北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编：圆锥曲线

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北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编
圆锥曲线
一、选择题
1、（朝阳区2016届高三上学期期末）设斜率为2的直线l 过抛物线2
(0)y ax a =≠的焦点F ,且与y
轴交于点A ,若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为
A.24y x =±
B. 24y x =
C. 28y x =±
D. 28y x = 2、（大兴区2016届高三上学期期末）抛物线2y x =的准线方程是
（A ） 14y =- （B ） 1
2y =-
（C ） 14x =- （D ）1
2x =-
3、（丰台区2016届高三上学期期末）如图，在圆224x y +=上
任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是 （A ）12 （B ）
1
4 （C ）
2
2
（D ）32
4、（海淀区2016届高三上学期期末）已知点(5,0)A ，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的
垂直平分线上，则PA 的长度为
O
D y
x
P M
A.2
B.22
C. 3
D.4 5、（延庆区2016届高三3月一模）已知双曲线的离心率5
3
e =，且焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线实轴长为（ ）
A.6
B. 5
C.
4 D. 3
参考答案
1、C
2、A
3、D
4、D
5、A
二、填空题
1、（昌平区2016届高三上学期期末）若双曲线
22
149
x y -=的左支上一点P 到右焦点的距离是6，则点P 到左焦点的距离为 .
2、（朝阳区2016届高三上学期期末）双曲线2
2
13
y x -=的渐近线方程为 .
3、（大兴区2016届高三上学期期末）双曲线2
2
13
y x -=的焦点到渐近线的距离等于 4、（东城区2016届高三上学期期末）双曲线
22
1169
x y -=的离心率是_________. 5、（海淀区2016届高三上学期期末）已知双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线通过点(1,2), 则
___,b = 其离心率为__.
6、（顺义区2016届高三上学期期末）过椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的焦点垂直于x 轴的弦长为a .
则双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为___________.
7、（西城区2016届高三上学期期末）若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数
p =____；抛物线C 的准线方程为____.
参考答案
1、2
2、3y x =±
3、3
4、
5
4
5、2,5
6、
6
2
7、6 ; 3x =- 三、解答题
1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为3
2,点1(3,)
2
在椭圆C 上.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠与椭圆C 交于A ,B 两点，线段AB 中点为M ,点O 为坐标原点. 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.
2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 22
34x y +=相交于
A ，
B 两点.
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证:OA OB ⊥；
（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.
3、（大兴区2016届高三上学期期末）已知椭圆22
22: 1 (0)x y C a b a b
+=>>的一个顶点为(0,1)M ，
离心率为
6
3
，直线: (0)l y kx m k =+≠与椭圆C 交于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若存在关于过点M 的直线，使得点A 与点B 关于该直线对称，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，用m 表示MAB ∆的面积S ，并判断S 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
4、（东城区2016届高三上学期期末）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点(0,2)，且满足
32a b +=.
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 斜率为1
2
的直线交椭圆C 于两个不同点A ，B ，点M 的坐标为(2,1)，设直线MA 与MB
的斜率分别为1k ，2k ．
① 若直线过椭圆C 的左顶点，求此时1k ，2k 的值；
② 试探究21k k +是否为定值？并说明理由.
5、（丰台区2016届高三上学期期末）已知点F 为抛物线
C :22(0)y px p =>的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ,N 两点，如图.当直线
l 与x 轴垂直时，||4MN =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）已知点(1,0)P -,设直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k .请判断12k k +是否
为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由.
6、（海淀区2016届高三上学期期末）
如图，椭圆22
22:1(0)x y W a b a b
+=>>的离心率为32，其
左顶点A 在圆22
:16O x y +=上. （Ⅰ）求椭圆W 的方程；
（Ⅱ）直线AP 与椭圆W 的另一个交点为P ，与圆O 的另一个
交点为Q . （i ）当82
||5
AP =
时，求直线AP 的斜率； （ii ）是否存在直线AP ，使得||
3||
PQ AP =? 若存在，求出直线AP 的斜率；若不存在， 说明理由.
