长治市第一中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
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长治市第一中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--,{|||3,}B y y x x A ==-∈,则A B =( )
A .{2,1,0}--
B .{1,0,1,2}-
C .{2,1,0}--
D .{1,,0,1}-
【命题意图】本题考查集合的交集运算,意在考查计算能力. 2. 设n S 是等差数列{}n a 的前项和,若5359a a =,则95
S
S =( ) A .1 B .2 C .3 D .4
3. 若,m n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,则下列为真命题的是( ) A .若,m βαβ⊂⊥,则m α⊥ B .若,//m m n α
γ=,则//αβ
C .若,//m m βα⊥,则αβ⊥
D .若,αγαβ⊥⊥,则βγ⊥
4. 已知是虚数单位,,a b R ∈,则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 5. 在ABC ∆中,10a =,60B =,45C =,则等于( )
A
.10 B
.1) C
1 D
.6. 已知在平面直角坐标系xOy 中,点),0(n A -,),0(n B (0>n ).命题p :若存在点P 在圆
1)1()3(22=-++y x 上,使得2
π
=
∠APB ,则31≤≤n ;命题:函数x x
x f 3log 4
)(-=
在区间 )4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是( )
A .)(q p ⌝∧
B .q p ∧
C .q p ∧⌝)(
D .q p ∨⌝)( 7. 设集合3|01x A x x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 ( )
A .1a ≥
B .12a ≤≤ C.a 2≥ D .12a ≤< 8. 执行右面的程序框图,如果输入的[1,1]t ∈-,则输出的S 属于( ) A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -
【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识,意在考查运算能力和转化思想的运用.
9. 数列{}n a 中,11a =,对所有的2n ≥,都有2123
n a a a a n =,则35a a +等于( )
A .259
B .2516
C .6116
D .3115
10.已知一三棱锥的三视图如图所示,那么它的体积为( )
A .
13 B .2
3
C .1
D .2 11.已知,A B 是球O 的球面上两点,60AOB ∠=︒,C 为该球面上的动点,若三棱锥O ABC -体积的最大
值为O 的体积为( )
A .81π
B .128π
C .144π
D .288π
【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力.
12.若直线L :047)1()12(=--+++m y m x m 圆C :25)2()1(2
2=-+-y x 交于B A ,两点,则弦长|
|AB 的最小值为( )
A .58
B .54
C .52
D .5
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在横线上)
13.已知1a b >>,若10
log log 3
a b b a +=
,b a a b =,则a b += ▲ . 14.设函数32
()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ,2x ,且对不等式12()()0f x f x +≤
恒成立,则实数的取值范围是 .
15.已知一组数据1x ,2x ,3x ,4x ,5x 的方差是2,另一组数据1ax ,2ax ,3ax ,4ax ,5ax (0a >) 的标准差是22,则a = .
16.已知圆C 的方程为22230x y y +--=,过点()1,2P -的直线与圆C 交于,A B 两点,若使AB 最小则直线的方程是 .
三、解答题(本大共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17.(本小题满分12分)
如图,多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60DAB ∠=,//EF
AC ,2AD =,
3EA ED EF ===.
(1)求证:AD BE ⊥;
(2)若5BE =,求三棱锥-F BCD 的体积.
18.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数|1||2|)(+--=x x x f ,x x g -=)(. (1)解不等式)()(x g x f >;
(2)对任意的实数,不等式)()(22)(R m m x g x x f ∈+≤-恒成立,求实数m 的最小值.111]
19.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
(不等式选做题)设
,且
,则的最小值为
(几何证明选做题)如图,中,
,以
为直径的半圆分别交
于点
,
若
,则
20.(本题满分12分)有人在路边设局,宣传牌上写有“掷骰子,赢大奖”.其游戏规则是这样的:你可以 在1,2,3,4,5,6点中任选一个,并押上赌注m 元,然后掷1颗骰子,连续掷3次,若你所押的点数 在3次掷骰子过程中出现1次, 2次,3次,那么原来的赌注仍还给你,并且庄家分别给予你所押赌注的 1倍,2倍,3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中,你所押的点数没出现,那么你的赌注就被庄家没收. (1)求掷3次骰子,至少出现1次为5点的概率;
(2)如果你打算尝试一次,请计算一下你获利的期望值,并给大家一个正确的建议.
21.(本小题满分12分)
已知向量,a b 满足:||1a =,||6b =,()2a b a ∙-=. (1)求向量与的夹角; (2)求|2|a b -.
