高考数学一轮总复习 数列阶段性测试题六 北师大版

阶段性测试题六(数列)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文)(2014·南昌一中模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4
的值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．16
[答案] B
[解析] 因为点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a 4＝a 1q 3＝23＝8，选B.
(理)(2014·杭州第一次质检) 已知{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝( ) A ．15 B ．24 C ．27 D ．54
[答案] C
[解析] 由已知a 3＋a 4＋a 8＝3a 1＋12d ＝9，故a 1＋4d ＝3，即a 5＝3，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝
9a 5＝27.
2．(文) (2014·洛阳一模)在等比数列{a n }中，a 2014＝8a 2011，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
[答案] A
[解析] ∵a 2014＝8a 2011，∴q 3＝a 2014a 2011
＝8，∴q ＝2.
(理)(2014·包头模拟)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
[答案] B
[解析] 根据题意将3S 3＝a 4－2和3S 2＝a 3－2相减得：3(S 3－S 2)＝a 4－a 3，则3a 3＝a 4
－a 3,4a 3＝a 4，所以q ＝a 4
a 3
＝4.
3．(2014·深圳市一调) 已知等比数列{a n }，前n 项和S n ，S 3＝2，S 6＝6，则S 12＝( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40
[答案] C
[解析] 等比数列中，依次3项和依然成等比数列，即a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8
＋a 9，a 10＋a 11＋a 12成等比数列，其值分别为2,4,8,16，故S 12＝30.
4．(文)(2014·郑州模拟) 已知等比数列{a n }的首项a 1＝1，公比q ＝2，则log 2a 1＋log 2a 2
＋…＋log 2a 11＝( )
A ．50
B ．35
C ．55
D ．46
[答案] C
[解析] 因为等比数列{a n }的首项a 1＝1，公比q ＝2，所以a 6＝25，故log 2a 1＋log 2a 2＋…
＋log 2a 11＝log 2a 1a 2…a 11＝log 2a 116＝log 2(25)11＝log 2
255＝55，故选C. (理)(2014·荆州质检)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，
则a 9＋a 10a 7＋a 8
＝( ) A. 2 B ．3－2 2 C ．3＋2 2 D. 3
[答案] C
[解析] a 1，1
2a 3,2a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，解得q ＝1＋2，
a 9＋a 10a 7＋a 8
＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.
5．(2014·烟台调研) 已知等比数列{a n }中，a 1a 2a 3a 4a 5＝32，且a 11＝8，则a 7的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．±2 2
[答案] A
[解析] 由等比数列的性质，得a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝32，故a 3＝2，又a 11＝8，∴a 27＝a 3·a 11，
解得a 7＝4(负值舍去，因为a 3，a 5，a 7同号)．
6．已知在等差数列{a n }中3a 2＝7a 7, ，则下列说法正确的是( ) A ．a 11>0 B ．S 10为S n 的最大值 C ．d >0
D ．S 4>S 16
[解析] 由3a 2＝7a 7得，4a 1＋39d ＝0，a 1＝－39
4d ，因为a 1>0，则d <0，
∴a n ＝(n －434)d ，另a n ≥0，得n ≤43
4，
∴当1≤n ≤10时，a n >0；当n ≥11时，a n <0. 故当n ＝10时，S n 取最大值．
7. (2014·宁波市期末)在数列{a n }中，已知a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ∈N ＋，n ≥2)，若平面上的
三个不共线的向量OA →
、OB →
、OC →
，满足OC →
＝a 1007OA →
＋a 1008OB →
，三点A 、B 、C 共线，且直线不过O 点，则S 2014等于( )
A ．1007
B ．1008
C ．2014
D ．2015
[答案] A
[解析] 由条件知{a n }成等差数列， ∵A 、B 、C 共线，∴a 1007＋a 1008＝1，
∴S 2014＝2014(a 1＋a 2014)
2
＝1007(a 1007＋a 1008)＝1007.
8．正项递增等比数列{a n }中，a 3a 7a 8a 10＝81，a 5＋a 9＝51
4，则该数列的通项公式a n 为( )
A ．3·27－
n B ．3·2n －
7 C.13·27－n D ．2·3n －
7
[答案] B
[解析] 由a 3a 7a 8a 10＝81得a 47＝34
，
∴a 7＝3a 5＋a 9＝3(1q 2＋q 2)＝514
，
∴4q 4－17q 2＋4＝0，q 2＝4或q 2＝1
4(舍)，
∴q ＝2，∴a n ＝a 7q n －7＝3·2n －7.
9．(2014·广州模拟)数列{a n }中，若a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，则a 1008等于( )
A.12013
B.12014
C.12015
D.11008
[解析] ∵a n ＋1＝a n
2a n ＋1，
∴1a n ＋1＝1a n
＋2. ∴{1a n }是以1
a 1＝1为首项，2为公差的等差数列， 故1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，a n ＝12n －1， ∴a 2008＝12×1008－1
＝12015.
