江苏徐州2019高三9月质量抽测试卷-数学(word版)

江苏徐州2019高三9月质量抽测试卷-数学（word 版）
(2018年9月)
数学I
参考公式：
棱锥的体积V ＝1
3Sh ，其中S 为底面积，h 为高、
【一】填空题:本大题共14小题,每题5分,共70分、请把答案填写在答题纸相应位置上、 1、集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2,m }，假设A ⊆B ，那么实数m ＝▲、
2
、假设(1－2i)i ＝a ＋b i 〔a ，b ∈R ，i 为虚数单位〕，那么ab ＝▲、
3、某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽
样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号
的产品有16件，那么此样本的容量n ＝▲、
4、在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，
假设从中随机抽取2个球，那么所抽取的球中至少有一个 红球的概率是▲、
5、某算法的流程图如下图，那么程序运行结束时
输出的结果为▲、
6、π2cos()23α-=，那么cos α＝▲、
7、一个正六棱锥的高为10cm ，底面边长为6cm ， 那么那个正六棱锥的体积为▲cm 3、
8、各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，
假设a 3＝18，S 3＝26，那么{a n }的公比q ＝▲、 9、实数x ，y 满足2,2,03,x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
≥≤≤≤那么2z x y =-的最大值
是▲、
10、在曲线331y x x =-+的所有切线中，斜率最小的切线的方程为▲、 11、直线y ＝a 与函数()2x f x =及函数()32x g x =⋅的图象分别相交于A ,B 两点，
那么A ,B 两点之间的距离为▲、
12、二次函数2()41f x ax x c =-++的值域是[1,＋∞)，那么1a ＋9
c 的最小值是▲、 (第5题图)
那么→OA ▪→
BC 的取值范围为▲、
14、a ，b ，c 是正实数，且abc ＋a ＋c ＝b ，设
222223111
p a b c =-+
+++，那么p 的最大值为▲、 【二】解答题：本大题共6小题，共90分、请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤、 15、〔本小题总分值14分〕
在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，cos cos cos cos a C b C c B c A -=-， 且C ＝120°、
〔1〕求角A ；
〔2〕假设a ＝2，求C 、 16、〔本小题总分值14分〕
如图，在四棱锥P ‐ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点、求证：
〔1〕PB ∥平面AEC ；
〔2〕平面PCD ⊥平面PAD 、
17、〔本小题总分值14分〕
在一个矩形体育馆的一角MAN 内〔如下图〕，用长为a
的围栏设置一个运动器材储
存区域，B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点、
〔1〕假设BC ＝a ＝10，求储存区域三角形
ABC 面积的最大值；
〔2〕假设AB ＝AC ＝10，在折线MBCN 内选一点D ， 使DB ＋DC ＝a ＝20，求储存区域四边形DBAC
面积的最大值、 18、〔本小题总分值16分〕
椭圆E ：2
2
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，且圆C ：
22360x y y +--=过A ，F 2两点、
〔1〕求椭圆E 的方程；
〔2〕设直线PF 2的倾斜角为α，直线PF 1的倾斜角为β，当β－α＝2π
3时，证明：点
P 在一定圆上、
19、〔本小题总分值16分〕
函数
2
2()ln ()
a f x x a x a x
=+-∈R 、 〔1〕讨论函数()y f x =的单调区间；
P
A B
C D E
B (第17题图)
〔2〕设2()24ln 2g x x bx =-+-，当a ＝1时，假设对任意的x 1，x 2∈[1,e]〔e 是自然对数的底数〕，12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围、
20、〔本小题总分值16分〕
设()2012()k k k f n c c n c n c n k =+++⋅⋅⋅+∈N ，其中012,,,,k c c c c ⋅⋅⋅为非零常数，
数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，关于任意的正整数n ，a n ＋S n ＝()k f n 、
〔1〕假设k ＝0，求证：数列{a n }是等比数列；
〔2〕试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列、
附加题
21、〔选做题〕此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，
假设多做，那么按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A 、[选修4—1：几何证明选讲]〔本小题总分值10分〕
△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点〔不与点A ，C 重合〕，延长BD 至点E 。

