江苏省洪泽中学2013届高三上学期期末考试数学试题

一、填空题
1．两圆x 2+y 2+6x +4y =0及x 2+y 2
+4x +2y -4=0的公共弦所在直线方程为_________.
2．正四面体ABCD 的外接球的球心为0,E 是BC 的中点，则直线OE 与平面BCD 所成角的正切值为 .
3．若函数⎩⎨⎧<≥+=)0()
()
0(2)(2x x g x x x x f 为奇函数，则(1)g -＝______________．
4= 。

5．在R 上定义运算“△”：x △y = x ( 2 – y )，若不等式( x + m )△x < 1对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是_______________．
6．将全体正整数排成一个三角形数阵 1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15 … … … … … … … … …
根据以上排列规律，数阵中第n （n ≥3）行的从左至右的第3个数是______
7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ． 8．13.圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60°，则圆台的侧面积．．．为 .
9． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n 对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_____.
10．设函数f(x) 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x ＋1)＝－f(x)，已知当x
∈[0，1]时，f(x)＝3x
.则 ① 2是f(x)的周期； ② 函数f(x)的最大值为1，最小值为0； ③ 函数f(x)在(2，3)上是增函数； ④ 直线x ＝2是函数f(x)图象的一条对称轴. 其中所有正确命题的序号是 .
11．已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是
12．函数_________
13．半径为R 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为__ ____．
14．已知实数,x y 满足250x y --=，则22
x y +的最小值为________.
二、解答题
15．（本小题满分14分）已知动圆M 过定点()0,1F ，且和定直线1y =-相切．（Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点()()()0,,0,0P m Q m m ->，过点P 作直线与曲线C 交于,A B 两点，若AP PB λ=（λ为实数），证明：()
QP QA QB λ⊥-．
16．(本小题满分10分).选修4-4：坐标系与参数方程
（1）求圆的普通方程和一个参数方程；（4分）
（2）圆上所有点),(y x 中xy 的最大值和最小值.（6分）
17．有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[);6,5.15,5.12[);16,5.18,5.15[);18,5.21,5.18[);22,5.24,5.21[);20,5.27,5.24[);10,5.30,5.27[)8,5.33,5.30
（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于30.5的概率。

18．（（本小题满分14分）如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求直线
1BC 与AC 所成的角；
（２）求直线
1D B 与平面ABCD 所成角的正切值；
（３）求证：平面1BDD ⊥平面1ACA ．
19．已知两点A(-2,1),B(4,3),求经过两直线2x-3y+1=0和3x+2y-1=0的交点和线段AB中点的直线l的方程.
20．从一副扑克牌的红桃花色中取5张牌，点数分别为1、2、3、4、5，甲、乙两人玩一种游戏：
甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌，记下点数.如果两个点数的和为偶数就算甲胜,否则算乙胜.
（Ⅰ）求甲胜且点数的和为6的事件发生的概率；
（Ⅱ）分别求出甲胜与乙胜的概率，判断这种游戏规则公平吗？
参考答案1．x+y+2=0
【解析】将两圆方程相减得2x+2y+4=0,即x+y+2=0. 2
【解析】如图，设正四面体边长为1，OEH
∠就是直线OE与平面BCD
所成的角，计算得
，根
，因
为，展开上式
得
，
，
3．-3
【解析】因为函数为奇函数，则x<0,-x>0,f(-x)=g(-x)=x2-2x,则可知(1)
g-
=-3
4
【解析】略
5．40
m
-<<．
【解析】解：由题意得：（x+m）△x=（x+m）（2-x）＜1，
变形整理得：x2+（m-2）x+（1-2m）＞0，
因为对任意的实数x不等式都成立，
所以其对应的一元二次方程：x2+（m-2）x+（1-2m）=0的根的判别式△=（m-2）2-4（1-2m）＜0，解得：-4＜m＜0．
6
【解析】略 7
【解析】设正方体棱长为2，以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)D E =，
1(2,0,2)C B =，设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为(1,,)n λμ=，则110
n D E n C B ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，即20220λμ+=⎧⎨+=⎩，21
λμ=-⎧∴⎨=-⎩，(1,2,1)n ∴=--，又11(0,2,0)D C =，1146D C n n ⋅=
所以异面直线1D E 和1BC 8．6
π 【解析】略 9．2
【解析】设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n
对于所有n ≥1)，
则a 4=S 4－S 且a 4=54，则a 1 =2 10．①③④
【解析】略 11．1＜a ＜2 【解析】
【错解分析】∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0 ∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数， ∴a ＞1
【正解】∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0 ∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数， ∴a ＞1
又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数， ∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可，∴a ＜2
综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2
【点评】解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.
12．[5,2]-- 【解析】
【错解分析】因为函数2
()54g x x x =--的对称轴是2x =-，图像是抛物线，开口向下，由
图可知2()54g x x x =--在(,2]-∞-上是增函数，所以增区间是
(,2]-∞-
【正解】的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以的增区间是[5,2]--
【点评】在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.
13【解析】
试题分析：根据题意可知球心与墙角顶点可构成边长为a 的正方体如图，则球心到墙角顶点。