22.(本小题满分14分)
设函数2()1cos f x ax bx x =++-,0,2
x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
(其中a ,b R ∈).
(1)若0a =,1
2
b =-
,求()f x 的单调区间; (2)若0b =,讨论函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上零点的个数.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,最值、通过研究函数图象与性质,讨论函数的零点个数,考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力,是难题.
长治市第一中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析(参考答案)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 【答案】C
【解析】当{2,1,0,1,2,3}x ∈--时,||3{3,2,1,0}y x =-∈---,所以A B ={2,1,0}--,故选C .
2. 【答案】A 【解析】1111]
试题分析:19951553
9()9215()52
a a S a a a S a +===+.故选A .111] 考点:等差数列的前项和. 3. 【答案】C 【解析】
试题分析:两个平面垂直,一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面,所以A 不正确;两个平面平行,两个平面内的直线不一定平行,所以B 不正确;垂直于同一平面的两个平面不一定垂直,可能相交,也可能平行,所以D 不正确;根据面面垂直的判定定理知C 正确.故选C . 考点:空间直线、平面间的位置关系. 4. 【答案】A
【解析】
考
点:1、充分条件与必要条件;2、复数的运算.
【方法点睛】本题主要考查复数的运算及充分条件与必要条件,属于中档题.判断充要条件应注意:首先弄清条件p 和结论分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题. 5. 【答案】B 【解析】
试题分析:由题意得,60B =,45C =,所以0
75A =,由正弦定理,得
sin sin a c
A C
=
10
sin10sin45
1)
sin sin75
a C
c
A
⇒====,故选B.1
考点:正弦定理.
6.【答案】A
【解析】
试题分析:命题p:
2
π
=
∠APB
,则以AB为直径的圆必与圆()()1
1
32
2
=
-
+
+y
x有公共点,所以1
2
1+
≤
≤
-n
n,解得3
1≤
≤n,因此,命题p是真命题.命题:函数()x
x
x
f
3
log
4
-
=,
()0
log
1
44
3
<
-
=
f
,()0
log
3
4
33
3
>
-
=
f,且()x f在[]4,3上是连续不断的曲线,所以函数()x f在区间()4,3
内有零点,因此,命题是假命题.因此只有)
(q
p⌝
∧为真命题.故选A.
考点:复合命题的真假.
【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关
系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P满足
2
π
=
∠APB,因此在以AB为直径的圆上,又点P在圆1
)1
(
)3
(2
2=
-
+
+y
x上,因此P为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数
x
x
x
f
3
log
4
)
(-
=是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.
7.【答案】A
【解析】
考点:集合的包含关系的判断与应用.
【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用,其中解答中涉及到分式不等式的求解,一元二次不等式的解法,集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查,着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的
应用,以及学生的推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 8. 【答案】B
9. 【答案】C 【解析】
试题分析:由2
123
n a a a a n =,则2
123
1(1)n a a a a n -=-,两式作商,可得2
2
(1)
n n a n =-,所以2235223561
2416
a a +=+=,故选C .
考点:数列的通项公式. 10.【答案】 B
【解析】解析:本题考查三视图与几何体的体积的计算.如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中的一个四面体1ACED ,其中11ED =,∴该三棱锥的体积为1
12
(12)2323
⨯⨯⨯⨯=,选B . 11.【答案】D
【解析】当OC ⊥平面AOB 平面时,三棱锥O ABC -的体积最大,且此时OC 为球的半径.设球的半径为R ,
则由题意,得211sin 6032R R ⨯⨯︒⋅=6R =,所以球的体积为34
2883
R π=π,故选D . 12.【答案】B
【解析】
试题分析:直线:L ()()0472=-++-+y x y x m ,直线过定点⎩⎨⎧=-+=-+0
40
72y x y x ,解得定点()1,3,当点(3,1)
是弦中点时,此时弦长AB 最小,圆心与定点的距离()()512312
2=-+-=
d ,弦长
545252=-=AB ,故选B.
考点:1.直线与圆的位置关系;2.直线系方程.
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,属于基础题型,涉及一些最值问题,当点在圆的外部时,圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径,当点在圆外,可做两条直线与圆相切,当点在圆上,可做一条直线与圆相切,当点在圆内,过定点做圆的弦时,过圆心即直径最长,当定点是弦的中点时,弦最短,并且弦长公式是222d R l -=,R 是圆的半径,d 是圆心到直线的距离. 1111]
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在横线上)
13.