7、（石景山区2016届高三上学期期末）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x ，其中2
1
=e （e 为
椭圆离心率），焦距为2，过点)0,4(M 的直线l 与椭圆C 交于点B A ,，点B 在AM 之间．又点B
A ,的中点横坐标为
7
4
． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求直线l 的方程．
8、（顺义区2016届高三上学期期末）已知椭圆:E 22
221x y a b
+=(0)a b >>的一个顶点(0,3)A ，
y
x
O
B
A
离心率12
e =
. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 相切于点P ，且与直线4x =相交于点Q . 求证：以PQ 为直径的圆过定点(1,0)N .
9、（西城区2016届高三上学期期末）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为3
2，点
3
(1,
)2
A 在椭圆C 上，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值.
参考答案
1、解：（I ）由题意得222223,2311,4.c e a a
b a b
c ⎧==⎪
⎪
⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩
解得22
4,1a b ==.
所以椭圆C 的方程为2
2 1.4
x y += ……………………5分
（Ⅱ）法一：
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．
将y kx m =+代入2
2 1.4
x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，
2221228(8)4(41)(44)0,,41
km
km k m x x k -=-+->+=
+
故1224241
M x x km
x k +=
=-+，
2
41
M M m y kx m k =+=
+．于是直线OM 的斜率1
4M OM M y k x k ==-，即14OM k k ⋅=-． 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值1
4
-． ……………………13分
法二：
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．则120,0,M x x x ≠-≠
由2
2112
222
14
1
4
x y x y +⎧⎪+=⎨=⎪⎪⎪⎩ 得1
2121212()()()()04x x x x y y y y +-++-= , 则
1212()1
()4
M M y y y x x x -=--,
即1
4
OM k k ⋅=-
． 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值1
4
-
． …………………13分 2、解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以2228
3
c a b =-=．
所以63c e a =
=．所以椭圆C 的离心率为6
3
． …………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．
在223144
x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥． 同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，依题意
211
m k =+，即221k m +=．
由22
34
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩，得222
(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631
km
x x k +=-+，21223431m x x k -=+．
所以22
12121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.
所以1212OA OB x x y y ⋅=+22
1212(1)()k x x km x x m =++++
22
222346(1)3131
m km
k km m k k -=+-+++
222222
2
(1)(34)6(31)31
k m k m k m k +--++=+ 22244431m k k --=+2224(1)44031
k k k +--==+．
所以OA OB ⊥．
综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分
（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高. 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=. 当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，
2
2
1212(1)[()4]AB k x x x x =++-22
222634
1()43131
km m k k k -=+⋅-⋅++
22222
2
219(34)(31)31
k k m m k k +=⋅--++ 22222222
21211234123(1)43131k k k m k k k k ++=⋅-+=⋅-++++ 222
219131
k k k +=⋅++． 所以22422
2
224242
4(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961
k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24
2
2216416
4164419613396k k k k k
=+⋅=+≤+=++++ （当且仅当3
3
k =±
时，等号成立）． 所以max 433AB =
．此时, max 23
(S )3
OAB ∆=. 综上所述，当且仅当33k =±
时，OAB ∆面积的最大值为23
3
．…………14分
3、（I ）因为椭圆C 的一个顶点为(,)01M -
所以1=b ……1分
因为离心率为
3
6
所以
3
6=a c ……2分 所以2
2
23a c = 因为2
2
2
c b a +=
所以32=a ……3分
所以椭圆13
22
=+y x C : ……4分 （II ）设(,)11A x y ，(,)22B x y
由⎩⎨⎧+==+m
kx y y x 3322 得0336132
22=-+++m kmx x k )(
所以()()(),2
2
2
6431330km k m ∆=-+->22
31m k <+ ……1分
122631
km
x x k +=-+， 21223331m x x k -=+ ……2分
122231
m
y y k +=+.