10. (2013·唐山二模)已知函数f (x )＝x 2－ax 的图像在点A (1，f (1))处的切线l 与直线x ＋3y ＋2＝0垂直，若数列{1
f (n )
}的前n 项和为S n ，则S 2013的值为( )
A.20102011
B.2011
2012 C.20122013 D.20132014
[答案] D
[解析] f ′(x )＝2x －a ，由已知得f ′(1)＝3， 所以a ＝－1，所以1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1，
所以S n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1
n ＋1)
＝1－1
n ＋1，
故S 2013＝2013
2014
.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(2014·山西省联合模拟二)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若log 2a 2＋log 2a 8＝1，则a 3·a 7________.
[答案] 2
[解析] 因为log 2a 2＋log 2a 8＝1，所以log 2(a 2a 8)＝1，所以a 2a 8＝2，因为数列{a n }是等比数列，所以a 3a 7＝a 2a 8＝2.
12．(文)(2014苏州十校联考)已知数列{a n }为等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝8，a 2＋a 4＋a 6
＝20，则公差d ＝________.
[答案] 4
[解析] (a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5)＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ＝12，所以d ＝4. (理)(2014昆明一中检测) 已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1
a n (n ≥2)，则a 2014＝________.
[答案] 1
2
[解析] 由题可知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝1
2，∴此数列是以3为周
期的周期数列，
∴a 2014＝a 1＝1
2
.
13．(2014·吉林重点中学一模)已知数列{a n }，其前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则a 8＋a 9＋a 10
＋a 11＋a 12＝________.
[答案] 100
[解析] a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 7＝(122＋12＋1)－(72＋7＋1)＝100.
14．(2014·大同调研)在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.
[答案] 2n ＋
1－3
[解析] 依题意得，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，a 1＋3＝4，因此数列{a n ＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，于是有a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，则a n ＝2n ＋1－3.
15．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S 2014等于________．
[答案] 2010
[解析] 由题意a n ＋1＋a n －1＝a n (n ≥2)，a n ＋a n ＋2＝a n ＋1，两式相加得a n ＋2＝－a n －1， ∴a n ＋3＝－a n ，∴a n ＋6＝a n ， 即{a n }是以6为周期的数列．
∵2014＝335×6＋4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，
∴a 1＋a 2＋…＋a 2014＝335×0＋a 2011＋a 2012＋a 2013＋a 2014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2010. 三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2014·衡水质量检测)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1
＝2且a 2, a 3, a 4＋1成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2
n (a n ＋2)，求数列{b n }的前n 项和S n .
[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ， 由a 1＝2和a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，得 (2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d ) 解得d ＝－1或d ＝2.
当d ＝－1时，a 3＝0，这与a 2，a 3，a 4＋1成等比数列矛盾舍去．所以d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ，
即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，(n ∈N *)． (2)b n ＝2n (a n ＋2)＝2n (2n ＋2)＝1
n (n ＋1)
＝1n －1n ＋1
. ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)
＝1－1n ＋1＝n n ＋1
.
17．(本小题满分12分)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5 ＝45，a 2 ＋a 6 ＝14.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足：b 12＋b 222＋…＋b n
2n ＝a n ＋1(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和．
[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题设知d >0. 由a 2＋a 5＝14，可得a 4＝7.
由a 3a 5＝45，得(7－d )(7＋d )＝45，可得d ＝2. 所以a 1＝7－3d ＝1. 可得a n ＝2n －1.
(2)设c n ＝b n
2n ，则c 1＋c 2＋…＋c n ＝a n ＋1.
即c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ，
可得c 1＝2，且c 1＋c 2＋…＋c n －1＝2(n －1)． 所以c n ＝2(n ∈N *)． 所以b n ＝2n －1，
所以数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列， 所以前n 项和S n ＝4(1－2n )
1－2
＝2n ＋2－4.
18．(本小题满分12分)(文) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{1
a n a n ＋1}的前n 项和T n .
[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1. 对a 1＝3仍成立．
所以，数列{a n }的通项公式：a n ＝2n ＋1.
(2)由(1)知1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12(12n ＋1－1
2n ＋3)．
所以T n ＝12[(13－15)＋(15－17)＋(17－19)＋…＋(12n ＋1－1
2n ＋3)]
＝12(13－12n ＋3)＝n
6n ＋9
. (理)已知数列{a n }与{b n }，若a 1＝3且对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2，数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋a n .
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{1
b n b n ＋1
}的前n 项和T n .
[解析] (1)因为对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2， 所以{a n }是公差为2的等差数列， 又因为a 1＝3，所以a n ＝2n ＋1.
当n ＝1时，b 1＝S 1＝4.
当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n ＋1)－[(n －1)2＋2(n －1)＋1]＝2n ＋1. 对b n ＝4不成立．
所以，数列{b n }的通项公式：b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
4，(n ＝1)
2n ＋1，(n ≥2)
(2)由(1)知当n ＝1时T 1＝1b 1b 2＝1
20
.
