2018年浙江省高考数学模拟试卷(名校联盟原创卷4月)

2018年普通高等学校招生全国统一考试(数学)试题卷
( 时间：120分钟 满分：150分 )
参考公式：
如果事件A 、B 互斥,那么 其中S 1、S 2为台体上、下底面积,h 为棱台的高. P (A +B )= P (A )+ P (B )
柱体的体积公式 V =Sh
如果事件A 、B 相互独立,那么 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 P (A •B )= P (A )•P (B )
锥体的体积公式 V =1
3
Sh
如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 球的表面积公式 S =4πR 2
P n (k )=(1)(0,1,2,,)
k k
n k n C p p k n --= 球的体积公式 V =43πR 3
台体的体积公式 V =
1
3
(S 1+12S S S 2) h 其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{|1}{|12}S x x T x x =>=-≤，,则S
T R ð= ( )
A.(],3-∞
B.[]1,1-
C.[]1,3-
D.[1,)-+∞
2.已知抛物线2
8y x =的焦点与椭圆22
22:+1(0)x y C a b a b
=>>的右焦点重合,且椭圆C 的短轴长为3,则椭圆C
的的离心率e = ( )
A. 1625
B.4
5 C.
13 D. 413 3.已知某几何体的三视图(如图),则该几何体的体积为( )
C.
D. 4.等比数列{}n a 中,10a <,则“35a a >”是“14a a >”的 ( )
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 5.若不等式对任意恒成立,则的取值范围
( )
A. B. C. D.
6.设m R ∈,实数,x y 满足,2360,3260.x m x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
若|2|18x y +≤,则实数m 的取值范围是( )
A.36m -≤≤
B.3m ≥-
C.6867m -
≤≤ D.332
m -≤≤ 7.在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点,2 点和5点,3点和4点).开始时,骰子如图1所示摆放,朝上的点数 是2,最后翻动到如图2所示位置.现要求翻动次数最少,则最后
()()1213lg
1lg 33
x x
a x ++-≥-(),1x ∈-∞a (],0-∞[)1,+∞(],1-∞[)0,+∞
E
骰子朝上的点数为2的概率为 ( )
A.
112 B.13 C.16 D.14
8.在平面内,ABC ∆为边长是4的正三角形,P 为ABC ∆内(含边界)一动点,满足0PB PC ⋅=,又点M 为线段PC 的中点,则MB PC ⋅的最大值是 ( )
A.4-
B.3-
C.2-
D.
9.已知实数,,a b c 满足2221114
4
a b c ++=,则22ab bc ca ++的取值范围是 ( )
A.(,4]-∞
B.[4,4]-
C. [1,4]-
D.[2,4]-
10.已知正三棱锥ABC S -,若点P 是底面ABC 内一点,且P 到三棱锥ABC S -的侧面SAB 、侧面SBC 、侧面
SAC 的距离依次成等差数列,则点P 的轨迹是 ( )
A.一条直线的一部分
B.椭圆的一部分
C.圆的一部分
D.抛物线的一部分 二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分. 11.已知复数(1)3i z i +⋅=+，则||z =______，z 的虚部为_______.
12.若2
(23)n
x x --的展开式中所有项的系数之和为256，则n =_____，含3x 项的系数为___. 13.在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对边的长，若423aBC bCA cAB ++=0，则
a
c
=_________，=B cos __________.
14.若非零向量,a b 满足|23|2,|32|1a b a b -=+=，则|5|a b +最大时，
||
_____||
b a =； |5||5|a b a b ++-最大值为______.
15.《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算器体积V 的近似公式2
136
V L h ≈
,则此时圆锥体积公式中的圆周率π近似为_______. 16.某单位一周要安排6名领导值日（周日休息），每天安排一人，每人值日一天，要求甲必须安排在周一到周四的某一天，乙必须安排在周五或周六的某一天，丙不能安排周三值日，则不同的值日安排有__________种． 17.已知函数3
2
()3,f x x x x =--+记(,)M a b 为函数()|()|g x ax b f x =+-
(0,)a b R >∈的[2,0]-上的最大值，则(,)M a b 的最小值是________.
三、解答题：本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.设函数22()sin(2)sin cos 6
f x x x x π
=+
+-.
(1)求()f x 的单调递增区间；
(2)若锐角三角形ABC 中,角A 满足()1f A =,a =
ABC ∆面积为
2
,求b c +的值. 19.(15分)如图,直角梯形A B C D 中,//AB CD ,90∠=BCD ,
2
==BC DC ,
4=AB ,四边形CDFE 为正方形.
(I )若⊥EC BC ,求证：⊥AD BF
(II )
若=AE 求AE 与平面CDFE 所成角的正弦值. 20.(15分)
函数2()ln[1)],0.f x x x =-->若函数()y g x =是()f x 的导函数. (1)求()g x 的解析式；(2)若1
()0g x a
-
≥对任意(0,1]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围. 21.(15分)已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>
的长轴长为,
且经过点(1,2. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若椭圆C 的下顶点为P ,如图所示,点()2,,0M t t >为直线
2x =上的一个动点,过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM ,
且与C 交于,A B 两点,与OM 交于点N ,四边形AMBO 和
ONP ∆的面积分别为12,S S .求当122
3
S S =时t 的取值.
