最新九年级中考数学专题复习： 最值问题-隐圆模型之瓜豆问题 课件

B
C
△BOC是等腰直角三角形,锐角顶点C的轨迹是以点A为圆
心,2为半径的圆,所以O点轨迹也是圆,以AB为斜边构造等
M
腰直角三角形,直角顶点M即为点O轨迹圆圆心.
连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O,此时AO最大,
根据AB先求AM,再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A
O
半径的比值,得到MO,相加即得AO.
E
MN
AD
B
当堂训练---轨迹之线段篇
3.如图,∠AOB=60º,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,
D
，D是定点,E点满足EO=2,故E点
轨迹是以O为圆心,2为半径的圆.
当DE⊥DF且DE=DF,故作DM⊥DO
且DM=DO,F点轨迹是以点M为圆心
,2为半径的圆.
连接OM,与圆M交点即为F点,此 E
时OF最小.可构造三垂直全等求
线段长,再利用勾股定理求得OM,
减去MF即可得到OF的最小值. B
O
C
M F
接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半,即可解 C
FB
决问题.
当堂训练---轨迹之圆篇
3.如图,正方形ABCD中,AB=2 5,O是BC边的中点,点E是正方形内一
动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90º得DF,连接AE、
CF.求线段OF长的最小值.5 2 - 2
【分析】E是主动点,F是从动点 A
连接DF.DF的最小值是_1___.
A
一个定点----垂线段最短
E
G
D
B
C
F
当堂训练---轨迹之线段篇
2.如图,已知等边三角形ABC的边长为8,点D为AB边上一动点,DE始
终平行于BC,MN为△ADE的中位线,现将点D开始沿AB方向移动,移
动到点B处停止,在整个移动过程中线段MN扫过的面积是__4__3_. C
QM 【分析】Q点轨迹是个圆,可理解为将AP绕点A逆
P
时针旋转90º得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹都是圆.
接下来确定圆心与半径.
A
O
当AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
当AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,
且可得半径MQ=PO.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM.
【例1】如图,已知P是⊙O外一点,Q是⊙O上的动点,线段PQ的中点
为M,连接OP,OM.若⊙O的半径为2,OP=4,则线段OM的最小值是( B )
A.0
B.1
C.2
D.3
Q
定点 定长
N NM=0.5 OQ
辅 助 圆
P
M
O N
当堂训练---轨迹之圆篇
1.如图,点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上
的动点,点C是MB的中点,
y
则AC的最小值是_______． 【分析】M点为主动点,C点为从动 点,B点为定点.考虑C是BM中点,可 知C点轨迹：取BP中点N,以N为圆 心,NC为半径作圆,即为点C轨迹.
P M
N
C
O
Bx
当堂训练---轨迹之圆篇
1.如图,点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上
线的夹角：∠PAQ=∠OAM；
QM
P
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心
到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也等于两
圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨
O
迹圆,Q与P的关系相当于旋转+伸缩.
A
古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.
“种”圆得圆,“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.,点C是MB的中点,
y
则AC的最小值是__1_._5___．
P 【分析】当A,C,N三点共线且点C
在线段NA上时,AC取到最小值,根 据B,P坐标求N,利用两点间距离 公式求得NA,再减去NC即可.
M N
C
O
Bx
当堂训练---轨迹之圆篇
2.如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=2 2 ,点P在以斜边AB为直径的
【分析】本题是双动点问题,按照“主动支配从动, 从动跟随主动,动中找定”构想,回归到“动中取静 ”的策略.你能读懂“点D是平面内的一个动点,且 AD=4”这句话的含义吗?D是动点但不是随意的点,而 是以A为圆心,AD=4的长为半径的作圆周运动。
主从联动型,主动点轨迹为圆则从动点的轨迹也是圆 主动点---定点定长型→从动点---定点定长型
常见的“隐圆”模型思维导图
O
动点 动点
6.“瓜豆”问题
隐圆 模型
O
动 点
定点
动点
2.直角对直径
动点
1 2 3
模型解读---轨迹之圆篇
【引例1】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.
【思考】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？
QP
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆,而我 A
MO
模型解读---轨迹之圆篇
【引例3】如图,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90º且AP=2AQ,当P在
圆O运动时,Q点轨迹是？
M
P
【分析】考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹 Q
圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心
O
M满足AO:AM=2:1.
A
即可确定圆M位置,任意时刻均有
△APO∽△AQM，且相似比为2.
【考虑】当点P在圆O上运动时,如何作出Q点轨迹？Q
【分析】Q点满足(1)∠PAQ=45º； (2)AP:AQ= 2:1,故Q点轨迹是个圆.连接 AO,构造∠OAM=45º且AO:AM= 2:1.M点即
P M
为Q点轨迹圆圆心,此时任意时刻均有
△AOP∽△AMQ.即可确定点Q的轨迹圆. A
O
典型例题---轨迹之圆篇
根据AB先求AM,再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A 半径的比值,得到MO,相加即得AO.
O
此题方法也不止这一种,比如可以如下构造旋转,当A、
C、A´共线时,可得AO最大值.或者直接利用“托勒密定理 ”可得最大值.
E
A´ D
当堂训练---轨迹之圆篇
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,AC=8,BC=6,点D是平面内的一个 动点,且AD=4,M为BD的中点.设线段CM长度为a,在D点运动过程中 ,a的取值范围是____3_≤_C_M_≤_.7
【引例】如图,△APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90º且AP=AQ,当点
P在直线BC上运动时,求Q点轨迹?
Q2
【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ
为定值的话,P、Q轨迹是同一种图形.
当确定轨迹是线段的时候,可以任
取两个时刻的Q点的位置,连线即可,
A
比如Q点的起始位置和终点位置,连接
即得Q点轨迹线段.
