辽宁省抚顺市省重点高中协作校2017届高三上学期第一次模拟考试理数试题 含答案

理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题
给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1.若集合}10{，=A ，},2|{A x x y y B ∈==，则=B A C R
）（（ ）
A ．}0{
B ．}2{
C ．}42{，
D ．}21,0{，
2.在等差数列}{n
a 中，1163
=+a a
，3985=+a a ，则公差d 为（
）
A ．14-
B ．7-
C ．7
D ．14
3.若函数)141)(4
cos(3)(<<-=ωπωx x f 的图象关于12
π=x 对称，则ω等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9 4。

函数3||)(+-
-=x x x f 的零点所在区间为（
）
A ．)1,0(
B ．)2,1(
C ．)3,2(
D ．)4,3(
5。

在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若2
cos cos c B a A b =+，2==b a ，
则ABC ∆的周长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．7。

5
6。

设向量)tan ,tan 2(βα=a ，向量)3,4(-=b ，且0=+b a ，则)tan(βα+等于( ) A ．7
1 B ．5
1- C ．5
1 D ．7
1-
7。

当双曲线M ：)02(16
22
22<≤-=+-m m y m x 的焦距取得最小值时，双曲线M
的
渐近线方程为( ） A ．x y 2±
=
B ．x y 2
2
±
= C ．x y 2±= D ．x y 2
1±=
8。

已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成,则该几何体的体积为（ )
A ．126+π
B ．246+π
C ．1212+π
D ．1224+π
9.设正数y x ,满足21<-<-y x ，则y x z 2-=的取值范围为（ ） A ．(0,2) B ．)2,(-∞ C ．)2,2(- D ．)(2,+∞
10。

将函数)6
2sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移12
π个单位，再向上平移1个
单位，得到)(x g 的图象。

若9)()(2
1
=x g x g ,且]2,2[,2
1
ππ-∈x
x ，则212x x -的最大
值为（ ）
A ．6
25π B ．6
35π C ．12
49π D ．4
17π
11。

在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A ．1200
B ．2400
C ．3000
D ．3600 12。

已知函数52
)(-=x
x f ，24)(x x x g -=，给出下列3个命题：
1p ：若R x ∈,则)()(x f x f -的最大值为16.
2p ：不等式)()(x g x f <的解集为集合}31|{<<-x x 的真子集. 3p :当0>a 时，若]2,[,21+∈∀a a x x ，)()(21x g x f ≥恒成立，则3≥a 。

那么，这3个命题中所有的真命题是（ ）
A ．1
p B ．1
p 、2
p C ．2
p 、3
p D ．1p 、2p 、3
p
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上) 13.=+
108cos 63cos 18cos 63
sin .
14.设函数⎩⎨
⎧<≥+=4
),(4,log 1)(2
6x x f x x x f ，则=+)4()3(f f .
15。

古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为 . 16. 在AOB Rt ∆中，
0=⋅OB OA ，5||=OA ,52||=OB ,AB 边上的高线为OD ，点E
位于线段OD 上，若4
3=⋅EA OE ,则向量EA 在向量OD 上的投影为 . 三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设函数a x
x x f ++=1)(为定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数.
（1）求实数a 的值;
（2)判断函数)(x f 在区间),1(+∞+a 上的单调性,并用定义法证明. 18。

在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,C 为锐角且
C B b A a sin sin sin =，a b 2=。

（1）求C 的大小；
（2)求2
2a
c 的值.
19。

食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，
每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜，根据以往的种植经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a （单位：万元）满足a P 2480+=，1204
1
+=
a Q .设甲大棚的投入为x （单位:万元），每年两个大棚的总收益为)(x f （单位：万元).
（1）求)50(f 的值;
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益)(x f 最大? 20.已知数列}{n
a 的前n 项和12-+=n n
a n S
,且41a a ，是等比数列}{n b 的前两
项，记n
b 与1
+n b 之间包含的数列}{n
a 的项数为n
c ，如1
b 与2
b 之间的项为
32a a ，，则21=c .
（1）求数列}{n
a 和}{n
b 的通项公式;
（2）求数列}{n
n c a 的前n 项和.
21.已知函数x
e a kx x
f )()(+=的极值点为1--a ，其中R a k ∈,，且0≠a .
（1）若曲线)(x f y =在点),0(a A 处的切线l 与直线x a y |22|-=平行，求l 的方程；
（2）若]2,1[∈∀a ，函数)(x f 在)2,(a
e b -上为增函数，求证:232+<≤-a e b e .
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题
记分。

22。

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧==at
y t x （t 为参数）,曲线1
C 的方程为12)sin 4(=-θρρ,定点)0,6(A ，点P 是曲线1
C 上的动点，Q 为AP 的中点. （1）求点Q 的轨迹2
C 的直角坐标方程；
（2）直线l 与曲线2
C 相交于C B ,两点，若32||≥BC ，求实数a 的取值范
围。