22.(15分)已知数列{}n a 满足n a 为整数且12212,3,(1)(1)n n n a a a a a ++===-+
证明：(1)12n n a a +≤<；(2)2
123213n n n a a a a a a ++⋅⋅⋅≤<
2018年浙江省普通高等学校招生考试数学卷(余高)参考答案
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分. 1~10 ABDBC ABCDA
二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.
(11)
1- (12) 4,120- (13)
311
,424-
(14)
8,(15)3 (16)156 (17) 14
(13)【解析】因为423aBC bCA cAB ++=0，所以423()aBC bCA c CB CA ++-=0，所以(43)(2a c BC b
-+3)c CA -=0,因为,BC CA 不共线，所以430,230,a c b c -=⎧⎨-=⎩
解得33,42c c a b ==，即3
4a c =，222cos 2a c b B ac +-=
=222
991116432424
c c c c c +-=-⨯⨯.
法二：423a b c ==⇒ (17)解析：
三、解答题：本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.解：
(1)1()2cos 2cos 22f x x x x =
+
-12cos 2sin(2)26
x x x π=-=-, …3分
令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+,k Z ∈,得6
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+,k Z ∈. ……5分
所以,()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
,k Z ∈. ……6分
(2)由条件()sin(2)16f A A π
=-=,
∵0A π<<,∴1126
6
6A π
π
π-<-
<
,∴262A ππ-=,解得3
A π
=. ……9分
∵1sin 22
S bc A =
=,∴2bc =. ……11分 又2
2
2cos
33
b c bc π
+-=,化简得2()33b c bc +-=,则2()9b c +=,∴3b c +=.…14分
19.(1)证明：由已知可得：,,.EC DC EC BC DC
BC C ⊥⊥=
EC ∴⊥平面ABCD ,而||,FD EC FD ∴⊥平面ABCD .FD AD ∴⊥.
又
,90.4,.4
BC CD BCD DB AB CDB DBA AD π
=∠=∴==∠=∠=
∴=
AD BD ∴⊥,而,,,,面面FD AD DB FD D AD BDF FB BDF AD BF ⊥=∴⊥⊥∴⊥…5分
(2)
||AB CD ,
易得,,面AB BCE AB BE BE ⊥∴⊥∴=.等腰BCE ∆中6
BEC π
∠=
…8分
过B 作BG EC ⊥于G ,
则BG = ……10分
||,、AB DC A B ∴到平面CEFD 的距离相等,A ∴到面CEFD
距离d = …13分
令AE 与平面CEFD 所成角为α
,sin d AE α∴=
== …15分 20.解：(1)
设1),t t =
>则2211,1
x t x x t +=∴=- 则22(1)1
()2ln 2ln (1)()11
t t f x t t t h t t t --=--=-->=-+ …..3分
则2
212()'()'()'()(2)'()2(1)1g x f x h t t x t x x t -==⋅=--⋅=-+=-分
(2)
11
(),(1)m m a x ϕ≤=≥在[1,)m ∈+∞上恒成立,则min 1()m a
ϕ≤..10分
'()0,()m m ϕϕ=>∴在[1,)m ∈+∞上单调递增
,min ()(1)m ϕϕ=分
1)(,0)a a ∴≤∴∈+∞-∞ ………….15分
21.试题解析：(1)
因为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上,所以2211
12a b
+=,
又因为2a =, 解得2
2
2,1a b ==,所以椭圆C 的方程为2
212
x y += ………….4分
(2)由(1)可知()1,0F , ()()()11222,,,,,M t A x y B x y 设,则:2t OM y x =,所以2AB k t
=-, 直线AB 的方程为()2
1y x t
=-
-,即220x ty +-=, 由()2221220
y x t
x y ⎧
=--⎪⎨⎪+-=⎩得()222816820t x x t +-+-=, 则()(
)()()
2
2
2
4
2
164882840t
t t
t
∆=--+-=+>,2
121222
1682,88t x x x x t t
-+==++,..8分
)2222
4188t AB t
t
+∆===+
+,
…….10分
又OM ,)22122
441288t t S OM AB t t
++∴=⨯==++, 由()212
y x t
t y x
⎧
=--⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩,得244N X t =+
,所以222
1421244S t t =⨯
⨯=++, ……12分 所以2122
224228483
t S S t t t +===+++,解得2t = 所以当122
3
S S =
时, 2t = ……………….15分 22.解：(1)由n a 为整数 …………….1分 下面用数学归纳法证明12n n a a +≤<
当n=1时,显然有1223a a =<= …………….2分
假设当*
()n k k N =∈时有11211,110k k k k a a a a ++≤<->-≥>则必有
则当1n k =+时211(1)110k k k k k a a a a a +++-=-->->12
2k k a a ++∴<<
…..5分
综上,12n n a a +≤<成立 …………………6分 (2)
2111(1)(1)1n n n n n n n a a a a a a a ++++=-+=+--
由(1)知12n n a a +≤<且n a 为整数,所以11n n a a +-≥ … …………..8分 所以1111n n n n n n a a a a a a ++++--≥ …………….9分 所以21n n n a a a ++≥
……..
321a a a ≥ …………..11分
累乘得到2
21231233n n n a a a a a a a a a +≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,左边得证 ……………12分
又11n n a a +-≥,所以11n n a a ++≤
所以2
1111(1)(1)(1)n n n n n a a a a a ++++-+≤-< ……………..14分 即2
211(1)(1)n n n n a a a a +++=-+<
综上：2
123213n n n a a a a a a ++⋅⋅⋅≤< ……………..15分。