A
D
M P
C
B
当堂训练---轨迹之圆篇
构图如图2：通过显示圆作出主动点D、从动点M运动的轨迹.主动
点D运动轨迹：以定点A为圆心、AD=4为半径作圆.从动点M运动轨
迹:以定点AB的中点P为圆心,0.5AD=2长为半径的作圆.发现：圆
生圆,有相似
解：在Rt△ABC中：中线PC=0.5AB=5,
在△ABD中：中位线PM=0.5AD=2
【思考1】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为一
边作等边△APQ.
【考虑】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是? Q
【分析】Q点满足(1)∠PAQ=60º；(2)AP=AQ，
M P
故Q点轨迹是个圆：
1)当∠PAQ=60º,可得Q点轨迹圆圆心M满足
∠MAO=60º； 2)当AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且
半圆上,M为PC的中点,当半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径
长为_π___．
P
【分析】∵C,M,P共线及M是CP中点,可确定M A
P
点轨迹：取AB中点O(M),连接CO取CO中点D,以 D为圆心,DM为半径作圆D分别交AC,BC于E,F两
E
M
O(M)
点,则弧EF即为M点轨迹.
D
当然,若能理解M点与P点轨迹关系,可直
此题方法也不止这一种,比如可以如下构造旋转,当A、
C、A´共线时,可得AO最大值.或者直接利用“托勒密定理 ”可得最大值.
E
D
当堂训练---轨迹之圆篇
4.△ABC中,AB=4,AC=2,以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、
CE交于点O,则线段AO的最大值为__3__2_．
【分析】AB、AC均为定值,可以固定其中一条,比如固定 AB,将AC看成动线段,由此引发正方形BCED的变化,求得线
取AP中点Q,当点P在BC上运动时,Q点轨迹是?
【分析】当P点轨迹是直线时,Q点轨 迹也是一条直线.
A
可以这样理解：分别过A、Q向 BC作垂线,垂足分别为M、N,在运动
Q
过程中,因为AP=2AQ,所以QN始终为
AM的一半,即Q点到BC的距离是定值,
故Q点轨迹是一条直线.
BP N M
C
模型解读---轨迹之线段篇
____.
A
【分析】根据△DPF是等边三角形,所以
可知F点运动路径长与P点相同,P从E点
运动到A点路径长为8,故此题答案为8.
P
F
E
B
D
C
当堂训练---轨迹之线段篇
1.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,AD为BC边上的高线,点E为
线段AD上一动点,连接CE,将CE绕点C逆时针旋转60º得到线段CF,
模型总结---轨迹之圆篇
【总结】为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”,点Q为“
从动点”.此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)．
【结论】(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连
A
段AO的最大值.
根据AC=2,可得C点轨迹是以点A为圆心,2为半径的圆.
接下来题目求AO的最大值,所以确定O点轨迹即可,观察
△BOC是等腰直角三角形,锐角顶点C的轨迹是以点A为圆 B
C
心,2为半径的圆,所以O点轨迹也是圆,以AB为斜边构造等 腰直角三角形,直角顶点M即为点O轨迹圆圆心.
M
连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O,此时AO最大,
F
当堂训练---轨迹之圆篇
4.△ABC中,AB=4,AC=2,以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、
CE交于点O,则线段AO的最大值为_____．
【分析】AB、AC均为定值,可以固定其中一条,比如固定
AB,将AC看成动线段,由此引发正方形BCED的变化,求得线
A
段AO的最大值.
根据AC=2,可得C点轨迹是以点A为圆心,2为半径的圆. 接下来题目求AO的最大值,所以确定O点轨迹即可,观察
CM的范围转化为“圆外定点到圆上最值”问题,
即C、P、M三点共线问题. 运动到如图3位置时：
A
D A
CM最大=PC+PM=5+2=7 运动到如图4位置时： CM最小=PC-PM=5-2=3
D
P
M
P
M
1 2 3
模型解读---轨迹之线段篇
引例：如图,A为直线BC外一定点,P是直线BC上一动点,连接AP,
们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?考虑
到Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,连
接QM,PO,任意时刻,QM:PO=AQ:AP=1:2.则M点
即为Q点轨迹圆圆心,半径MQ是OP一半,
模型解读---轨迹之圆篇
【引例2】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQ⊥AP且
AQ=AP.
【考虑】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？
(由△ABC∽△AMN,可得AP:AQ=BC:MN)
A
N
α
A
N
Q
α
BP
M α
C
B
Mα C
典型例题---轨迹之线段篇
【例2】如图,在等边△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发
沿EA方向运动,连结PD,以PD为边,在PD的右侧按如图所示的方式 作等边△DPF,当点P从点E运动到点A时,点F运动的路径长是 8
B P P1
Q1 P2 C
Q
模型总结---轨迹之线段篇
必要条件:主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值
)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).
结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90º时
，∠PAQ等于MN与BC夹角)P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ
A
O
可得半径MQ=PO.即可确定圆M位置,任意时刻均
有△APO≌△AQM．
【小结】可以理解AQ由AP旋转得来,故圆M亦由圆O旋转得来,旋 转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系.
模型总结---轨迹之圆篇
【思考2】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为斜边
作等腰直角△APQ.
中考数学第二轮总复习
纵观近几年中考数学,有一些高频考题，如线段最值问题， 动点路程问题，除了填空选择关于圆的计算以及解答题关于圆 的证明以外,常常会以压轴题的形式考察圆的重要性质。在这些 题目的图形中往往没有出现“圆”，但在解题时却要用到“圆 ”的知识点，我们把这种类型的题目称之为“隐圆模型”
牢记口诀：定点定长圆周走，定线定角双弧跑。 三点必有外接圆，对角互补也共圆。