求证：AD 的延长线平分∠
CDE
B 、[选修4—2：矩阵与变换]〔本小题总分值10分〕 矩阵
1
214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
〔1〕求A 的逆矩阵A —1
；
〔2〕求A 的特征值和特征向量。

C 、[选修4—4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕
曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角
坐标系，直线l
的参数方程为
1,2(12
x t t y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩为参数〕，求直线l 被曲线C 截得的线段
长度。

D 、[选修4—5，不等式选讲]〔本小题总分值10分〕
设
111111,,,:.
222a b c a b c b c c a a b
++≥+++++均为正实数求证
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写也文字说明、证明过程或演算步骤。

22、〔本小题总分值10分〕
在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E=λEO 〔1〕假设λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成的角的余弦值； 〔2〕假设平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值。

23、〔本小题总分值10分〕
整数4,{1,2,3,
,}n M n ≥=集合的所有3个元素的子集记为A 1，A 2，…，A C 。

〔1〕当n=5时，求集合A 1，A 2，…，A C 中所有元素之和； 〔2〕设m i 为A i 中的最小元素，设12
,().n C n P m m m P n =++
+试求用表示
参考答案
1、3
2、3
3、80
4、1328
5、〔27，－5〕
6、19
7、
8、39、510、y ＝3x ＋111、2
log 312、313、31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
14、103
15、解：由余弦定理，得：sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB-sinCcosA
sinAcosC+sinCcosA=sinCcosB+sinBcosC sin(A+C)=sin(B+C) sinB=sinA ∴B=A=30° a=2,那么b=2
c ²=a ²+b ²－2abcosC=4+4－2×2×2×(－12
)=12
∴
16、〔1〕证明：连BD ，AC 交于O 。

∵ABCD 是正方形 ∴AO=OC ，OC=12
AC
连EO ，那么EO 是三角形PBD 的中位线。

EO ∥PB EO ⊂平面AEC ∴PB ∥平面AEC 〔2〕：∵PA ⊥平面ABCD ∴CD ⊥PA
∵ABCD 是正方形∴AD ⊥CD ∴CD ⊥平面PAD
∴平面PAD ⊥平面PCD
17、〔1〕因为三角形的面积为12
倍AB ·AC ，因此当AB=AC 时其值才最大，可求得为25
〔2)求四边形DBAC 面积可分为ABC 跟BCD 两个三角形来计算，而ABC 为定值可先不考虑，进而只考虑三角形BCD 的面积变化，以BC 为底边，故当D 点BC 的距离最长时面积取得最大值。

因为DB+DC=a=20总成立，因此点D 的轨迹是一个椭圆，B 、C 是其两交点，结合椭圆的知识能够明白只有当D 点在BC 的中垂线上时点D 到BC 的距离才能取得最大值，再结合题意四边形DBAC 刚好是一个边长为10的正方形，其面积为100 18.解：〔1〕圆
22
360x y y ++--=与x 轴交点坐标为(A -，2F ，
故
a c ==3
b =，∴椭圆方程是：221129x y +=、
〔2〕设点P 〔x ，y 〕，因为1
F 〔－3，0〕，2
F 〔3，0〕，
设点P 〔x ，y 〕，那么1
PF k
＝tan β＝y
x ＋3,2
PF k ＝tan α＝y
x －3，
因为β－α＝2π
3，因此tan(β－α)＝－3、 因为tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝－23y
x 2＋y 2－3， 因此－23y
x 2＋y 2－3＝－3、化简得x 2＋y 2
－2y ＝3、 因此点P 在定圆x 2＋y 2-2y ＝3上、 19、解：'()f x ＝
2221a a x x --
＝222
2x ax a x --＝0，得12x a =，2x a =- 〔a 〕当a ＝0时，f 〔x 〕＝x ，在〔－∞，＋∞〕上是增函数。

