辽宁省盘锦市2019-2020学年高考模拟化学试题(市模拟卷)含解析

辽宁省盘锦市2019-2020学年高考模拟化学试题（市模拟卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线C ：22
22x y a b
-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）
A
B
．C ．2 D
+1
【答案】B
【解析】
【分析】 以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立222
22221x y c x y a
b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
，可求出点
2,b A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
2
43b =，整理计算可得离心率. 【详解】
解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=， 联立222
22221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
，取第一象限的解得2x c b y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
即2b A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
2
43b =， 整理得()()22229550c a c a --=， 则22519c a =<（舍去），2
25c a
=，
c e a
∴==. 故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.
2．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）
A ．1a >，1c >
B ．1a >，01c <<
C ．01a <<，1c >
D ．01a <<，01c <<
【答案】D
【解析】
【分析】 根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.
【详解】
从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>，
故得01,01c a <<<<，
故选：D ．
【点睛】
本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.
3．设i 是虚数单位，复数
1i i +=（ ） A ．1i -+
B ．-1i -
C ．1i +
D ．1i - 【答案】D
【解析】
【分析】 利用复数的除法运算，化简复数
1i 1i i
+=-，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，复数()1i (i)1i 1i i i (i)
+⋅-+==-⨯-，故选D ． 【点睛】
求解能力，属于基础题．
4．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）
A ．1
B ．1e
C ．21e
D ．3
1e 【答案】C
【解析】
【分析】
根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭
, 即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得
()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.
【详解】
由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立.
设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0.
又()()1'23h x m x
=-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值.
若230m +>,则当123x m >+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭
上单调递减, 当1023x m <<+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
上单调递增. 故在123x m =+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪++⎝⎭
. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.
故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+,
故()'ln 2k t t =--,当21t e >时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
递减； 当210t <<时, ()'0k t >,()k t 在210,⎛⎫ ⎪递增.
故在21t e =处()h t 取得极大值,为22221111ln 1=k e e e e
⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为
2
1e . 故选：C
【点睛】 本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题.
5．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x 剟
?，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）
A ．{|61}-<x x …
B ．{|112}<x x …
C ．{|110}-<x x …
D ．{|56}-<x x …
【答案】C
【解析】
【分析】
根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论.
【详解】 因为集合{|15}=-B x x 剟，所以{|51}=--B x x 剟
， 则*{|61}=-<A B x x …，所以*(*){|110}=-<B A B x x ….
故选:C.
【点睛】
本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.
6．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)x x x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩
，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．1,2e -⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．(,1]-∞ C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[ln 2,1]
【答案】C
【解析】
【分析】
求导分析函数在ln2x ≥时的单调性、极值，可得ln2x ≥时，f x 满足题意，再在ln2x <时，求解
()2f x e ≤+的x 的范围，综合可得结果.
【详解】
当ln2x ≥时，()()()
'12x f x x e =---， 令()'0f x >，则ln21x <<；()'0f x <，则1x >，
∴函数()f x 在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减.
∴函数()f x 在1x =处取得极大值为()12f e =+，
∴ln2x ≥时，()f x 的取值范围为(],2e -∞+，
∴ln2m 1≤≤
又当ln2x <时，令()322f x x e =-≤+，则12e x -≥，即1x ln22e -≤<， ∴1e 22
m ln -≤< 综上所述，m 的取值范围为1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 故选C.
【点睛】
本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.
7．函数y=2x sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)上的符号，即可判断选择.
详解：令()2sin 2x f x x =，
因为,()2
sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;
因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
8．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解
【详解】
因为1y a x '=-
，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选：D
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
9．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）
A ．αβγ≥≥
B ．βαγ≥≥
C ．αγβ≥≥
D ．γαβ≥≥
【答案】A
【解析】
【分析】 作于'D ,DE AC ⊥于,分析可得'DED α=?,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分
析得αβ≥,再根据线面角的最小性判定βγ≥即可.
【详解】
作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E .
因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥,
故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α=?.
又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥, 故'
'sin 'sin 'DD DD DED DAD DE DA ???.故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.
又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号.
