2020版高考物理总复习第十三章机械振动机械波光电磁波第1讲机械振动教案(选修3-4)(最新整理)

机械振动[高考导航]
单摆的周期
与摆长的关
系
实验十三：
测定玻璃的
折射率
(2）同时的相对性、长度的相对性和质能关系计算不作要求。

第1讲机械振动
知识排查
简谐运动单摆、单摆的周期公式
1.简谐运动
（1)定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。

(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。

（3）回复力
①定义:使物体返回到平衡位置的力。

②方向：总是指向平衡位置。

③来源：属于效果力，可以是某一个力,也可以是几个力的合力或某个力的分力。

2。

简谐运动的两种模型
模型弹簧振子单摆
示意图
简谐运
动条件
(1)弹簧质量可忽略
(2)无摩擦等阻力
(3）在弹簧弹性限度内
（1)摆线为不可伸缩的轻
细线
(2)无空气等阻力
(3)最大摆角小于10°
回复力弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直(即
切向)方向的分力
平衡位置弹簧处于原长处最低点
周期与振幅无关T＝2π 错误!
能量
转化
弹性势能与动能的相互转
化，机械能守恒
重力势能与动能的相互转
化，机械能守恒
简谐运动的公式和图象
1.简谐运动的表达式
(1)动力学表达式:F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。

（2)运动学表达式:x＝A sin(ωt＋φ），其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，（ωt＋φ）表示简谐运动的相位，φ叫做初相。

2.简谐运动的图象
(1）从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，图象如图1甲所示。

图1
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图象如图1乙所示。

受迫振动和共振
1.受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。

做受迫振动的物体,它做受迫振动的周期（或频率)等于驱动力的周期（或频率)，而与物体的固有周期（或频率)无关。

2。

共振
做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大,当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。

共振曲线如图2所示.
图2
小题速练
思考判断
（1)简谐运动平衡位置就是质点所受合力为零的位置。

（）
(2）做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。

( )（3)做简谐运动的质点，速度增大时，加速度可能增大。

( ）
（4）弹簧振子每次经过平衡位置时,位移为零、动能最大。

( ）
(5)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。

（）
(6）物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。

（)
（7）简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹。

( ）
答案（1）×（2)×(3）×（4)√（5)×(6)√(7）×
简谐运动规律的应用
简谐运动的重要特征
受力特征
回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x 的大小成正比，方向相反
运动特征靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v
增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大。

在运动过程中，系统的动能和势能
相互转化，机械能守恒
周期性特
征
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化,
变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周
期性变化，其变化周期为错误!
对称性特
征
关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相
等,相对平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置O
用时相等
【例1】
动，坐标原点O为平衡位置，MN＝4 cm.小球从图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0。

1 s，则小球振动的周期为________s，振动方程的表达式为x＝________cm。

图3
解析从N点时开始计时,到第一次经过O点的时间为0。

1 s,对应错误!，所以周期为0。

4 s，振幅A＝2 cm，所以振动方程的表达式为x＝2cos(5πt）cm。

答案0.4 2cos（5πt)
简谐运动图象的理解和应用
某质点的振动图象如图4所示，通过图象可以确定以下物理量：
图4
（1）确定振动质点在任意时刻对平衡位置的位移。

（2）确定振动的振幅。

（3）确定振动的周期和频率。

振动图象上一个完整的正弦(余弦）图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。

(4)确定质点在各时刻的振动方向。

（5)比较各时刻质点加速度的大小和方向。

【例2】（2019·盐城六校联考）如图5所示为一质点的简谐运动图象。

由图可知________。

图5
A.质点的运动轨迹为正弦曲线
B.t＝0时，质点正通过平衡位置向正方向运动
C。

t＝0。

25 s时，质点的速度方向与位移的正方向相同
D.质点运动过程中，两端点间的距离为0.1 m
解析简谐运动图象反映质点的位移随时间变化的情况，不是质点的运动轨迹,故A项错误；t＝0时，质点离开平衡位置的位移最大,速度为零，故B项错误;根据图象的斜率表示速度,则t＝0.25 s时，质点的速度为正值,则速度方向与位移的正方向相同，故C项正确;质点运动过程中，两端点间的距离等于2倍的振幅，为s＝2A＝2×5 cm＝10 cm＝0.1 m,故D项正确.
答案CD
【例3】（2018·江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研)如图6所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象,下列说法正确的是________。