〔b 〕当a ＞0时，f 〔x 〕在〔－∞，－a 〕，〔2a ，＋∞〕上是增函数，在〔－a ，2a 〕上是减函数。

〔c 〕当a ＜0时，f 〔x 〕在〔－∞，2a 〕，〔－a ，＋∞〕上是增函数，在〔2a ，－a 〕上是
减函数。

20、【证】〔1〕假设0k =，那么()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0
()f n c =〔c 为常数〕、
因为()n
n
k
a S f n +=恒成立，因此11a S c +=，即1
22c a ==、
而且当2n ≥时，2n n
a S +=，①
1
1
2n n a S --+=，②
①－②得1
20(2)n n a a n n --=∈N ，≥、 假设a n =0，那么1=0n a -，…，a 1=0，与矛盾，因此*0()n
a n ≠∈N 、
故数列{a n }是首项为1，公比为12
的等比数列、
【解】〔2〕(i)假设k =0，由〔1〕知，不符题意，舍去、 (ii)假设k =1，设1
()f n bn c =+〔b ，c 为常数〕，
当2n ≥时，n n
a S bn c +=+，③
1
1
(1)n n a S b n c --+=-+，④
③－④得1
2(2)n n a a b n n --=∈N ，≥、要使数列{a n }是公差为d 〔d 为常数〕的等差数列，必须有n
a b d =-〔常数〕，
而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1
(
)*
n ∈N ，
故当k =1时，数列{a n
}能成等差数列，其通项公式为a n
=1
()*
n ∈N ，如今1
()1f n n =+、
(iii)假设k =2，设22()f n an bn c =++〔0a ≠，a ，b ，c 是常数〕，
当2n ≥时，2n n
a S an bn c +=++，⑤
21
1
(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+，⑥
⑤－⑥得1
22(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， 要使数列{a n }是公差为d 〔d 为常数〕的等差数列，必须有 2n
a an
b a d =+--，且d =2a ，
考虑到a 1=1，因此1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()
*
n ∈N 、
故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()
*
n ∈N ，
如今22
()(1)12f n an a n a =+++-〔a 为非零常数〕、(iv)当3k ≥时，假设数列{a n }能成
等差数列，那么n
n
a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列、
综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列、
21、曲线C 为：x 2＋y 2
－4y ＝0，圆心〔0,2〕，半径为2， 直线l
－y ＋1＝0，圆心到直线的距离为：d ＝|21|
12
2
-+= 直线被曲线C 载得的线段长度为：
=22、【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1
,,DA DC DD
为单位正交基底建立如下图的空间直角坐标系D xyz -、 那么A (1，0，0)，
()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)，E ()
111442
，，
， 因此
()
111
442
DE =，，，()1011CD =-，，. 由cos 1
DE CD 〈〉，＝
1
1||||DE
CD DE CD ⋅⋅
.
因此异面直线AE 与CD 1.
〔2〕设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1
CD ＝0
得1
1111102
20x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1). 由D 1E ＝λEO ，那么E
12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫
⎪+++⎝⎭
，，，DE =
12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫
⎪+++⎝⎭
，，.
又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得22
22002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪
⎨++=⎪+++⎩，，
取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ).
因为平面CDE
⊥平面CD 1F ，因此m ·n ＝0，得λ＝2、
23、〔1〕当n=5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有24C =6
个，因此含
有数字1的几何有6个、同理含2，3，4，5的子集也各有6个， 因此所求元素之和为(1+2+3+4+5)×
24C =6×15=90
…〔5分〕
〔2〕证明：不难得到1≤m i ≤n-2，m i ∈Z ，同时以1为最小元素的子集有21
n C -个，以2为最小元素的子集
有
22n C -个，以3为最小元素的子集有
23
n C -，…，以n-2为最小元素的子集有
2
2C 个。

那么。