复变函数论第3章第4节

2φ x 2

2φ y2

0,
那末称φ( x, y) 为区域 D内的 调和函数 .
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问
题中有很重要的应用.
定义3.6 在区域 D内满足 C R 方程
u v , u v , x y y x 的两个调和函数 u、v 中 , v 称为 u 的共轭调和函数 .
从而 g( x) 3x2dx x3 C ,
故得 u( x, y) 的共轭调和函数 :
v 3xy2 g( x)
v( x, y) x3 3xy2 C, 由 u( x, y) 及 v( x, y) 可构成解析函数
f (z) y3 3x2 y i( x3 3xy2 C).
2、解析函数与调和函数的关系
定理 3.18 在区域 D 内解析的函数 f (z) u( x, y) iv( x, y), 其虚部 v( x, y) 必为实部 u( x, y) 的共轭调和函数 .
由调和函数的定义可知 ,任取 D 内的两个调和函 数 u、v , 则 u iv 在 D内不一定构成解析函数 .

0
,
同理可得
2v x 2

2v y2

0.
即 u 及 v 在 D 内满足拉普拉斯 (Laplace) 方程 ：
u 0 ,
v 0 .
这里Δ

2 x 2

2 y2
是一种微分算子，
称为 拉普拉斯算子 .
定义3.5 如果二元实函数 φ( x, y) 在区域 D内具有
二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程
e x (cos y i sin y) ( x iy)e x[cos y i sin y] 1 i
e xiy ( x iy)e xiy 1 i ez ze z 1 i,
f (z) V (z)dz (ez zez 1 i)dz
则 u( x, y) 在 D 内具有二阶连续偏导数 , 而且
2u x 2

2u y2

0,
即
y


u y


x

u x
,
由数学分析知 ，表达式 u dx u dy 是某一函数 y x
的全微分 .
设 u dx u dy dv( x, y), y x
zez (1 i)z C. (C 为任意实常数)
精品课件！
精品课件！
作业
P143 (一) 16 (2) (3) . 18. P146 (二) 15.
3i( x2 2xyi y2 ) 3iz2 ,
f (z) 3iz2dz iz3 C1,
(因为 f (z)的实部为已知函数, 不可能包含 实的任意常数, 所以常数 C1 为任意纯虚数)
故 f (z) i(z3 C). (C 为任意实常数)
例4 用不定积分法求解析函数 f (z) 其中虚部 v( x, y)பைடு நூலகம் ex ( ycos y xsin y) x y.
f (z) ux iuy U(z), f (z) vy ivx V (z),
将上两式积分, 得
f (z) U(z)dz C, f (z) V (z)dz C,
适用于已知实部u 求 f (z), 适用于已知虚部 v 求 f (z),
例2 求 k 值, 使 u x2 ky2 为调和函数. 再求v, 使 f (z) u iv 为解析函数, 并求 f (i) 1的 f (z).
i(z3 C). 解法二 (偏积分法)
因为
v y

u x

6 xy,
所以 v 6 xydy 3xy2 g( x),
又由
v x


3
y2

g(
x)


u y

3
y2

3x2,
得 g( x) 3x2.
u( x, y) y3 3x2 y
得 g( x) 3x2.
由 f (i) 1, 得 C 0, 所求解析函数为
f (z) x2 y2 2xyi z2.
例3 用不定积分法求解例1中的解析函数 f (z) , 已知实部 u( x, y) y3 3x2 y.
解 f (z) U(z) ux iuy 6xy i(3 y2 3x2 )
y ( x0 , y0 )
x
u iv f (z) 是 D内的解析函数 .
注意 (1) 公式 (3.22) 可由下列关系式得出：
dv( x, y) vxdx vydy C R uydx uxdy,
两端积分可得出 v( x, y) ;
(2) 同样地，由已知调和函数 v( x, y) 出发 , 可求出函
这个函数可以化为 f (z) i(z3 C).
练习 1. 证明u( x, y) x3 6x2 y 3xy2 2 y3 为调和函数, 并求其共轭调和函数.
v( x, y) 3x2 y 6xy2 y3 2x3 C.
f (z) z3 i(2z3 C)