图6
A。

甲摆的摆长比乙长
B.甲摆的振幅比乙大
C.甲、乙两单摆的摆长相等
D。

由图象可以求出当地的重力加速度
解析由图看出，两单摆的周期相同，同一地点g相同，由单摆的周期公式T＝2π错误!得知，甲、乙两单摆的摆长l相等,故选项A错误，C正确;甲摆的振幅为10 cm，乙摆的振幅为7
cm，即甲摆的振幅比乙摆大，故选项B正确；由于两单摆的摆长未知，不能求出当地的重力加速度,故选项D错误。

答案BC
(1)简谐运动图象中，任意时刻图线上某点切线的斜率表示该时刻质点的速度；斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负反映速度的方向.
（2)振动质点的加速度的大小变化规律与质点的位移的大小变化规律相同，两者方向始终相反。

在振动图象中，根据位移的大小和方向比较加速度的大小和方向比较直观。

受迫振动和共振现象的理解及应用1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较
自由振动受迫振动共振
受力情况仅受回复力受驱动力作用受驱动力作用
振动周期或
频率
由系统本身性质
决定，即固有周
期T0或固有频率
f
由驱动力的周期
或频率决定，即T
＝T驱或f＝f驱
T
驱
＝T0
或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械
能不变
由产生驱动力的
物体提供
振动物体获得的
能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆
(θ≤5°）
机械工作时底座
发生的振动
共振筛、声音的
共鸣等
2.
(1)共振曲线：如图7所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A。

它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知,f与f0越接近，振幅A越大;当f＝f0时,振幅A最大。

图7
(2)受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。

【例4】(2019·徐州三中月考)如图8所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等。

当A摆振动的时候,通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力,使其余各摆做受迫振动。

观察B、C、D摆的振动发现________。

图8
A。

C摆的频率最小
B。

D摆的周期最大
C。

B摆的摆角最大
D.B、C、D的摆角相同
解析由A摆摆动从而带动其他3个摆做受迫振动,受迫振动的频率等于驱动力的频率，故其他各摆振动周期跟A摆相同，频率也相等，故A、B项错误；受迫振动中，当固有频率等于驱动力频率时,出现共振现象，振幅达到最大,由于B摆的固有频率与A摆的相同，故B摆发生共振，振幅最大，摆角最大，故C项正确，D项错误。

答案C
【例5】（2018·江阴六校联考)一台洗衣机的脱水桶正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈,然后振动逐渐减弱，下列说法中正确的是________。

A.洗衣机做的是受迫振动
B.正常工作时,洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率大
C.正常工作时，洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率小
D.当洗衣机振动最剧烈时，脱水桶的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率
解析洗衣机的振动是因为电机振动而引起的，故为受迫振动，故A项正确；洗衣机切断电源，波轮的转动逐渐慢下来,在某一小段时间内洗衣机发生了强烈的振动，说明此时波轮的频率与洗衣机固有频率相同，发生了共振。

此后波轮转速减慢，则驱动力频率小于固有频率，所以共振现象消失,洗衣机的振动随之减弱,故说明正常工作时洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率大,故B、D项正确,C项错误。

答案ABD
实验十二：单摆的周期与摆长的关系1.实验原理与操作
2。

数据处理与分析
（1）数据处理
①公式法：g＝错误!，算出重力加速度g的值，再算出g的平均值。

②图象法:作出l－T2图象求g值。

(2）误差分析
产生原因减小方法
偶然误差测量时间（单摆周期）
及摆长时产生误差
①多次测量再求平均值
②计时从单摆经过平衡位置时开始
系统误差主要来源于单摆模型本
身
①摆球要选体积小,密度大的
②最大摆角要小于10°
【例6
的周期公式得到T2＝错误!l.只要测量出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图象,就可求出当地的重力加速度,理论上T2－l图象是一条过坐标原点的直线。

某同学在实验中，用一个直径为d的带孔实心钢球作为摆球,多次改变悬点到摆球顶部的距离l0，分别测出摆球做简谐运动的周期T后，作出T2－l图象，如图9所示.
图9
(1）造成图象不过坐标原点的原因可能是________.
A。