故αβγ≥≥.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题. 10．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，1133
QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．610,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭
B ．(62⎤⎦
C ．2312⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
D ．(
31⎤⎦ 【答案】C
根据22PQ OF =可得四边形12PFQF 为矩形, 设1PF n =,2PF m =,根据椭圆的定义以及勾股定理可得
()22242c m n n m a c =+-,再分析=+m n t n m
的取值范围,进而求得(
)222422c a c <≤-再求离心率的范围即可.
【详解】
设1PF n =,2PF m =,由1>0x ,10y >,知m n <,
因为()11,P x y ,()11,Q x y --在椭圆C 上,222PQ OP OF ==,
所以四边形12PFQF 为矩形,12=QF
PF ；
由113QF PF ≥,
1m n
≤<, 由椭圆的定义可得2m n a +=,2224m n c +=①,
平方相减可得()222mn a c =-②,
由①②得()
2222242c m n m n mn n m a c +==+-； 令=+m n t n m
,
令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭
,
所以12,3t v v ⎛=+∈ ⎝⎦
, 即(
)
222422c a c <≤-,
所以()
222223a c c a c -<≤-,
所以()
222113e e e -<≤-,
所以2142
e <≤-
解得
12e <≤.
本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.
11．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）
A ．13
B ．310
C ．25
D ．34
【答案】B
【解析】
【分析】
将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.
【详解】
设乙,丙,丁分别领到x 元,y 元,z 元,记为(,,)x y z ,则基本事件有
(1,1,4),(1,4,1) ,(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为
310, 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.
12．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或
第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}
1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
①利用p ∧q 真假表来判断，②考虑内角为90o ，③利用特称命题的否定是全称命题判断，
④利用集合间的包含关系判断.
【详解】
若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为90o 时，不是象限角，故②错误；
由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为B A ⊆，所以x B ∈⇒x A ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的
故选：B.
【点睛】
本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是______.
【答案】
52
【解析】
【分析】 根据流程图，运行程序即得.
【详解】
第一次运行15S =，1k =；
第二次运行15S =，2k =； 第三次运行152S =
，3k =； 第四次运行532S =<；所以输出的S 的值是52
. 故答案为：
52
【点睛】
14．已知向量AB u u u r =（1，2），AC uuu r =（-3，1），则AB BC ⋅u u u r u u u r
=______． 【答案】-6 【解析】 【分析】
由BC AC AB =-u u u v u u u v u u u v 可求BC uuu v ，然后根据向量数量积的坐标表示可求AB u u u v •BC u u u v
. 【详解】
∵AB u u u v =（1，2），AC u u u v =（-3，1），∴BC AC AB =-u u u v u u u v u u u v
=（-4，-1），
则AB u u u v •BC u u u v =1×（-4）+2×（-1）=-6
故答案为-6 【点睛】
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题． 15
．函数()f x =
_____________. 【答案】1|05x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩
⎭
【解析】 【分析】
由题意可得，20210x
lg x
⎧>⎪⎪⎨⎪-⎪⎩…，解不等式可求．
【详解】
解：由题意可得，2
0210x
lg x ⎧>⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
…，
解可得，105
x <…
， 故答案为1|05x x ⎧
⎫<⎨⎬⎩
⎭…．
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题．
16．已知向量(2,1)m =-u r ，(4,)n y =r ，若m n ⊥u r r
，则2m n +=u r r ________.
【答案】10
【解析】 【分析】
根据垂直得到8y =，代入计算得到答案. 【详解】
m n ⊥u r r
，则(2,1)(4,)80m n y y ⋅=-⋅=-+=u r r ，解得8y =，
故()()()24,24,80,10m n +=-+=u r r
，故210m n +=u r r .
故答案为：10. 【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A =.
（1）若5a =，c =，求b 的值； （2）若4
B π
=
，求tan 2C 的值.
【答案】（1）5b =；（2）3
tan 24
C =-. 【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理得出关于b 的二次方程，结合0b >，可求出b 的值；
（2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出()cos cos C A B =-+的值，利用同角三角函数的基本关系求出tan C 的值，然后利用二倍角的正切公式可求出tan 2C 的值. 【详解】
（1）在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，
2202255
b +-⨯=，即2450b b --=， 解得5b =或1b =-（舍），所以5b =；
（2）由cos A =
及0A π<<得，sin A ==，
所以cos cos(())cos()sin )42C A B A A A π=π-+=-+=-=
又因为0C π<<，所以sin C ===
从而sin tan 3cos C C C ===，所以222tan 233tan 21tan 134C C C ⨯=
==---. 【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.
