高中数学北师大版必修3一课三测：阶段测试(三) 第三章 概率

阶段测试(三) 第三章 概率
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件：①如果a ，b 是实数，那么b ＋a ＝a ＋b ；②某地明年1月1日刮西北风；③当x 是实数时，x 2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是( ) A.18 B.78 C.38 D.58
3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则从产品中任意抽查一件抽得正品的概率为( )
A ．0.09
B ．0.98
C ．0.97
D ．0.96
4．如图，矩形ABCD 的长为π，宽为2，以每个顶点为圆心作4个半径为1的扇形，若从矩形区域内任意选取一点，则该点落在阴影部分的概率为( )
A.18
B.π8
C.π4
D.12
5．一个三位数字的密码锁，每位数字都可在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人开锁时，在对好前两位数字后，随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为( )
A.1103
B.1102
C.110 D ．1
6．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB
的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB ＝( )
A.12
B.14
C.32
D.74
7．小明通过做游戏的方式来确定周末的活动，他随机往单位圆内
投掷一颗弹珠(大小忽略)，若弹珠到圆心的距离大于12，则周末去逛公园；若弹珠到圆心的距离小于14，则去踢足球；否则，在家看书．则小
明周末不在家看书的概率为( ) A.12 B.16 C.1316 D.512
8．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( ) A.9100 B.350 C.3100 D.29
9．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学，如果一个一个的走出去，则第2位走的是男同学的概率为( )
A.12
B.13
C.14
D.15
10．在区域⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤1，0≤y ≤1内任意取一点P (x ，y )，则x 2＋y 2＜1的概率是( )
A ．0 B.π4－12 C.π4 D ．1－π4
11．《九章算术》是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收集有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题．现拟编试题如下，已知甲、乙、丙、丁四县向国家交税，则甲必须第一个交且乙不是第三个交的概率为( )
A.16
B.112
C.18
D.110
12．阅读如图所示的算法框图，如果函数的定义域为(－3,4)，则
输出函数的值在54，32内的概率为( )
A.17
B.37
C.27
D.47
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．
14．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为________．
15．在一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的3个小球，其中一个红色球，两个黄色球，如果第一次先从袋中摸出1个球后再放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄色球的概率是________．
16．在区间[－3,3]上随机取一个数x ，则使得lg(x －1)＜lg 2成立的概率为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A企业来自辽宁省，B，C两家企业来自福建省，D，E，F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．
(1)列举所有企业的中标情况．
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？
18.(本小题满分12分)某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑，希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑．
(1)写出所有选购方案；
(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？(直接写出结果即可)
19．(本小题满分12分)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
20．(本小题满分12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
21．(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
22．(本小题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图：
(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
(2)设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m－n|＞1”的概率．
阶段测试(三) 第三章 概率
1．解析：①③是必然事件，②④是随机事件．
答案：B
2．解析：所有的基本事件为：(红，红，红)，(红，红，蓝)，(红，蓝，红)，(蓝，红，红)，(红，蓝，蓝)，(蓝，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，蓝)，共8个．三次都是蓝球的基本事件只有1个，其概率是18，根据对立事件的概率之间的关系，所求的概率为1－18＝78.选B.
答案：B
3．解析：任意抽查一件抽得正品的概率为：1－0.03－0.01＝0.96. 答案：D
4．解析：由图可得，阴影部分面积为π×12＝π.因为矩形ABCD 的长为π，宽为2，所以矩形的面积为2π，所以从矩形区域内任意选取
一点，则该点落在阴影部分的概率为P ＝π2π＝12.
答案：D
5．解析：第三位数字的选择共有10种可能，随意拨动一个数字
正好正确的概率为110，故选C.
答案：C
6．解析：由已知得，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由
勾股定理可得AB 2＝(34AB )2＋AD 2，解得(AD AB )2＝716，即AD AB ＝74，故选
D.
答案：D
7．解析：
本题主要考查与圆的面积有关的几何概型问题．由题意画出示意
图，如图所示．表示小明在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他
在家看书的概率为，因此他不在家看书的概率为1－316＝1316，故选C.
答案：C
8．解析：任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(1，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(2，i )(i ＝0,1,2，…，
9)；…；(9，i )(i ＝0,1,2，…，9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，
(9,9)．共有9种．故所求概率为9100.
