安徽省淮南市寿县第二中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题【含答案】

安徽省淮南市寿县第二中学2019-2020学年高一数学下学期期末考
试试题
第I 卷（选择题 共60分)
一、单选题（本大题共12小题，每题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意） 1．已知x y >，则下列各式中一定成立（ ）
A ．11x y <
B ．12
x y +>
C ．11
()()2
2x y
> D ．22
2x y
-+>
2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且,35,13782==+S a a ，则8a =（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
3.一个等差数列共有12+n 项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（ ） A ．30
B ．31
C ．32
D ．33
4．已知数列的通项公式为，它的前项和，则项数等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知b a ,是不相等的正数，且0--22=++ab b b a a ，则b a +的取值范围是（ ）
A ．)34
,0( B ．)34,1( C ．)23,0( D ．)2
3,1(
6．在公比为2的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 7﹣2S 6＝1，则a 1+a 5＝（ ） A ．5
B ．9
C ．17
D ．33
7若不等式组033x y x y x y a ->⎧⎪
+<⎨⎪+>⎩
表示一个三角形内部的区域，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．3,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
8．在ABC ∆中，2AB AC =,AD 是A ∠的平分线，且AC tAD =,则t 的取值范围是( )
A ．3,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
B ．41,3⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭
9．设正实数,,x y z 满足22
240x xy y z -+-=，则xy z
当取得最大值时，
211
x y z
+-的最大值为（ ）
A ．1
B ．4
C ．
9
4 D ．92
10．设x,y 满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则
492
2b a +的最小值为( ) A ．2
1 B ．
25
13 C ．1 D ．2
11．在数列{}n a 中，21n
n a =-，一个5行6列的数表中，第i 行第j 列的元素为
ij i j i j c a a a a =⋅++(1,2,
,5,1,2,,6)i j ==，则该数表中所有元素之和为（ ）
A ．132410-
B ．132380-
C ．12214-
D ．1224-
12.已知函数21(01)()(1)(1)x x f x f x m x ⎧-≤≤=⎨-+>⎩
在定义域[)0,+∞上单调递增，且对于任意0a ≥，
方程()f x a =有且只有一个实数解，则函数()()g x f x x =-在区间*
0,2()n n N ⎡⎤∈⎣⎦
上的所有零点的和为（ ）
A ．(1)2
n n +
B ．21
1
2
2
n n --+
C ．2(21)2
n +
D ．21n -
第II 卷（非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝7a 1，则{a n }的公比q 的值为_____．
14．设ABC ∆的内角A 、B 、 C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =
，
()2cos 3cos a c B C -=，则ABC ∆面积的最大值是__________.
.15关于x 的一元二次方程01)1-(2
=++x m x 在区间[]2,0上有实数解则实数m 的取值范围为
______.
16．若存在实数,a b ，对任意实数[0,4]x ∈，使不等式x m ax b x m -≤+≤+恒成立，
则m 的取值范围为______.
三、解答题（本大题共6题，17题10分，18—22题每题12分，共70分）
17．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．
18．已知函数2
()1()f x ax ax a R =--∈.
(1)若对任意实数x ，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)解关于x 的不等式()23f x x <-
19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-. (1) 求出数列{}n a 的通项公式；
(2) 记(21)(1)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin 4sin 5sin b B a B a A =+.
（1）若c =
，求角C 的大小；
（2）若2a =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.
21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
12
n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列2
2n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：3
2n T <．
22．已知函数()()()3log 101
x f x x x +=
>+的图象上有一点列()()*,n n n P x y n N ∈，
点n P 在x 轴上的射影是(),0n n Q x ，且132n n x x -=+(2n ≥且*n N ∈)，12x =. (1)求证：{}1n x +是等比数列，并求出数列{}n x 的通项公式； (2)对任意的正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式2
1
363
n t mt y -+
>恒成立，求实数t 的取值范围.
(3)设四边形11n n n n P Q Q P ++的面积是n S ，求证：121113
2n
S S nS ++⋯+<
答案
1 ~ 1
2 DDCDB CDABA AB
13.2或﹣3 14
33
15. 1-≤m 1614m ≥ 17.试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1， 得2cos 2
A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，
解得cos A ＝或cos A ＝－2(舍去)．
因为0<A<π，所以A ＝.
（2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝.
从而由正弦定理得sin B sin C ＝sin A×sin A ＝sin 2
A ＝
×＝.
18试题解析：（1）当0a =时，()10f x =-<恒成立；
当0a ≠时，要使对任意实数x ，()0f x <恒成立，需满足()()2
0410a a a <⎧⎪
⎨∆=---<⎪⎩
， 解得4
0a ，故实数a 的取值范围为04-≤<a .
