柱、锥、台、球的结构、三视图和直观图资料

到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的左视图为
()
解析：当三棱锥没有截去三个角时的侧视 图如图(1)所示，由此可知截去三个角后的 侧视图如图(2)所示． 答案：A
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
反思感悟：善于总结，养成习惯 1．三视图的安排位置
正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图画在正视图的下边． 2．注意实虚线的区别
四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是
()
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解析：如图所示，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底
面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；
2．旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台 和球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系， 也就掌握了它们各自的性质．
3．三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我 们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三 视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
联动思考
想一想：由棱柱的结构特征可知：棱柱有两个面互相平行， 其余各面都是平行四边形，反过来，成立吗？ 答案：不一定成立．如图所示几何体有两个 面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足 “每相邻两个侧面的公共边互相平行”，故它 不是棱柱． 议一议：空间几何体的三视图和直观图的区别． 答案：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是 从某一点观察几何体而画出的图形．(2)效果：三视图是正投影下的平面图形，直观 图是在平行投影下画出的空间图形．
的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱．
(2)棱锥：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由
这些面所围成的几何体叫棱锥．
(3)棱台：用一个平行棱锥的底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫
棱台．
2．旋转体
(1)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满
足任意截面都是圆面．
答案：C
考基联动
考向导析
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限时规范训练
3．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找
到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个
点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所
成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．
答案：B
考基联动
考向导析
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考向二 几何体的三视图
【例2】 将正三棱柱截去三个角(如图1所示)，A，B，C分别是△GHI三边的中点得
S′＝ 42S，能进行相关问题的计算． 迁移发散
3．如图，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的
直观图，其中 O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形
是
()
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．一般的平行四边形
解析：将直观图还原得▱OABC，则
∵O′D′＝ 2O′C′＝2 2(cm)，
OD＝2O′D′＝4 2(cm)， C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，
在图②中作
C′D′⊥A′B′于
D′，则
C′D′＝
22O′C′＝
6 8 a.
∴S△A′B′C′＝
1A′ 2
6a＝ 6a2. 8 16
答案：D
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考向导析
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反思感悟：善于总结，养成习惯 对于直观图，除了了解其画图规则外，还要了解原图形面积 S 与其直观图面积 S′之间的关系
严格按排列规则放置三视图，并用虚线标出长、宽、高的关系，对准确把握几 何体很有利．
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迁移发散
2．如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的标号正确的
是
()
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱
A．④③②
B．①③②
C．①②③
D．④②③
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问题 症结
案例
空间三视图是新课标教学中新增加的知识点，也成了近几年高考的常考点，而考生在 做这类问题时，也常常出现错误：①还原空间几何体形状出错；②计算表面积时易漏 掉部分表面．
已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标 出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是 ________．
柱、锥、台、球的结构、三视图和直观图
授课：刘玉国
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1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图， 能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．
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反思感悟：善于总结，养成习惯 熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变 换模型中的线面位置关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定，是解 决这类题目的基本思考方法．
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迁移发散
1．(2010·广州模拟题)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，
错因分析
在由三视图还原直观图时， 误把正视图看作空间几何体 的外侧面，从而出错，还有 的考生单位遗漏，导致失 分．
纠错笔记
学生 抽样
赏析 感悟
对于三视图的应用，要熟记“高对正、宽平齐、长相等”，对它的理解(高对正， 即为几何体的高与正视图与侧视图的高相等；宽平齐，指几何体的宽与侧视图的宽， 俯视图的宽相等)，找准对应，可有效避免对应错误.
3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空 间图形的不同表示形式．
4．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等 不作严格要求).
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1．多面体的结构特征
基础自查
(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形
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考向三 几何体的直观图
【例 3】 已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ABC 的平面直观图
△A′B′C′的面积为
()
A. 3a2 4
B. 3a2 8
C. 6a2 8
解析：如图①、②所示的实际图形和直观图．
D. 6a2 16
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝ 43a，
3．平行投影与中心投影 (1)把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影． (2)把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影．
4．三视图 (1)三视图就是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方 向看这个几何体，描绘出的三视图，分别称为主视图、左视图、俯视图． (2)三视图的排列顺序：先画主视图，俯视图放在正视图的下方，左视图 放在主视图的右方．
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答案：(1)(3)
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考向一 几何体的特征
【例1】 下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)． 解析：对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂 直且互相平行，故①假；对于②，两截面的交线平行于侧棱， 且垂直于底面，故②真；对于③，作正四棱柱的两个平行菱 形截面，可得满足条件的斜四棱柱(如图(1))，故③假；对于 ④，四棱柱一个对角面的两条对角线，恰为四棱柱的对角线， 故对角面为矩形，于是侧棱垂直于底面的一对直角，同样侧棱 也垂直于底面的另一对直角，故侧棱垂直于底面，故④真．(如图(2))． 答案：②④
几何体叫做圆柱．
(2)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的
面所围成的几何体叫做圆锥．
(3)圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，叫
做圆台．
(4)球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体．
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考向导析
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联动体验
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是
()
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱锥的侧棱长都相等
C．棱台的上下底面是相似多边形
D．有的棱台的侧棱长都相等
解析：由棱柱、棱锥、棱台的定义、性质可知，选项B不正确．
答案：B
2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
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考向导析
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5．直观图 水平放置的平面图形的直观图常用斜二测画法来画． (1)在已知图形中，取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O，画直 观图时，把它们画成对应的 x′轴和 y′轴，两轴相交于 O′，且使 ∠x′O′y′＝45°(或 135°)，用它们确定的平面表示水平面． (2)已知图形中平行于 x 轴和 y 轴的线段，在直观图中，分别画成平行于 x′轴和 y′轴的线段． (3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半．
限时规范训练
解析：题干甲图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个圆，因此该几何体 是一个圆柱；乙图中，正视图和侧视图都是三角形，俯视图是一个三角形以及内 部的三条线段，因此该几何体是一个三棱锥；丙图中，正视图和侧视图都是三角 形，俯视图是一个圆以及内部的一个点，因此该几何体是一个圆锥．故甲、乙、 丙对应的标号应为④③②，选A. 答案：A
视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为
()
解析：正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视 图中小长方形在右上方，排除A. 答案：C
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考向导析
规范解答
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5．从如右图所示的圆柱中挖去一个以圆柱的上 底面为底面，下底面的圆心为顶点的圆锥得 到一个几何体，现用一个平面去截这个几何体， 若这个平面垂直于圆柱的底面所在的平面，那么 所截得的图形可能是下图中的________(把所有可 能的图形的序号都填上)．
③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两点母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是
()
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
解析：由母线的定义可知①③错．
答案：D
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4．(2010·北京卷)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)
OC＝ CD2＋OD2＝ 22＋4 22＝6(cm)， OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC， 故原图形为菱形． 答案：C
考基联动
考向导析
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课堂总结 感悟提升
1．要明确柱体、锥体，台体和球的定义，定义是处理问题的关键；认识和把握几何 体的几何结构特征，是我们认识空间几何体的基础；对于几何体的结构特征要从 其反映的几何体的本质去把握，有利于从中找到解题突破点．