23。

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数R
2|
=|,3
|1
-
(.
2|
)
x
x
+
x
x
-
f∈
（1)解不等式5
f;
x
)
(≤
（2）若不等式)(
2x
x∈都成立，求实数m的取值范围。

-对任意R
m
f
m<
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分． 13．
2
2； 14．4； 15．31
35； 16．2
1或2
3
三、解答题：本大题共6个题，共70分．
17．解：（1)∵a x
x x f ++=1)(为定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，∴
)()(x f x f -=-，
∴)1(1a x
x a x
x ++-=+--，∴0=a 。

(2）函数)(x f 在区间),1(+∞上是增函数。

证明：设21
1x x
<<，
则2
12
1212121212121
2
1
1
)(11)()(x x x x x x x x x x x x x x x x
x f x f --=---=-+
-=-。

∵211x x
<<，∴021<-x x ，
01
2
121>-x x x x , ∴0)()(2
1
<-x f x f ，即)()(2
1
x f x f <.
∴函数)(x f 在区间),1(+∞上是增函数.
∴6322
-=a
c 。

19．解：（1)∵甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元， ∴277.51201504
1
502480)50(=+⨯+
⨯+=f （2）
250244
1
120)200(412480)(++-=+-⨯+
+=x x x x x f ， 依题得⎩
⎨⎧≥-≥2020020
x x ,即18020≤≤x ，
故)18020(25024
4
1)(≤≤++-=x x x x f 。

令]56,52[∈=
x t ,则282)28(4
1
2502441)(22+--=++-=t t t x f ，
当28=t 时,即128=x 时，282)
(max
=x f ，
∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大,且最大收益为282万元.
20．解：（1)由题意知，12-+=n n
a n S ，)2(1)1(121-≥-+-=-n a n S n n ，
两式作差得112--+-=n n n
a a n a ，即)2(121-≥-=n n a n ，
∴12+=n a n
，则31=a ，94=a ，
∴31
=b ，92=b ，31
2
==
b b q ， ∴n n n
q b b
311==-.
(2）
n n b 3=，113++=n n b ，
∵数列}{n
a 是由连续的奇数组成的数列，而n
b 和1
+n b 都是奇数，
∴n b 与1+n b 之间包含的奇数个数为1312
331-=--+n n
n ,
∴13-=n n
c
,)12(3)12()13)(12(+-+=-+=n n n c a n n n n .
设}3)12{(n
n +的前n 项和为n
T ，
n n n T 3)12(353321+++⨯+⨯= ，①
13213)12(3533+++++⨯+⨯=n n n T ，②
①-②得，111
323)12(3
139292+++⋅-=+---+=-n n n n n n T ，
则13+⋅=n n
n T
∴数列}{n
n c a 的前n 项和为n n n S T
n n n
2321--⋅=-+。

21．解：（1） 当0=k 时，)(x f 无极值，故0≠k 。

由0)()('=++=x
e k a kx x
f 得1--=+-
=a k
k
a x ，∴k ak k a +=+。

∵0≠a ，∴1=k .
∵|22|1)0('-=+=a a f ，∴3=a 或3
1=a 。

当3=a 时,x
e x x
f )3()(+=，3)0(=f ，∴l 的方程为34+=x y .
当31=a 时，x
e x x
f )31()(+=，31)0(=f ，∴l 的方程为3
134+=x y 。

（2）证明:由题可知0)1()('≥++=x
e a x x
f 对)2,(a e b x -∈恒成立,
∵0>x
e
，∴01≥++a x ，即1--≥a x 对)2,(a e b x -∈恒成立,
∴a
e b a -≤--1,即1--≥a e b a
对]2,1[∈a 恒成立.
设1)(--=a e
a g a
，]2,1[∈a ，则01)('>-=a e a g ，
∴)(a g 在]2,1[上递增，∴3)2()(2max
-==e g a g ，∴32-≥e b .
又2(<-a
e
b ，∴232+<≤-a e b e .
22．解：(1)由题意知，曲线1
C 的直角坐标方程为12422
=-+y y x
.
设点)','(y x P ,),(y x Q . 由中点坐标公式得⎩⎨
⎧=-=y
y x x 2'6
2', 代入12422
=-+y y x
中,得点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程为4)1()3(22=-+-y x .
（2) 直线l 的普通方程为ax y =，由题意可得222)3(21
|13|-=
+-a a ,
解得4
30≤≤a ，即实数a 的取值范围是]4
3,0[.
23．解：（1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤-<54421x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤522321x 或⎪⎩⎪⎨⎧
≤->
5
442
3x x ， 得2
14
1<≤-x 或2
32
1≤≤x 或4
92
3≤<x ，
∴不等式5)(≤x f 的解集为]4
94
1[，-．
(2） ∵2|)32(12||32||12|)(=---≥-+-=x x x x x f ， ∴21022)]([2min 2
<<-⇒<--⇒=<-m m m x f m m。