辽宁省铁岭市2019-2020学年中考一诊数学试题含解析

辽宁省铁岭市2019-2020学年中考一诊数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）
A．2mn B．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n2
3．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，则图中阴影部分的面积等于( )
A．2﹣2B．1 C．2D．2﹣l
4．下列各组数中，互为相反数的是（）
A．﹣2 与2 B．2与2 C．3与1
3
D．3与3
5．不等式组
10
40
x
x
+>
⎧
⎨
-≥
⎩
的解集是（）
A．﹣1≤x≤4B．x＜﹣1或x≥4C．﹣1＜x＜4 D．﹣1＜x≤4
6．下列计算错误的是()
A．a•a=a2B．2a+a=3a C．(a3)2=a5D．a3÷a﹣1=a4
7．二次函数y=ax2+bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第三象限，且过点（1，0），设t=a﹣b﹣2，则t值的变化范围是（）
A．﹣2＜t＜0 B．﹣3＜t＜0 C．﹣4＜t＜﹣2 D．﹣4＜t＜0
8．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有
0.0000000076克，将数0.0000000076用科学记数法表示为（ ）
A ．7.6×10﹣9
B ．7.6×10﹣8
C ．7.6×109
D ．7.6×108
9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D 、E ，F 分别是CD ，AD 上的点，且CE ＝AF.如果∠AED ＝62°，那么∠DBF 的度数为( )
A ．62°
B ．38°
C ．28°
D ．26°
10．某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
11．下列函数中，二次函数是( )
A ．y ＝﹣4x+5
B ．y ＝x(2x ﹣3)
C ．y ＝(x+4)2﹣x 2
D ．y ＝2
1x 12．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（ ）
A ．7.1×107
B ．0.71×10﹣6
C ．7.1×10﹣7
D ．71×10﹣8
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，1），以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，则¶AB 的长为_____．
14．如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于__________.
15．如图，直线y 1＝mx 经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y 2＝kx ＋b 交于点P ，则不等式kx ＋b ＞mx ＞－2的解集为_________________．
16．写出一个一次函数，使它的图象经过第一、三、四象限：______．
17．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的通话次数的频率是_____．
18．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B 的大小是_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）灞桥区教育局为了了解七年级学生参加社会实践活动情况，随机抽取了铁一中滨河学部分七年级学生2016﹣2017学年第一学期参加实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下列问题：a= %，并补全条形图．在本次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？如果该区共有七年级学生约9000人，请你估计活动时间不少于6天的学生人数大约有多少？
20．（6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点A （3，
0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线 AC 的方向平移，
当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积；
（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G 为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标．
21．（6分）计算：3﹣2）0+（1
3
）﹣1+4cos30°﹣|412|
22．（8分）已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．求此抛物线的表达式；如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．23．（8分）某蔬菜加工公司先后两次收购某时令蔬菜200吨，第一批蔬菜价格为2000元/吨，因蔬菜大量上市，第二批收购时价格变为500元/吨，这两批蔬菜共用去16万元．
（1）求两批次购蔬菜各购进多少吨？
（2）公司收购后对蔬菜进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润800元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？
24．（10分）某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元；求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；2018年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
25．（10分）小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB顶端A的仰角为45°，又测得树AB倾斜角∠1=75°．
（1）求AD的长．
（2）求树长AB．
26．（12分）已知，如图1，直线y=3
4
x+3与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B在x轴上，点B的横
坐标为9
4
，抛物线经过A、B、C三点．点D是直线AC上方抛物线上任意一点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若P为线段AC上一点，且S△PCD=2S△PAD，求点P的坐标；
（3）如图2，连接OD，过点A、C分别作AM⊥OD，CN⊥OD，垂足分别为M、N．当AM+CN的值最大时，求点D的坐标．
27．（12分）某市正在举行文化艺术节活动，一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种艺术节纪念品．若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品3件，需要550元，若购进甲种纪念品5件，乙种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共80件，其中甲种纪念品的数量不少于60件．考虑到资金周转，用于购买这80件纪念品的资金不能超过7100元，那么该商店共有几种进货方案7
（3）若销售每件甲种纪含晶可获利润20元，每件乙种纪念品可获利润30元．在（2）中的各种进货方案中，若全部销售完，哪一种方案获利最大？最大利利润多少元？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
试题分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确；
故选D．
考点：中心对称图形．
2．C
【解析】
【详解】
解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）1．
又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）1-4mn=（m-n）1．故选C．
3．D
【解析】
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，AC′=AC=2，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=1
2
BC=1，AF=FC′=
2
2
AC′=1，
∴DC′=AC′-AD=2-1，
∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′-S△DEC′=1
2
×1×1-
1
2
×（2-1）2=2-1，
故选D.
