2024年中考数学提高复习讲义：相似三角形的性质及应用

相似三角形的性质及应用
知识梳理
相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例.
(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (4)相似三角形周长的比等于相似比. (5)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 典型例题 例 1
若已知△ABC ∽△DEF ，若两个三角形的相似比为3∶4，则周长比为 ，面积比为 .
解析 相似三角形的相似比等于周长比，而面积比为相似比的平方，因此相似比为3：4，面积比为9:16. 例 2
在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=6,D 为AC 上一点, DC =1
3AC,在 AB 上取一点 E,得到△ADE ，若两个三角形相似，求 DE 的长.
解析 (1) 如图所示,过 D 作DE ∥BC 交AB 于点E,则有
AD AC
=
DE CB
因为 DC =13
AC =13
×4=43
, 所以 AD =AC −DC =4−43
=83
, 所以 DE =
AD⋅CB AC
=
83
×64
=4.
(2) 作 ∠ADE =∠B,交AB 于点E,则. △ADE △ABC,所以 AD AB
=
DE BC
.
由(1)知: AD =8
3
DE =
AD⋅BC AB
=
83
×63
=
163
.所以
综上所述，DE 的长为 4 或 16
3
.
例 3
如图所示,已知AD 为△ABC 的角平分线,DE ∥AB 交 AC 于 E,如果 AE EC
=23
,那么 AB AC
=().
A.1
3
B. 2
3
C.2
5
D.3
5
解析 要求 AB
AC
的比值，且题目里面涉及线段的平行，所以应该会利用三角形的相似来解决问题.
因为DE ∥AB 所以△CED ∽△CAB
所以AB
AC =ED
EC
因为 AD 为∠BAC 的平分线所以∠BAD=∠DAC
因为DE∥AB
所以∠BAD=∠ADE
所以∠DAE=∠EDA
所以AE=ED
所以AB
AC =ED
EC
=AE
EC
=2
3
故选 B.
例4
如图所示，为估计某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E 在BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上.若测得，BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度 AB 等于( ).
A.60m
B.40m
C.30m
D.20m
解析本题考查的知识点为三角形相似的应用.
因为AB⊥BC,CD⊥BC,
所以△BAE△CDE,
所以AB
CD =BE
CE
.
又因为BE=20m,EC=10m,CD=20m,
所以代入数据AB
20m =20m
10m
,
则AB=40m.
因此正确答案为B.
双基训练
1.如果两个直角三角形的斜边比为1：3，那么面积之比为( ).
A.1:1
B.1:√3
C. 1:3
D.1: 9
2.在比例尺为1：20000的地图上有一块地面积为4cm²，则这块地的实际面积为( ).
A.8×10¹cm²
B.8×10⁸cm²
C.16×10¹cm²
D.16×10⁸cm²
3.若△ABC∽△DEF,且周长比为 4:9,则相似比为( ).
A.2:3
B.3:2
C.4:9
D.9:4
4.如图所示，边长为 4 的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形 BCED 的面积为( ).
A.2√3
B.3√3
C.4√3
D.6√3
5.如图所示,DF∥EG∥BC,AD=DE=EB,且把ABC 分成三个部分,则这三个部分面积S₁:S₂:S₃=().
A.1:1:1
B.1:2:3
C. 1: 4:9
D.1:3:5
6.如图所示，某同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD，当他走到 P 点时，发现身后他的影子在顶部刚好接触到路灯AC 底部，当他向前再步行20m，到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好触到路灯 BD 的底部.已知此同学的身高为1.5m，两个路灯的高度都为9m，则两个路灯之间的距离是( ).
A.24m
B. 25m
C. 28m
D.30m
7.若△ABC△DEF,且面积之比为 16 : 25,则△ABC 与△DEF 的周长之比为 .
8. 已知△ABC与△DEF相似,△ABC 的周长为 4,△DEF 的周长为 9,则△ABC 与△DEF的面积之比为 .
9.如图所示,在△ABC中,D,E 分别为AB,AC 边上两点,且DE‖BC,若AD:DB=2:3,则△ADE 与△ABC 的面积之比为 .
10.如图所示,直线AB,CD 相交于O, AC‖BD,CO:OD=4:3,若△DOB的面积是18cm²,则△AOC 的面积为 .
11.已知两个相似三角形的一对对应边长分别为 20cm，15cm，它们的周长相差 40cm，则这两个三角形的周长分别为 .
12.如图所示，一束光线从A(4，4)出发，经过 y 轴上的点B，反射后经过点 C(3，0)，则光线从 A 点到C 点经过的路长为 .
13. 如图所示,平行四边形 ABCD 中,E 为BC 边上一点,AE 交 BD 于点 F,若BE
EC =3
4
,则AF
EF
=
¯
.
14.如图所示，在台球赛中，一球在 A 点处，经球台边挡板 CD 反射，击中球B，已知AC⊥DC 于点C,BD⊥DC 于点 D,当AC= 15cm,BD=20cm,CD=xcm,EC=ycm的时候，则恰好能击中球B，则y与x的函数解析式为 .
15.如图所示，以等腰 Rt△AOB 的斜边AB 为直角边向外作第二个等腰Rt△ABA₁,再以等腰 Rt△ABA₁的斜边A₁B 为直角边向外作第三个等腰RtA1B1B2⋯⋯·如此作下去，若OA=OB=2，则第21个等腰直角三角形的面积为 .