x 3x2dx
y
6xydy C
0
0
x3 3xy2 C,
u( x, y) y3 3x2 y v( x, y) x3 3xy2 C
从而得一个解析函数
f (z) u iv y3 3x2 y i( x3 3xy2 C).
这个函数可化为 f (z) y3 3x2 y i( x3 3xy2 ) iC
这就是 C R 方程 , 从而可知 u iv 是解析函数 .
v( x, y) ( x,y) u dx u dy C (3.11)
y ( x0 , y0 )
x
定理 3.19 设 u( x, y) 是在单连通区域 D 内的调和函数 ，
则存在函数 v( x, y) ( x,y) u dx u dy C ,使
则
( x, y) u
u
v(x, y)
dx dy C
y ( x0 , y0 )
x
(3.10) (3.11)
其中 ( x0 , y0 ) 、( x, y) 是 D 内两点，( x, y) 为动点， 并且上述积分与路径无关 .
将 (3.22) 式分别对 x, y 求偏导数 ，得 v u , v u , x y y x
ux 6xy ,
uxx 6 y ,
uy 3 y2 3 x2 , uyy 6 y ,
于是 uxx uyy 0, 故 u( x, y) 为调和函数 .
u( x, y) y3 3x2 y
(2) 解法一 (曲线积分法)
y
(x, y)
(由 dv vxdx vydy uydx uxdy) o
解 f (z) V (z) vy ivx ex (cos y ysin y xcos y) 1 i[ex ( ycos y xsin y sin y) 1]
e x (cos y i sin y) i( x iy)e x sin y ( x iy)e x cos y 1 i
(C为任意常数)
2. 验证 v( x, y) arctan y ( x 0) 在右半 z 平面 x
是调和函数 ，并求以此为虚部的解析函数 f (z) .
f (z) 1 ln( x2 y2 ) i arctan y C ln z C
2
x
不定积分法 已知调和函数u( x, y) 或 v( x, y), 用不定积分
由已知调和函数，求解析函数的方法——
曲线积分法，偏积分法.
例 1 验证 u( x, y) y3 3x2 y 是 z 平面上的调和 函数 ，并求其共轭调和函数 v( x, y) 和由它们构成 的解析函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) .
解 (1) 因在 z 平面上有
解 因为 u 2x, x u 2ky, y
2u x 2

2,
2u y2

2k
,
根据调和函数的定义可得 k 1,
因为 f (z) U(z) ux iuy 2x 2kyi
2x 2 yi 2z,
根据不定积分法 f (z) 2zdz z2 C,
由于 v( x, y) ( x,y) (3x2 3 y2 )dx 6xydy C (0,0)
( x,0) x
( x,0)(3 x2 3 y2 )dx 6 xydy (0,0)
( x, y)(3 x2 3 y2 )dx 6 xydy C ( x,0)
1、调和函数的定义
由上节知 , 区域 D 内的解析函数具有任意阶的 导数 , 因此，在区域 D 内它的实部 u 与虚部 v 都有二 阶连续偏导数 . 现在来研究应如何选择 u与 v才能使 u iv在区域 D 内解析 .
设 f (z) u iv 为 D 内的一个解析函数 ,
那末 u v , u v , x y y x
数 u( x, y) , 使 u iv f (z) 为解析函数 :
du( x, y) uxdx uydy C R vydx vxdy
两端积分，有
( x, y)
u( x, y) ( x0 ,y0 ) v ydx vxdy C .
(3.11)
如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用柯西 －黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个 解析函数u+vi.
若使 u iv 在区域 D内解析 , 则 u 及 v 还需满足C R 方程 , 且 v 为 u 的共轭调和函数 .
因此 , 若已知一个解析函数的实部 u( x, y)(或虚部 v( x, y)), 就可以求出它的虚部 v( x, y)(或实部 u( x, y)).
设 D 是单连通区域 , u( x, y) 是区域 D 内的调和函数 ,
从而
2u x 2

2v yx
,
2u y2


2v xy
.
根据解析函数高阶导数定理,
2u x 2

2v yx
,
2u y2


2v xy
u 与 v 具有任意阶的连续偏导数 , 所以
2v 2v , yx xy
从而有
2u x 2

2u y2
求解析函数的方法称为不定积分法. 不定积分法的实施过程: 解析函数 f (z) u iv 的导数 f (z) 仍为解析函数, 且 f (z) ux ivx ux iuy v y ivx , 把 ux iuy 与 vy ivx 用 z 来表示, f (z) ux iuy U(z), f (z) vy ivx V (z),