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．
4．A
【解析】
根据只有符号不同的两数互为相反数，可直接判断. 【详解】
-2与2互为相反数，故正确；
2与2相等，符号相同，故不是相反数；
3与1
3
互为倒数，故不正确；
3与3相同，故不是相反数.
故选：A.
【点睛】
此题主要考查了相反数，关键是观察特点是否只有符号不同，比较简单.
5．D
【解析】
试题分析：解不等式①可得：x＞－1，解不等式②可得：x≤4，则不等式组的解为－1＜x≤4，故选D．6．C
【解析】
【分析】
【详解】
解：A、a•a=a2，正确，不合题意；
B、2a+a=3a，正确，不合题意；
C、（a3）2=a6，故此选项错误，符合题意；
D、a3÷a﹣1=a4，正确，不合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；负整数指数幂．
7．D
【解析】
【分析】
由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=a+b-2，把点（1，0）代入y=ax2+bx-2，a+b-2=0，然后根据顶点在第三象限，可以判断出a与b的符号，进而求出t=a-b-2的变化范围．
【详解】
解：∵二次函数y=ax2+bx-2的顶点在第三象限，且经过点(1,0)
∴该函数是开口向上的，a>0
∵y=ax2+bx﹣2过点（1，0）,
∵a>0,
∴2-b>0.
∵顶点在第三象限,
∴-2b a
<0. ∴b>0.
∴2-a>0.
∴0<b<2.
∴0<a<2.
∴t=a-b-2.
∴﹣4＜t ＜0.
【点睛】
本题考查大小二次函数的图像，熟练掌握图像的性质是解题的关键.
8．A
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10n -,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】
解：将0.0000000076用科学计数法表示为97.610-⨯.
故选A.
【点睛】
本题考查了用科学计数法表示较小的数，一般形式为a×10n -，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定.
9．C
【解析】
分析：主要考查：等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质．注意：根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF ≌△ADE ．
详解：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ．
又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD ．
又∵CE=AF ，∴DF=DE ，∴Rt △BDF ≌Rt △ADE （SAS ），
∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°．
故选C ．
点睛：熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【详解】由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图（数字为该位置小正方体的个数）为：
则搭成这个几何体的小正方体最少有5个，
故选B ．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．
【详解】
请在此输入详解！
【点睛】
请在此输入点睛！
11．B
【解析】
A. y=-4x+5是一次函数，故此选项错误；
B. y= x(2x-3)=2x 2-3x ，是二次函数，故此选项正确；
C. y=(x+4)2−x 2=8x+16，为一次函数，故此选项错误；
D. y=2
1x 是组合函数，故此选项错误. 故选B.
12．C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝
对值<1时，n 是负数．
【详解】
0.00000071的小数点向或移动7位得到7.1，
所以0.00000071用科学记数法表示为7.1×
10﹣7， 故选C.
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．4
． 【解析】
【分析】
由点A(1，1)，可得OA 的长，点A 在第一象限的角平分线上，可得∠AOB=45°，，再根据弧长公式计算即可．
【详解】
∵A(1，1)，
∴=A 在第一象限的角平分线上，
∵以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，
∴∠AOB=45°，
∴»AB 的长为45180π=4
，
故答案为：
4． 【点睛】
本题考查坐标与图形变化——旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键.本题中
求出以及∠AOB=45°也是解题的关键．
14．4.
【解析】
【分析】
只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算.
【详解】
解：根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，则另一条底边长2684⨯＝﹣＝.。