16.如图所示，光源P 在横杆AB 上方，AB 在灯下的影长为CD，AB‖CD,AB=2cm,CD=6cm,点 P 到CD 的距离为2.7m,则AB
与CD 之间的距离为 .
17.如图所示,直角梯形 ABCD 中,. ∠BAD=90°,AC⊥BD,已知BC
AD =1
2
,则AC
BD
=
¯
.
18. 如图所示,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是一条弦,且CP⊥AB 于P,连接 BC,AD,求证: PC²=PA⋅PB.
19.如图所示，A，B 两个教室为在楼道同侧的两个教室，A，B 两个教室到楼道的距离分别为AC=10m,BD=30m,，且CD=30 m，现要在楼道CD上安装上网端口，从A，B 两个教室拉网线，求网线的最短距离.
20.如图所示，在△ABC中, AD⊥BC于 D,且 E,H 分别在边 AB 与AC 上,F,G 在边BC 上,且与B,C 两点不重合,EFGH 构成矩形, EH :EF=1:2,若BC=6cm,AD=2cm,求矩形 EFGH 的面积.
能力提升
21.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F 分别为BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF 面积与△ABC 的面积之比为( ).
A.1:3
B.2:3
C. √3:2
D.√3:3
22.如图所示,将矩形纸片 ABCD 沿EF 折叠,使 B 与CD 中点重合为B',A'B'与AD 相交于E,G 两点. 若 AB=2,BC=3,则△FCB'与△B' DG 的面积之比为( ).
A.9:4
B.3:2
C.4:3
D.16: 9
AC,若△ADE∽△ABC,则BE= .
23.在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=6,点 D,E 分别为AC,AB 上一点, DC=2
3
24.如图所示，把△ABC 沿BC 方向平移到△A'B'C'的位置，恰好重叠部分(阴影部分)的面积为△ABC 的1
,若BC=2,则△ABC 移动
3
的距离为 .
DC,AE,BC的延长线交于点F，若平行四边形ABCD 的面积为6,则△CEF 的面积为
25. 如图所示,平行四边形ABCD 中, DE=1
3
.
26.如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC 与BD 交于O,若. S AOD与S AOB之比为1: 9,则S△AOD与S△COB之比为 .
27.如图所示,在△ABC 中,∠C=90°,BC=16cm,5AC-3AB=0,点 P 从点B 出发,沿BC 方向以 4cm/s匀速运动,Q从C 点出发,沿CA 方向以2cm/s匀速运动,若 P,Q 同时从B,C 出发,经过多长时间△CDE 与△ABC 相似?
拓展资源
28.如图所示,已知平行四边形ABCD 中,AB=4,AD=2,E是AB 边上一动点(动点 E 与点 A 不重合，可与点 B 重合)，设AE=x,DE 的延长线与CB的延长线交于F,设CF=y,则下列图像能正确反映 y与x 的函数关系的是( ).
29.如图所示，△ABC 是一块锐角三角形铁皮余料，要在△ABC中截一个矩形铁皮DEFG 使D,E 两点分别在AB,AC上,G,F 在边
BC 上,BC=24cm,AN=10cm.
(1) 设DE=x,矩形DEFG 的面积为S,求S 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围. (2) 当x 为何值时,矩形 DEFG 的面积最大?
30.如图所示,△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜边的中点重合,将△DEF 绕点E 旋转,旋转过程中,线段 DE 与线段AB 相交于点 P,线段 EF 与射线CA 相交于点 Q.
(1) 如图(1)所示,当点Q 在线段AC 上,且AP=AQ 时,求证:△BPE ≌△CQE.
(2)如图(2)所示,当点 Q 在线段CA 的延长线时,求证:△BPE ∽△CQE;并求当BP= ,CQ =9
2a 时，P ，Q 两点间的距离(用含 a 的代数
式表示).a
1-6 DDCBDD
7.4:5 8.16:81 9.4:25 10.32cm² 11.160cm 和120cm 12.√65 13. 7
3 14. y= 3
7x 15.2²¹ 16. 1.8m 17. √2 18.略) 19. 50m 20. 72
49cm²
21-22 AD
23. 2 或 16
29:24.2 √325. 4 26. 1:81; 27. 12
5s 或 32
11s
28. D
29. 提示：利用△ADE ∽△ABC ，对应线段成比例，对应的边上的高也成比例. (1)S =(10−
512x)x(0<x <24);(2)x =12时最大，且最大面积为60.
30.(1) 证明:因为 △ABC 是等腰直角三角形， 所以 AB =AC,∠B =∠C =45°. 因为AP=AQ, 所以 BP=CQ. 因为 E 是 BC 的中点, 所以BE=CE. 在△BPE 和△CQE 中 因为BP=CQ,∠B=∠C,BE=CE, 所以△BPE ≌△CQE.
(2)因为∠BEF=∠C+∠CQE,∠BEF=∠DEF+∠BEP,且∠DEF=∠C=45°, 所以∠BEP=∠CQE.
在△BPE 与△CEQ中,
因为∠BEP=∠CQE,∠B=∠C,
所以△BPE∽△CEQ,
所以BE
CQ =BP
CE
.
又 BE=CE,所以. BE²=BP⋅CQ.
当BP=a,CQ=9
2a时, BE2=9
2
a2,
所以BE=3√2
2
a,BC=3√2a
因为△ABC是等腰三角形,所以AB=AC=3a, 所以AP=AB-BP=2a,AQ=CQ-AC=³/₂a,
所以 P，Q 两点间的距离为PQ=√(2a)2+(3
2a)
2
=5
2
a.。