因为,A B 关于过点(,)01M -的直线对称, 所以MA MB =
所以2
22
2212
111)()(++=++y x y x
所以021*******=-+++-+))(())((y y y y x x x x
所以()()212120x x k y y ++++= ……3分
所以021*******=++++-
k k m
k km )(
所以()2
231 1 0m k k =+>≠， ……4分
所以0212>-=∆)(m m ……5分
所以
221
<<m
……6分 （III ）()()()222
12122
122131
m m AB x x y y k k -=-+-=++ ……1分 A 到:l y kx m =+的距离211
m d k +=+
12
MAB S AB d ∆=
()1122122m m m m +-=⨯ ……2分
所以)(2
22343m m
S -+=
设()f m m m m =+
-<<221
3 （2）2
则()2
2
20f m m m '=--
< 所以()f m 在1（，2）2
上是减函数 ……3分
所以面积S 无最大值. ……4分
4、解：(Ⅰ)由椭圆过点(02)，，则2b =
.
又32a b +=， 故22a =.
所以椭圆C 的方程为12
82
2=+y x . (4)
分
(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1
:22
l y x =
+， 由22
12218
2y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1102x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，，或2222,0.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故21
21--
=k ，2
1
22-=k . ………………………………8分 ②21k k + 为定值，且021=+k k . 设直线的方程为m x y +=
2
1
.
由22
1218
2y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得042222=-++m mx x . 当0168422>+-=∆m m ，即22<<-m 时，直线与椭圆交于两点. 设),(11y x A .),(22y x B ,则122x x m +=-，42221-=m x x . 又21111--=
x y k ，2
1
222--=x y k ，
故2121221121--+--=+x y x y k k =)
2)(2()
2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y . 又m x y +=
1121，m x y +=222
1
， 所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y )2)(12
1()2)(12
1
(1221--++--+=x m x x m x
)1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m .
故021=+k k . ……………………………14分
5、解（Ⅰ）∵F 为抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，
∴(,0)2
p
F ．…………1分
又∵l 与x 轴垂直，且4MN =，
∴(,2)2
p
M ．…………2分
又∵点M 在抛物线上，
∴2422
p
p p =⨯=，
∴2p =，
∴求抛物线C 的方程为24y x =．……………5分
（Ⅱ）结论：120k k +=，为定值．
设直线l 与抛物线交于不同两点11(,)M x y ，22(,)N x y ， ①当直线l 斜率不存在时，知直线PM 与PN 关于x 轴对称， ∴120k k +=．
②当直线l 斜率存在时，直线l 的方程设为(1)y k x =-，
联立2(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，
∴2122
24
k x x k
++=，121x x =． 又∵1
111
y k x =
+，2221y k x =+，
且11(1)y k x =-， 22(1)y k x =-， ∴12121211
y y k k x x +=
+++ 122112(1)(1)
(1)(1)
y x y x x x +++=
++
122112(1)(1)(1)(1)
(1)(1)k x x k x x x x -++-+=
++
1212122(1)
()1
k x x x x x x -=
+++．
∵121x x =， ∴120k k +=．
综上所述120k k +=． ……………………14分
6、解：（Ⅰ）
因为椭圆W 的左顶点A 在圆22
:16O x y +=上，所以4a =. ………………………….1分
又离心率为
32，所以3e 2
c a ==，所以23c =, ………………………….2分 所以2224b a c =-=, …………………………….3分
所以W 的方程为22
1164
x y +=. …………………………….4分
（Ⅱ）（i ）
法一：设点1122(,),(,)P x y Q x y ，显然直线AP 存在斜率，
设直线AP 的方程为(4)y k x =+， ………………………….5分
与椭圆方程联立得22
(4)1164
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩, 化简得到2222
(14)3264160k x k x k +++-=， ………………………….6分
因为4-为上面方程的一个根，所以
2
12
32(4)14k x k -+-=
+，所以
212
416
14k x k
-=+ .…………………………….7分 由2182
||1|(4)|5
AP k x =+--=， …………………………….8分
代入得到2
28182||145