【答案】 【解析】
试题分析:因为1a b >>,所以log 1b a >,又101101
log log log log 33log 33a b b b b
b a a a a +=⇒+=⇒=或(舍),
因此3a b =,因为b a a b =
,所以3
333,1b b b b b b b b a =⇒=>⇒=
a b +=考点:指对数式运算 14.【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析:因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()
()3322
12121210x x a x x a x x ++++++≤,即
()()
()()()2
2
1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,由于
()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+> , 故
()12122133x x a a
x x ⎧
+=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
,代入前面不等式,并化简得()1a +()2
2520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤,因此, 当1a ≤-或122a ≤≤时, 不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
.
考点:1、利用导数研究函数的极值点;2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法,属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数()f x 的到函数,令()'0f x =考虑判别式大于零,根据韦达定理求出1212,x x x x +的值,代入不等式12()()0f x f x +≤,得到关于的高次不等式,再利用“穿针引线”即可求得实
数的取值范围.111] 15.【答案】2 【解析】
试题分析:第一组数据平均数为2)()()()()(,2524232221=-+-+-+-+-∴x x x x x ,
22222212345()()()()()8,4,2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax a a -+-+-+-+-=∴=∴=.
考点:方差;标准差. 16.【答案】30x y -+= 【解析】
试题分析:由圆C 的方程为2
2
230x y y +--=,表示圆心在(0,1)C ,半径为的圆,点()1,2P -到圆心的距
()1,2
P-在圆内,所以当AB CP
⊥时,AB最小,此时1
1,1
CP
k k
=-=,由点斜式方程可得,直线的方程为21
y x
-=+,即30
x y
-+=.
考点:直线与圆的位置关系的应用.
三、解答题(本大共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)17.【答案】
【解析】【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.
(2)在EAD
△中,EA ED
=,2
AD=,
18.【答案】(1)13|{<<-x x 或}3>x ;(2).
【解析】
试
题解析:(1)由题意不等式)()(x g x f >可化为|1||2|+>+-x x x ,
当1-<x 时,)1()2(+->+--x x x ,解得3->x ,即13-<<-x ;
当21≤≤-x 时,1)2(+>+--x x x ,解得1<x ,即11<≤-x ;
当2>x 时,12+>+-x x x ,解得3>x ,即3>x (4分)
综上所述,不等式)()(x g x f >的解集为13|{<<-x x 或}3>x . (5分)
(2)由不等式m x g x x f +≤-)(22)(可得m x x ++≤-|1||2|,
分离参数m ,得|1||2|+--≥x x m ,∴max |)1||2(|+--≥x x m
∵3|)1(2||1||2|=+--≤+--x x x x ,∴3≥m ,故实数m 的最小值是. (10分)
考点:绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.1 19.【答案】
【解析】A
B
20.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法,对立事件的基本性质;对化归能力及对实际问题的抽象能力要求较高,属于中档难度.
21.【答案】(1)
3π;(2)27 【解析】
试题分析:(1)要求向量,a b 的夹角,只要求得这两向量的数量积a b ⋅,而由已知()2a b a ∙-=,结合数量积的运算法则可得a b ⋅,最后数量积的定义可求得其夹角;(2)求向量的模,可利用公式22a a =,把
考点:向量的数量积,向量的夹角与模. 【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值,求解两个向量的夹角的步骤:第一步,先计算出两个向量的数量积;第二步,分别计算两个向量的模;第三步,根据公式cos ,a b a b a b ⋅<>=
求得这两个向量夹角的余弦值;第四步,根据向量夹角的范围在[0,]π内及余弦值求出两向量的夹角.
22.【答案】
【解析】(1)∵0a =,12b =-
, ∴1()1cos 2f x x x =-+-,1()sin 2f x x '=-+,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. (2分) 令()0f x '=,得6
x π=. 当06x π<<时,()0f x '<,当62
x ππ<<时,()0f x '>, 所以()f x 的单调增区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,单调减区间是0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. (5分)
若
112a -
<<-π,则()102f a π'=π+<,又()(0)0f f θ''>=,由零点存在定理,00,2θπ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
,使0()0f θ'=,所以()f x 在0(0,)θ上单调增,在0,2θπ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调减. 又(0)0f =,2
()124
f a ππ=+. 故当2142a -<≤-π时,2()1024f a ππ=+≤,此时()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点; 当241a -<<-ππ时,2()1024f a ππ=+>,此时()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上只有一个零点.。