考点：空间中两点之间的距离。

点评：本题主要考查了空间两点的距离。

做本题的关键是构造正方体进行解题，属于中档题。

14．5 【解析】
试题分析：因为实数,x y 满足250x y --=，所以5-2x y =，所以22
x y +=2520-52
+x x ，
由二次函数的性质知：2
2
x y +的最小值为5。

考点：点到直线的距离公式；二次函数的性质。

点评：此题也可以用数形结合的思想来做：求2
2
x y +的最小值即求直线250x y --=上一点到原点距离的平方的最小值，利用点到直线的距离公式即可。

是一道中档题。

15．(Ⅰ) y x 42
= (Ⅱ) 见解析
【解析】（Ⅰ）解：由抛物线定义知
M 点的轨迹是以()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，………3分
所以M 点的轨迹C 的方程是y x 42
=．……………………5分
（Ⅱ）证明：设直线AB 的方程为m kx y +=，代入抛物线方程得：2440x kx m --=． 设,A B 两点的坐标分别是11(,)x y ，22(,)x y ，则124x x m =-．………………7分 由点P 满足AP PB λ=，得120x x λ+=． 又点Q 的坐标是(0,)m -，从而(0,2)QP m =．
而1122(,)(,)QA QB x y m x y m λλ-⋅=+-+，……………………9分 则12()2[
(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-
．
所以，()QP QA QB λ⊥-．……………………14分 16．（1）普通方程：224
460x y x y +--+=┈┈2分；
（θ为参数）┈┈4分 （2）最小值是1，最大值是9
【解析】本试题主要考查了极坐标方程和参数方程的综合运用。

（1）利用极坐标与直角坐标的关系式可以得到圆的普通方程和参数方程 （2）结合参数方程的思想，和三角函数的性质得到最值。

解：（1）普通方程：224
460x y x y +--+=┈┈2分；
（θ为参数）┈┈4分 （2
5分
6分
时，最小值是1；┈┈8分
时，最大值是9；┈┈10分
17．解：（1）样本的频率分布如下：
2）频率分布直方图如图
（3）数据大于等于30.5的频率是0.08，所以，小于30.5的频率是0.92. 所以，小于30.5的概率约是0.92.
【解析】略 18．略
【解析】证明：（1）连接11AD D C ,，所以四边形
11ABC D 是平行四边形，
1//A D DC ∴１１1∴∠D AC 为异面直线1BC 与AC 所成的角. ∴异面直线
1BC 与AC 所成的角为600-------------5分
（2）
1DD ABCD ⊥平面1∴∠D DB 为直线1D B 与平面ABCD
所成的角，
1Rt D DB ∆中
∴直线1D B 与平面ABCD 所成角的正切值为分
（3）11111BD AC AC BD D DD ABCD DD AC AC ACA AC ABCD BD DD ⊥⎫
⊥⊥⎫
⎫⎪⇒⊥⇒⇒
⎬⎬⎬⊂⊂⎭⎭⎪⋂⎭
平面平面又平面平面
11ACA BD D
⇒⊥平面平面-------------------14分
19．l 的方程为7x -4y +1=0.
【解析】解法一:由得
∴交点坐标为.
又线段AB中点坐标为(1,2),
∴由两点式,
得l的方程为7x-4y+1=0.
解法二:设所求直线l的方程为2x-3y+1+λ(3x+2y-1)=0,
整理得(2+3λ)x+(2λ-3)y+(1-λ)=0.
∵直线l过线段AB的中点M(1,2),
∴(2+3λ)×1+(2λ-3)×2+(1-λ)=0.
可得.
代入直线方程得l的方程为7x-4y+1=0.
20．
【解析】
试题分析：由已知可得，该游戏的基本事件有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，.......................3分（Ⅰ）记事件A：甲胜且点数的和为6，则
事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)
故事件A分
（Ⅱ）记事件B：甲胜；记事件C：乙胜，则
事件B包含的基本事件有13种
事件C包含的基本事件有12种.........................9分
故事件B
事件C分
综上所述，这个游戏规则不公平.................12分
考点：等可能事件的概率；古典概型的概率计算公式。

点评：本题考查等可能事件概率的计算，结合游戏的公平性，若双方取胜的概率相等，则游戏公平，反之，游戏不公平．。