k AP k +==
+，解得1k =±, ……………………….9分
所以直线AP 的斜率为1,1-. （ii ）因为圆心到直线AP 的距离为2|4|1
k d k =
+， …….10分
所以2
22
168
||2162
11AQ d k k =-==++. …………………………….11分 因为
||||||||
1||||||
PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， …………………………….12分 代入得到
22222
2
22
8
||14331113||1118114PQ k k k AP k k k k k ++=-=-==-+++++. …………………………….13分 显然2
3
331k -
≠+，所以不存在直线AP
，使得||3||PQ AP =. …………….14分 法二：（i ）设点1122(,),(,)P x y Q x y ，显然直线AP 存在斜率且不为0 ， 设直线AP 的方程为4x my =-， ………………………….5分
与椭圆方程联立得22
4
1164
x my x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩, 化简得到22
(4)80m y my +-=, …………………………….6分
显然4-上面方程的一个根，所以另一个根，即
1284
m
y m =
+, …………………………….7分 由2182
||1|0|5
AP m y =+-=， …………………………….8分
代入得到228||82
||145m AP m m =+=
+，解得1m =±. ……………………….9分 所以直线AP 的斜率为1,1-
（ii ）因为圆心到直线AP 的距离为2
|4|1d m
=
+， …………………………….10分
所以22
22168||
||216211m m AQ d m m
=-==++. …………………………….11分 因为
||||||||
1||||||
PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， …………………………….12分 代入得到
2222
22
8||
||431118||||1114
m PQ m m m AP m m m m ++=-=-=++++. …………………………….13分 若
2
3
31m
=+，则0m =，与直线AP 存在斜率矛盾， 所以不存在直线AP ，使得
||
3||
PQ AP =. …………………………….14分 7、解：（Ⅰ）由条件可知，1,2c a ==，故2
2
2
3b a c =-=， ………3分
椭圆的标准方程是
22
143
x y +=． ………4分 （Ⅱ）由已知,,A B M 三点共线， 设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ．
若直线AB x ⊥轴，则124x x ==，不合题意． ………5分 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(4)y k x =-． …6分
由22
(4)
3412
y k x x y =-⎧⎨
+=⎩ 消去y 得，2
2
2
2
(34)3264120k x k x k +-+-=．① ………8分
由①的判别式△=4222
3224(43)(6412)144(14)0k k k k -+-=->， …9分 解得21
4
k <
， ………10分 21223243
k x x k +=+,2122
6412
43k x x k -=+. ………11分
由21221642437x x k k +==+，可得21
8
k =，即有24k =±. ………12分
即所求直线方程为2
(4)4
y x =±
-. ………13分 8、解：（Ⅰ）由（Ⅰ）由已知， 【2分】
解得，所求椭圆方程为 【4分】
（Ⅱ）消去得
曲线与直线只有一个公共点，
，
可得（*） 故
设
，
，
. 【8分】
又由
，
，
，
【10分】
，
以为直径的圆过定点 【14分】
9、（Ⅰ）解：由题意，得3
2
c a =
，222a b c =+， ……………… 2分 又因为点3
(1,)2
A 在椭圆C 上，
所以221314a
b
+=， ……………… 3分
解得2a =，1b =，3c =，
所以椭圆C 的方程为14
22
=+y x . ……………… 5分
（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，
易得直线1OP ，2OP
的斜率之积121
4
k k ⋅=-. …………… 6分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. …………… 7分
由方程组22
,1,4
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ……………… 8分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……………… 9分 由方程组22
,
5,
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(1)250k x kmx m +++-=， ……………… 10分 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221
km x x k -+=
+，21225
1m x x k -⋅=+， ……………… 11分 所以22
1212121212121212
()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅=== 22
2
22222
2252511551
m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分 将2241m k =+代入上式，
得212211
444
k k k k -+⋅==--.
综上，12k k ⋅为定值1
4
-. ……………… 14分。