将l0记为摆长l
B。

摆球的振幅过小
C.将(l0＋d)计为摆长l
D.摆球质量过大
(2)由图象求出重力加速度g＝________m/s2（取π2＝9.87).
解析(1）题图图象不通过坐标原点，将图象向右平移1 cm 就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小1 cm，故可能是测摆长时漏掉了摆球的半径，将l0记为摆长l,A正确。

(2)由T＝2π错误!可得T2＝错误!l,则T2－l图象的斜率等于错误!,由数学知识得错误!＝错误!，解得g＝9.87 m/s2。

答案（1）A （2）9。

87
1。

(2018·南京六合区模拟）弹簧振子在做简谐运动的过程中，振子通过平衡位置时________。

A.速度最大
B.回复力最大
C.加速度最大D。

弹性势能最大
解析弹簧振子在做简谐运动的过程中，振子通过平衡位置时，弹性势能最小,动能最大，故速度最大，选项A正确，D错误；弹簧振子通过平衡位置时,位移为零,根据F＝－kx，a＝－错误!，可知回复力为零，加速度为零，故选项B、C错误。

答案A
2.(2018·江苏省南京市、盐城市高三模拟)如图10所示，A、B两个简谐运动的位移－时间图象。

质点A简谐运动的位移随时间变化的关系式是________________;质点B在1。

0 s内通过的路程是________cm。

图10
解析由A图线可知:2。

5T＝1.0 s，所以周期T＝0.4 s,ω＝错误!＝5π rad/s，振幅A＝0。

6 cm，所以x＝－错误!sin (5πt)cm；质点B在1。

0 s内通过的路程s＝5A B＝1.5 cm.
答案x＝－错误!sin (5πt)cm 1.5
3。

如图11所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz.现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为________。

图11
A.1 Hz
B.3 Hz
C。

4 Hz D。

5 Hz
解析因把手每转动一周，驱动力完成一次周期性变化，即把手转动频率即为驱动力的频率.弹簧振子做受迫振动，而受迫振动的频率等于驱动力的频率,与振动系统的固有频率无关,故选项A正确.
答案A
4.［2014·江苏单科，12B（2)]在“探究单摆的周期与摆长的关系”实验中,某同学准备好相关实验器材后，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度后释放，同时按下秒表开始计时，当单摆再次回到释放位置时停止计时,将记录的这段时间作为单摆的周期。

以上操作中有不妥之处，请对其中两处加以改正.
答案①应在摆球通过平衡位置时开始计时;②应测量单摆多次全振动的时间，再计算出周期的测量值.(或在单摆振动稳定后开始计时）
5.某个质点的简谐运动图象如图12所示，求振动的振幅和周期。

图12
解析由图读出振幅A＝10 2 cm
简谐运动方程x＝A sin 错误!
代入数据得－10 cm＝10错误! sin 错误! cm
得T＝8 s
答案10错误! cm 8 s
活页作业
（时间：30分钟)
1.如图1所示的简谐运动图象中,在t1和t2时刻，运动质点具有相同的物理量为________。

图1
A.加速度
B.位移
C。

速度 D.回复力
解析由题图可知，在t1和t2时刻,质点的位移大小相等，方向相反，根据简谐运动的回复力F＝－kx可知,回复力大小相等，方向相反，根据简谐运动的加速度a＝－错误!可知,加速度大小相等，方向相反；x－t图象上某点的切线的斜率表示速度,根据简谐运动的对称性可知，在t
和t2时刻质点的速度相同，故选项C正确。

1
答案C
2.在飞机的发展史中有一个阶段,飞机上天后不久,飞机的机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害，后来人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法，解决了这一问题。

在飞机机翼前装置配重杆的主要目的是________.
A.加大飞机的惯性
B.使机体更加平衡
C。

使机翼更加牢固D。

改变机翼的固有频率
解析当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，物体的振幅较大，因此为了减弱机翼的振动，必须改变机翼的固有频率,选项D正确.
答案D
3。