答案：A
9．解析：法一：已知有2位女同学和2位男同学，所有走的可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出
的是男同学的概率P ＝36＝12.
法二：由于每一位同学走出的概率是相同的，因此第2位走出的
是男同学的概率P ＝24＝12.
答案：A
10．解析：所有基本事件构成的区域为边长为1的正方形，而满足条件的点构成的区域为圆心在原点，半径为1的圆在第一象限的部
分即14的圆，所以P ＝14×π×1212＝π4.
答案：C
11．解析：依题意，所有的基本事件为甲—乙—丙—丁，甲—乙—丁—丙，甲—丙—乙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，甲—丁—乙—丙，乙、丙、丁第一个交的情况也各有6种，故总的基本事件数有24种，其中满足条件的基本事件为甲—乙—丁—丙，甲—乙—丙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，共4种，故所求概率为424＝16.
答案：A
12．解析：由算法框图得，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，－1≤x ≤1，2－x ＋1，x ＜－1或x ＞1，若－1≤x ≤1，令54＜2x ＋1＜32，
即14＜2x ＜12，∴－2＜x ＜－1(舍去)；若x ＜－1或x ＞1，令54＜2－x ＋1＜32，即14＜2－x ＜12，∴1＜x ＜2.问题转化为长度型的几何概型，总长度
为4－(－3)＝7，所求事件表示的长度为2－1＝1，则所求的概率为17.
故选A.
答案：A
13．解析：基本事件有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10个．
其中有a 的事件的个数为4个，
故所求概率为P ＝410＝25.
答案：25
14．解析：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ，b ，c ，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ，B ，C ，由题意可知，可能的比赛为Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，共有9种，
其中田忌可以获胜的事件为Ba ，Ca ，Cb ，共有3种，
则田忌马获胜的概率为P ＝39＝13.
答案：13
15．解析：从袋中取出两个球，画出树状图如图所示．
由树状图知，基本事件的总数为9，两次都摸到黄色球所包含的基
本事件的个数为4，所以两次都摸到黄色球的概率是49.
答案：49
16．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞0，lg (x －1)＜lg 2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＞1，x ＜3.所以在区间[－3,3]上不等式lg(x －1)＜lg 2的解集为(1,3)，其长度为 2.又因为
x ∈[－3,3]，其长度为6，由几何概型知识，得P ＝26＝13.
答案：13
17．解析：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A ，B )，(A ，C )，
(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共有15种，以上就是中标情况．
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有(A ，B )，(A ，
C )，(B ，C )，(B ，
D )，(B ，
E )，(B ，
F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．
则“在中标的企业中，至少有一家来自福建省”的概率为915＝35.
18．解析：(1)画出树状图如图：
则选购方案为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，
E )．
(2)A 型号电脑被选中的情形为(A ，D )，(A ，E )，即基本事件为2
种，所以A 型号电脑被选中的概率为P ＝26＝13.
19．解析：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．
当a ＞0，b ＞0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的等价条件为Δ＝4a 2－4b 2＝4(a 2－b 2)≥0，即a ≥b .
(1)基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为
P (A )＝912＝34.
(2)试验的所有基本事件所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，其中构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求
的概率为3×2－12×223×2
＝23. 20．解析：(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的
个体数之比为763＝19，所以从A ，B ，C 三个区中分别抽取的工厂个数
为2,3,2.
(2)设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共有21种．
随机抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11种．
所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝11
21.
21．解析：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：
组别 A B C D E
人数5010015015050
抽取人
数
3699 3
(2)记从A1231，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有
a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝4
18＝2 9.
22．解析：(1)由题中的频率分布直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×(0.16×1)＋50×(0.38×1)＝27，所以该班成绩良好的人数为27.
(2)设事件M：“|m－n|＞1”．
由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3，设这3人分别为x，y，z；
成绩在[17,18]的人数为50×0.08×1＝4，设这4人分别为A，B，C，D.
若m，n∈[13,14)时，则有xy，xz，yz，共3种情况；
若m，n∈[17,18]时，则有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；
若m，n分别在[13,14)和[17,18]内时，此时有|m－n|＞1.列出下表，可得共有12种情况．
A B C D
x xA xB xC xD
y yA yB yC yD
“|m －n |＞1”所包含的基本事件个数有12种．
故所求概率P (M )＝1221＝47.
由Ruize收集整理。

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