当n ≥2时1b n b n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12(12n ＋1－1
2n ＋3)，
所以T n ＝120＋12[(15－17)＋(17－19)＋…＋(12n ＋1－1
2n ＋3)]
＝120＋12(15－12n ＋3)＝1
20＋n －110n ＋15. 当n ＝1时仍成立．
所以T n ＝1
20＋n －110n ＋15
对任意正整数n 成立．
19．(本小题满分12分)(2014·烟台调研)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60，且a 6为a 1和a 21的等比中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＋1－b n ＝a n (n ∈N *)，且b 1＝3，求数列{1
b n }的前n 项和T n .
[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
6a 1＋15d ＝60，a 1(a 1＋20d )＝(a 1＋5d )2
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
d ＝2，a 1＝5，
∴a n ＝2n ＋3. (2)由b n ＋1－b n ＝a n ，
∴b n －b n －1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)，
b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1
＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1＋b 1＝(n －1)(n －1－4)＋3 ＝n (n ＋2)．
∴b n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)． ∴1b n ＝1n (n ＋2) ＝12(1n －1n ＋2
)． T n ＝12(1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2)＝12(32－1n ＋1－1n ＋2)
＝
3n 2＋5n
4(n ＋1)(n ＋2). 20．(本小题满分13分)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋
1>50成立的正整数n 的最小值．
[解析] (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有(a 3＋2)＝2a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3
＝20，解之得⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝12
，a 1＝32
又数列{a n }单调递增，所以q ＝2，a 1＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)∵b n ＝2n log 1
22n ＝－n ·2n ，
∴S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，
2S n ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1]，
两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1. ∴S n ＋n ·2n ＋1>50，即2n ＋1－2>50，即2n ＋1>52.
易知：当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32<52，当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64>52. ∴使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.
21．(本小题满分14分)(文)(2014·苏州十校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1(n ≥2且n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)令d n ＝1＋log a a 2n ＋1＋a 2
n ＋2
5(a >0，a ≠1)，记数列{d n }的前n 项和为S n ，若S 2n S n
恒为一个与
n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.
[解析] (1)由题a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1① ∴a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－1②
由①－②得：a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1
a n ＝2(n ≥2)．
当n ＝2时，a 1－a 2＝－1，∵a 1＝1，∴a 2＝2，a 2
a 1＝2，
所以，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列 故a n ＝2n －1(n ∈N ＋) (2)∵a n ＝2
n －1
，∴d n ＝1＋log a a 2n －1＋a 2
n －2
5
＝1＋2nlog a 2，
∵d n ＋1－d n ＝2log a 2，
∴{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列， ∴S 2n
S n ＝2n (1＋2log a 2)＋2n (2n －1)
2×(2log a 2)
n (1＋2log a 2)＋n (n －1)
2×(2log a 2)
＝2＋(4n ＋2)log a 21＋(n ＋1)log a 2
＝λ， ⇒(λ－4)n log a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0， ∵S 2n
S n
恒为一个与n 无关的常数λ， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
(λ－4)log a 2＝0(λ－2)(1＋log a 2)＝0 解之得：λ＝4，a ＝12
.
(理) (2014·豫南四校调研考试)数列{a n }中，a 1＝t ，a 2＝t 2，其中t >0且t ≠1，x ＝t 是函数f (x )＝a n －1x 3－3[(t ＋1)a n －a n ＋1]x ＋1(n ≥2)的一个极值点．
11 (1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)设b n ＝a n log t a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n .
[解析] (1)证明：f ′(x )＝3a n －1x 2－3[(t ＋1)a n －a n ＋1]，根据已知f ′(t )＝0， 即ta n －1－(t ＋1)a n ＋a n ＋1＝0，
即a n ＋1－a n ＝t (a n －a n －1)，
∵t >0，t ≠1，∴a 2－a 1＝t 2－t ＝t (t －1)≠0. 所以数列{a n ＋1－a n }是以t (t －1)为首项，t 为公比的等比数列．
(2)由(1)可知a n ＋1－a n ＝(t －1)t n .
所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(t －1)t n －1＋(t －1)t n －2＋…＋(t －
1)t ＋t
＝(t －1)×t (1－t n －1)1－t
＋t ＝t n . 所以数列{a n }的通项公式a n ＝t n .
(3)由(2)知a n ＝t n ，所以b n ＝a n log t a n ＝nt n . ∴S n ＝1×t ＋2×t 2＋3×t 3＋…＋nt n . 则tS n ＝1×t 2＋2×t 3＋…＋(n －1)t n ＋nt n ＋1. 所以(1－t )S n ＝t ＋t 2＋t 3＋…＋t n －nt n ＋1 ＝t (1－t n )1－t
－nt n ＋1. 所以S n ＝t －t n ＋1(1－t )2－nt n ＋1
1－t
.。