18．已知点3(1,),(1,),(1,)2
P a x y b x y =-=+r
r ，且4a b +=r r ，满足条件的(,)Q x y 点的轨迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）是否存在过点(0,1)-的直线l ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，直线,PA PB 与y 轴分别交于,M N 两点，使得PM PN ＝？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）22143
x y +=（2）存在， 112y x =-或512y x =-．
【解析】 【分析】
（1）由4a b +=r r
4=看成(,)Q x y 到两定点12(1,0),(1,0)F F -的和为定
值，满足椭圆定义，用定义可解曲线C 的方程.
（2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线点斜式方程1y kx =-，由
PM PN ＝，可得0PA PB k k +＝，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于k 的一元二次方程求解.
【详解】
解：()1设12(1,0),(1,0)F F -，
由(1,),(1,)a x y b x y =-=+r r
， 4a b +=r r ，
4，即为124QF QF +＝
， 由124F F >，可得Q 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点，且24a =的椭圆，
由1,2c a ＝＝
，可得b ==C 的方程为22
143
x y +=；
()2假设存在过点(0,1)-的直线l 符合题意．
当直线l 的斜率不存在，设方程为0x ＝，可得M N ，为短轴的两个端点，
PM PN ＝不成立；
当直线l 的斜率存在时，设方程为1y kx =-，1122
(1)(),1,A x kx B x kx -,﹣
由PM PN ＝，可得0PM PN k k +＝，即0PA PB k k +＝，
可得121255
22011
kx kx x x -
-+=--，化为21215
()()5022kx x k x x -+++=，
由22
13412
y kx x y =-⎧⎨
+=⎩可得22
(34)880k x kx +--=， 由(0,1)-在椭圆内，可得直线l 与椭圆相交，
1212
22
88
,3434k x x x x k k +=
=-++， 则22
8582()()()5034234k
k k k k
-
-++=++ 化为2
5
168()5(34)02
k k k k --+++=，即为241250k k -+=，解得1522
k k ==或， 所以存在直线l 符合题意，且方程为112y x =-或5
12
y x =-． 【点睛】
本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解；（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解. 19．数列{}n a 满足0n a ≠，11a =且1130n n n n a a a a ++-+=.
（1）证明：数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}1n n a a +⋅的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析，132n a n =-；（2）
31
+n
n 【解析】 【分析】
（1）利用1130n n n n a a a a ++-+=，推出111
3n n
a a +-=，然后利用等差数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）知1111.()33231
n n a a n n +=--+，利用裂项法，即可求解数列的前n 项和. 【详解】
（1）由题意，数列{}n a 满足0n a ≠且1130n n n n a a a a ++-+=
可得
11130n n a a +-+=，即1113n n
a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是公差3d =，首项11111a ==的等差数列，
故
1
13(1)32n n n a =+-=-，所以132
n a n =-. （2）由（1）知11111
.()(32)(31)33231
n n a a n n n n +=
=--+-+，
所以数列{}1.n n a a +的前n 项和：
1111111...33123113223213231n s n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯-⨯+⨯-⨯+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=
111111111---...34477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=111-)3
3131
n n n =++（
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及“裂项法”求解数列的前n 项和，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 20．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3344
x t
y t =-⎧⎨
=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=. （Ⅰ）设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN ；
（Ⅱ）若点(),P x y 为曲线C
上任意一点，求10x -的取值范围. 【答案】（Ⅰ）6
（Ⅱ）10[0,15]x +-∈ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）化简得到直线l 的普通方程化为430x y +=，，C 是以点(5,0)为圆心，5为半径的圆，利用垂径定理计算得到答案.
（Ⅱ）设(55cos ,5sin )P θθ+
，则1010sin()56
x π
θ-=+-，得到范围.
【详解】
（Ⅰ）由题意可知，直线l 的普通方程化为430x y +=，
曲线C 的极坐标方程10cos ρθ=变形为2
10cos ρρθ=，
所以C 的普通方程分别为22100x y x +-=，C 是以点(5,0)为圆心，5为半径的圆，
设点(5,0)到直线l 的距离为d ，则
4d =
=， 所以6MN ==.