（2018·江苏镇江模拟）如图2所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图象。

已知甲、乙两个振子质量相等。

则________。

图2
A。

甲、乙两振子的振幅之比为2∶1
B.甲、乙两振子的频率之比为1∶2
C.前2 s内甲、乙两振子的加速度均为正值
D。

第2 s末甲的速度最大,乙的加速度最大
解析根据甲、乙两个振子做简谐运动的图象可知，两振子的振幅A甲＝2 cm,A乙＝1 cm，甲、乙两振子的振幅之比为2∶1，选项A正确；甲振子的周期为4 s，频率为0.25 Hz，乙振子的周期为8 s，频率为0.125 Hz，甲、乙两振子的频率之比为2∶1，选项B错误；前2 s 内,甲的加速度为负值，乙的加速度为正值，选项C错误；第2 s末甲通过平衡位置,速度最大，乙在最大位移处加速度最大，选项D正确。

答案AD
4。

(2018·南京模拟）如图3所示为一单摆及其振动图象，重力加速度g＝10 m/s2，则此单摆的摆长是________。

图3
A。

1 m B。

2 m C。

3 m D.4 m
解析由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3 cm,从横坐标可直接读取完成一个全振动，即一个完整的正弦曲线所占据的时间轴长度就是周期，故T＝2 s，由T＝2π错误!，算出摆长l ＝错误!≈1 m.
答案A
5。

(2019·昆山校级月考)一个弹簧振子做受迫振动，它的振幅A与驱动力频率f之间的关系如图4所示.由图可知________。

图4
A。

不论振子做何振动，振子的频率均为f2
B。

驱动力频率为f3时,受迫振动的振幅比共振时小，但振子振动的频率仍为f2
C。

振子如果做自由振动,它的频率是f2
D。

振子可以做频率为f1的等幅振动
解析受迫振动的频率由驱动力频率决定，随驱动力频率的变化而变化,故A项错误；驱动力频率为f3时，受迫振动的振幅比共振时小,振子振动的频率为f3,故B项错误；当驱动力频率为f2时，振子处于共振状态，说明固有频率为f2;振子做自由振动时，频率由系统本身决定，为f2，故C项正确；当驱动力频率为f1时,振子做受迫振动，频率为f1，可以是等幅振动，故D项正确。

答案CD
6。

（2018·南通高三模拟）如图5甲所示是演示简谐运动图象的装置，它由一根较长的细线和较小的沙漏组成。

当沙漏摆动时，漏斗中的细沙均匀流出，同时匀速拉出沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条曲线，这条曲线可以理解为沙漏摆动的振动图象。

图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线（图中的虚线），已知P、Q分别是木板1上的两点,木板1、2的移动速度分别为v1、v2，则________.
图5
A.P处堆积的细沙与Q处一样多
B。

P处堆积的细沙比Q处多
C.v1∶v2＝4∶3
D。

v1∶v2＝3∶4
解析由沙漏摆动规律结合题图乙可知，沙漏在P处速度小，细沙堆积多，在Q
处速度大，细沙堆积少，选项A错误，B正确；根据题图乙知，木板1从沙漏下拉出所用时间为2T,木板2从沙漏下拉出所用时间为1。

5T,则木板移动速度之比为所用时间的反比，即v
∶v2＝3∶4,选项C错误，D正确。

1
答案BD
7.一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝错误!处所用的最短时间为t1,从最大的正位移处第一次运动到x＝错误!处所用的最短时间为t
，那么t1与t2的大小关系正确的是________.
2
A。

t1＝t2B。

t1＜t2
C.t1＞t2
D.无法判断
解析根据振子远离平衡位置时速度减小，靠近平衡位置时速度增大可知，振子从平衡位置第一次运动到x＝错误!A处的平均速度大于从最大正位移处第一次运动到x＝错误!A处的平均速度，而经过路程相等，说明t1＜t2。

故选项A、C、D错误，B正确。

答案B
8。

(2017·扬州模拟)如图6所示为某弹簧振子在0～5 s内的振动图象，由图可知，下列说法中正确的是________。

图6
A。

振动周期为5 s，振幅为8 cm
B.第2 s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值
C.从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动
D。

第3 s末振子的速度为正向的最大值
解析振幅是位移的最大值的大小,故振幅为8 cm，而周期是完成一次全振动的时间，振动周期为4 s,故选项A错误；第2 s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值,故选项B正确；从第1 s末到第2 s末振子的位移逐渐增大，速度逐渐减小,振子做减速运动，选项C错误；第3 s末振子的位移为零，经过平衡位置，故速度最大,且方向为正,故选项D正确。