（2）由不等式()23f x x <-得()2
220ax a x -++<， 即()()210ax x --<.
方程()()210ax x --=的两根是11x =，22
(0)x a a
=
>. ①当0a <时，
20a
<，不等式的解为2
x a <或1x >；
②当0a =时，不等式的解为1x >； ③当02a <<时，2
1a <
不等式的解为21x a
<<； ④当2a =时，2
1a
=
，不等式无解； ⑤当2a >时，2
1a >
，不等式的解为21x a
<< 综上：①当0a <时，不等式的解为{
x 2
x a
<
或}1x >； ②当0a =时，不等式的解为{
x }1
x >；
③当02a <<时，不等式的解为{
}21x x a
<<；
④当2a =时，，不等式解集为∅ ； ⑤当2a >时，不等式的解为{
}2
1x
x a
<< 19（1）2n n S a n =-（n ∈N*）， 可得n ＝1时，a 1＝S 1+1＝2a 1， 即a 1＝1，
当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，
S n +n ＝2a n ，S n ﹣1+n ﹣1＝2a n ﹣1，
相减可得a n +1＝2a n ﹣2a n ﹣1，
可得a n ＝2a n ﹣1+1，即a n +1＝2（a n ﹣1+1），
则数列{a n +1}为首项为2，公比为2的等比数列， 可得a n +1＝2n
，即a n ＝2n
﹣1；
（2）(21)(1)=(21)2n
n n b n a n =-+-⋅
前n 项和为T n ＝()12
12+32+
212n n ⋅⋅-⋅①
2T n ＝()23
+112+32+
212n n ⋅⋅-⋅②
① ②相减可得﹣T n ＝2+2(22
+…+2n)
﹣()+1
212
n n -⋅=()()114122+221212
n n n -+-⋅
--⋅-
化简可得1(23)26n n
T n +=-⋅+
20.试题解析：（1）∵sin 4sin 5sin b B a B a A =+，∴22540a ab b +-=，∴5b a =.
∵c =，∴22222
51
cos 2102
a b c a C ab a +--===-.∵()0,C π∈，∴23C π=. （2）∵2a =，∴10b =
，∴
1sin 10sin 2ab C C ==
sin 2
C =. 当C 为锐角时，
由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-=1
41002210842
+-⨯⨯⨯
=，
∴c =，此时ABC ∆
的周长为12+当C 为钝角时，
由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-=1410022101242⎛⎫
+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，∴c =此时ABC ∆
的周长为12+21【详解】
（1）当1n =时，1111
12
S a a =
+-，即12a =， 当2n ≥时，1
12
n n n S na a =
+-①， ()1111
112
n n n S n a a ---=
-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，
11n n a a n n
-∴
=+，且112a
=，
∴数列1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()
*1n a n n N =+∈；
（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211
221n a n n n n n ∴
=<=-+++， 11111
111113
1132435
22122
n T n n n n ∴<-+-+-+
+
-=+--<+++. 22.(1)解：由132n n x x -=+(2n ≥且*n N ∈)得()1131n n x x -+=+(2n ≥且*n N ∈)
∵113x +=，∴10n x +≠，∴
11
31
n n x x -+=+，(2n ≥且*n N ∈)
∴{}1n x +是首项为3，公比为3的等比数列. ∴()1
1113
3n n n x x -+=+=.
∴31n
n x =-，*n N ∈.
(2)∵()(
)3log 311311
3n n n
n n
n y f x -+===-+，
∵11131
33n n n n y n n y n n
++++=⋅=，*n N ∈，又312111n n n n =++->+>，
∴1
1n n
y y +<故数列{}n y 单调递减，(此处也可作差10n n y y +-<证明数列{}n y 单调递减) ∴当1n =时，n y 取得最大值为
13
. 要使对任意的正整数n ，当[]
1,1m ∈-时，不等式2
1
363
n t mt y -+
>恒成立， 则须使()2
max 11
3633
n t mt y -+
>=，即220t mt ->，对任意[]1,1m ∈-恒成立， ∴2220
20
t t t t ⎧->⎨+>⎩，解得2t >或2t <-， ∴实数t 的取值范围为()(),22,-∞-⋃+∞.
(3)(
)()
1
13
13123n n n n n Q Q ++=---=⋅，而3
n n n n P Q =
， ∴四边形11n n n n P Q Q P ++的面积为()
1111
2
n n n n n n n S P Q P Q Q Q +++=
+ 11141232333n
n n n n
n +++⎛⎫=
+⋅⋅=
⎪
⎝⎭
()()131211111
112123414414414441n nS n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-<-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12111111111113131322233411n S S nS n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+<-+-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∴故
12111
32n
S S nS ++⋯+<.。