的弧度
为－73×2π＝－143
π.
4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A ．－3π4
B ．－π4
C.π4
D.3π4
解析：选A.令－11π
4＝θ＋2k π(k ∈Z )，
则θ＝－11π
4
－2k π(k ∈Z )，
取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π
4
；
k ＝0时，θ＝－
11π4，|θ|＝11π4>3π
4
.故选A. 5．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A ．扇形的圆心角大小不变
B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍
C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍
D ．扇形的圆心角减小到原来的一半
解析：选A.设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后半径为2r ，弧
长为2l ，圆心角为β，所以α＝l r ，β＝2l 2r ＝l
r
＝α，即扇形的圆心角大小不变．
6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________． 解析：A ＋B ＋C ＝π，
又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π
5
，
B ＝
5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π
15
.
答案：π5，π3，7π15
7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________． 解析：|α|＝l r ＝128＝3
2
， S ＝12
l ·r ＝12
×12×8＝48.
答案：3
2
48
8．把角－690°化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． 解析：法一：－690°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫690×π180＝－236π. 因为－236π＝－4π＋π6，所以－690°＝－4π＋π
6.
法二：－690°＝－2×360°＋30°， 则－690°＝－4π＋π
6.
答案：－4π＋π
6
9．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用30 km/h 的速度通过，求火车经过10 s 后转过的弧度数．
解：10 s 内列车转过的圆形弧长为103 600×30＝112
(km)．
所以转过的角α＝1122＝1
24(弧度)．
10．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2. 解：(1)因为－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14
9π，
所以α＝－800°＝14
9π＋(－3)×2π.
因为α与14π
9角的终边相同，
所以α是第四象限角．
(2)因为与α终边相同的角可写为2k π＋14π
9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，
所以γ＝2k π＋14π
9
，k ∈Z .
又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，
所以γ＝－2π＋14π9＝－4π
9
.
[B 能力提升]
1．集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π
2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是(
)
解析：选C.当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π
2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z
时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π
2
，m ∈Z ，所以选C.
2．扇形圆心角为π
3，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为________．
解析：如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a
3
，
所以S 圆＝π·⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 32
＝πa 29，S 扇
＝12a 2·π3＝πa 2
6，
所以
S 圆S 扇＝2
3
. 答案：2∶3
3．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解：(1)如题图(1)，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12
， 所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . (2)如题图(2)，因为30°＝
π6，210°＝7π
6
，这两个角的终边所在的直线相同， 因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π
6，k ∈Z ，
又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π
2
，k ∈Z ，
从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z . 4．(选做题)已知扇形AOB 的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm 2
，求该扇形的圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB 的长度． 解：(1)设该扇形AOB 的半径为r ，圆心角为θ，面积为S ，弧长为l .
由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧l ＋2r ＝8，12
l ·r ＝3，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧r ＝1，l ＝6
或⎩⎪⎨
⎪⎧r ＝3，l ＝2.
所以圆心角θ＝l r ＝61＝6或θ＝l r ＝2
3
，
所以该扇形的圆心角的大小为2
3rad 或6 rad.
(2)θ＝8－2r
r
，
所以S ＝12·r 2·8－2r r ＝4r －r 2＝－(r －2)2＋4，
所以当r ＝2，即θ＝8－42＝2时，S max ＝4 cm 2
.
此时弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm )．
所以扇形面积最大时，圆心角的大小等于2 rad ，弦AB 的长度为4sin 1 cm.。