答案BD
9.（2018·扬州第一学期期末)在“探究单摆的周期与摆长关系"的实验中，摆球在垂直纸面的平面内摆动，如图7甲所示，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻。

光敏电阻(光照时电阻比较小)与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R 随时间t变化图线如图乙所示,则该单摆的振动周期为________。

若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验,则该单摆的周期将________（选填“变大”“不变”或“变小”)。

图7
解析单摆在一个周期内两次经过平衡位置,每次经过平衡位置，单摆会挡住细激光束，从R －t图线可知周期为2t0。

摆长等于摆线的长度加上小球的半径，根据单摆的周期公式T＝2π错误!,摆长变大，所以周期变大。

答案2t0变大
10.（2019·清江中学周练)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由于没有游标卡尺，无法测量小球的直径d,实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l,测得多组周期T和l的数据，作出T2－l图象,如图8所示。

图8
(1）实验得到的T2－l图象是________。

（2)小球的直径是________cm.
(3)实验测得当地重力加速度大小是________m/s2(取3位有效数字）。

解析由T＝2π错误!，得l＝错误!T2＋错误!，则由数学关系得题图图线斜率为错误!，截距为错误!，则可求得
(1)图线的截距为正，则图象为c。

(2）因图线截距为错误!＝0。

6 cm，则d＝1。

2 cm。

(3)由k＝错误!＝错误!,得g≈9。

86 m/s2.
答案（1）c(2)1.2 （3)9.86
11。

简谐运动的振动图线可用下述方法画出:如图9a所示，在弹簧振子的小球上安装一枝绘图笔P,让一条纸带在与小球振动垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图象.取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图b所示.
图9
（1)为什么必须匀速拖动纸带？
（2）刚开始计时时，振子处在什么位置？t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是多少？(3)若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是多少？
（4）振子在________ s末负方向速度最大；在________ s末正方向加速度最大;
2。

5 s时振子正在向________方向运动。

(5)写出振子的振动方程.
解析（1)纸带匀速运动时，由x＝vt知,位移与时间成正比，因此在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间。

(2)由图(b)可知t＝0时，振子在平衡位置左侧最大位移处；周期T＝4 s，t＝17 s时位移为零。

(3）由x＝vt，所以1、3两点间距x＝4 cm。

（4）3 s末负方向速度最大；加速度方向总是指向平衡位置，所以t＝0或t＝4 s时正方向加速度最大；t＝2。

5 s时，振子向－x方向运动。

（5）由ω＝错误!得ω＝错误! rad/s，由图象可得振幅A＝10 cm,则振子的振动方程为
x＝10 sin 错误! cm。

答案（1)在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间
(2）左侧最大位移零（3）4 cm （4)3 0或4 －x
(5）x＝10 sin 错误! cm
12。

(2018·盐城模拟）竖直悬挂的弹簧振子下端装有记录笔，在竖直面内放置记录纸。

当振子上下振动时，以水平向左速度v＝10 m/s匀速拉动记录纸,记录笔在纸上留下记录的痕迹,建立坐标系，测得的数据如图10所示，求振子振动的振幅和频率。

图10
解析设周期为T，振幅为A。

由题图得：A＝5 cm；
由于振动的周期就是记录纸从0至x＝1 m运动的时间，所以,周期为:
T＝错误!＝错误!＝0。

1 s，
故频率为：f＝错误!＝错误! Hz＝10 Hz。

答案 5 cm 10 Hz
13.（2018·常州十校联考）弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0。

2 s时，振子速度第一次变为－v;在t＝0。

5 s时,振子速度第二次变为－v。

（1)求弹簧振子振动周期T;
（2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4。

0 s内通过的路程；
（3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象.
解析（1)弹簧振子简谐运动示意图如图所示,由对称性可得：T＝0。

5×2 s＝1.0 s。

(2)若B、C之间距离为25 cm，则振幅A＝错误!×25 cm＝12.5 cm,振子4。

0 s内通过的路程s＝错误!×4×12。

5 cm＝200 cm。

（3)根据x＝A sin ωt，A＝12.5 cm，ω＝错误!＝2π
得x＝12.5 sin 2πt(cm）。

振动图象为
答案(1)1。

0 s （2)200 cm （3）x＝12.5sin 2πt（cm) 图象见解析图
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