（Ⅱ）C 的标准方程为22
(5)25x y -+=，所以参数方程为55cos 5sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），设
(55cos ,5sin )P θθ+，
1055cos 1010sin()56
x π
θθθ+-=++-=+-，
因为1010sin()106π
θ-≤+
≤，所以1510sin()556
π
θ-≤+-≤，
所以10[0,15]x -∈. 【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
21．已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x
轴上方），斜率为()0k k <的直线交椭圆E 于,A B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且
AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D .
（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求e 的值.
（2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且2
k <-，是否存在k AB AC =成立？如果存在，求
出k 的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）12
e =；（2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）写出2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据AD AB ⊥，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率；
（2）写出直线AB 的方程，根据韦达定理求出点B 的坐标，计算出弦长AB ，根据垂直关系同理可得AC ，
AC =即可得解. 【详解】
（1）由题可得2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D .
点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
AB AC ⊥即AD AB ⊥，
1AD AB
k k =-，222
131
0b b b a a a a c c a
--⋅=---
化简得：22230c ac a -+=， 即22310e e -+=，解得1
2
e =或1e =（舍去）， 所以12
e =
； （2）椭圆E 的方程为2
212
x y +=，
由（1
）可得1,,:22A AB y kx k ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
，2k <-
联立2212
x y y kx k +⎧=-+⎪⎪⎨=⎪⎪⎩得：(
)(
222
2212210k k x x k k +-+--=，
设B 的横坐标B x
，根据韦达定理1B x ⨯，
即22
2112B k x k --=+
，2
k <-，
所以1B A B =-，
同理可得2
12121k AC k ⎫-+⎪⎝⎭==⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
+若存在k
AC =成立，
则22
2122
k k k +=++，
20k +=，∆<0，此方程无解， 所以不存在k
AB AC =成立. 【点睛】
此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，
尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.
22．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，且经过点31,2T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
斜率为()0k k >的直线1l 经过点()0,2M ，与椭圆C 交于G ，H 两点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）22
143x y +=（2）存在；实数m
的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆定义计算a ，再根据a ，b ，c 的关系计算b 即可得出椭圆方程；（2）设直线1l 方程为
2y kx =+，与椭圆方程联立方程组，求出k 的范围，根据根与系数的关系求出GH 的中点坐标，求出GH
的中垂线与x 轴的交点横，得出m 关于k 的函数，利用基本不等式得出m 的范围． 【详解】
（1）由题意可知1c =，1(1,0)F -，2(1,0)F ．
又1235
2||||422a TF TF =+=+=，
2a ∴=
，b ∴=
=
∴椭圆C 的方程为：22
143
x y +=．
（2）若存在点(,0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形， 则P 为线段GH 的中垂线与x 轴的交点．
设直线1l 的方程为：2y kx =+，1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，
联立方程组222
14
3y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得：22
(34)1640k x kx +++=，
△2225616(34)0k k =-+>，又0k >，故1
2
k >． 由根与系数的关系可得122
1634k
x x k
+=-+，设GH 的中点为0(x ，0)y ， 则02834k x k =-
+，0
02
6
234y kx k =+=+，
∴线段GH 的中垂线方程为：22
186
()3434k y x k k k =-+
+++， 令0y =可得
2
223344k x k k k -=
=-++，即2
34m k k
=-
+． 12k >
Q
，故34k k +=…
，当且仅当34k k =
即k =时取等号，
m ∴=…，且0m <． m ∴
的取值范围是[0)．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
23．已知F 是抛物线()2
:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14
OP OF =u u u r u u u r
，
经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =. （1）求抛物线C 的方程；
（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-u u u u r u u u r
，求点F 到直线l 的最大距离.
【答案】（1）2
16y x =；（2）4. 【解析】 【分析】
（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；
（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-u u u u r u u u r
求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离. 【详解】
（1）易知点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，又14OP OF =u u u r u u u r ，所以点,08p P ⎛⎫
⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =.
联立28
2p x y px ⎧=
⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或82p
x p y ⎧=
⎪
⎪⎨⎪
=-
⎪⎩
，所以
822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭. 故抛物线C 的方程为2
16y x =；
（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y x
x my n
⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，
设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()2
12
212
256
y y x x
n ==.
所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-u u u u r u u u r
，解得8n =.
所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.
又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.。