四川省资阳市高中数学高一升高二复习讲义 第2讲 一元二次不等式及其解法 新人教A版

四川省资阳市高中数学高一升高二复习讲义第2讲一元二次不等式
及其解法新人教A版
一、复习旧知
1、知识点
解不等式的有关理论
一元二次不等式的解集
解一元二次不等式的基本步骤
高次不等式解法
分式不等式的解法
2、作业评讲
二、新课讲解
重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式
考点：一元二次不等式的解法
含参数不等式的解法
分式不等式及高次不等式的解法
简单的恒成立问题
易混点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.
【分类教学】
★知识梳理★
一.解不等式的有关理论
（1）若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；
（2）一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；
（3）解不等式时应进行同解变形；
（4）解不等式的结果，原则上要用集合表示。

二.一元二次不等式的解集
c
三.解一元二次不等式的基本步骤：
（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数； （2） 尝试用“十字相乘法”分解因式； （3） 计算ac b 42-=∆
（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。

四.高次不等式解法：
尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解 （注意每个因式的最高次项的系数要求为正数）
五.分式不等式的解法：
分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解；
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。

2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式
3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.
(1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解
问题1. 设0>a ，解关于x 的不等式 11log 2
<-x ax
点拨:11
log 2
<-x ax
∴<-<012ax x 由ax x ->10得：x <0或x >1 ()[]()ax x x a x x -+-<-+-<22
1
02210，
讨论：（1）当a =2时，得x <0
（2）当a >2时，-
-<<2
2
0a x /
（3）当02<<a 时，a
x ->22或x <0
综上所述，所求的解为:当a =2时，解集为{}x x |<0
当a >2时,解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<--
022|x a x . 当02<<a 时,解集为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
<->
022|x a x x 或12/
(2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系. 问题2. 已知函数3222)(a b x a ax x f -++=
当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x 当，求)(x f 的解析式； 点拨:据题意：6,221=-=x x 是方程02322=-++a b x a ax 的两根
由韦达定理知：⎩⎨⎧-=-=⇒⎪
⎩⎪
⎨⎧⨯-=-+-=-846)1(26
23b a a
a b a
故2
()41680f x x x =-+- 三、【典型例题】
考点1 一元二次不等式的解法 题型1.解一元二次不等式
不等式2
x x >的解集是( )
A ．(),0-∞ B. ()0,1 C. ()1,+∞ D. ()(),01,-∞+∞
【解题思路】严格按解题步骤进行
由2x x >得(1)0x x ->,所以解集为()
(),01,-∞+∞,故选D;别解:抓住选择题的特点,显
然当2x =±时满足不等式,故选D.
【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.
已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32
-,求220cx x a -+->的解集. 【解题思路】由韦达定理求系数
由220ax x c ++>的解集为11(,)32-知0a <,11
,
32
-为方程220ax x c ++=的两个根,由
韦达定理得11211,3232c
a a
-+=--⨯=,解得12,2a c =-=,∴220cx x a -+->即
222120x x --<,其解集为(2,3)-.
【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由
韦达定理求系数
【新题导练】
1.不等式（a －2）x 2+2(a －2) -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.（-∞,2] B.（-2,2] C.（-2,2） D.（-∞,2)
解析：∵可推知-2＜a ＜2,另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，∴-2＜a≤2. 选B
2. 关于x 的不等式(m x -1)( x -2)＞0，若此不等式的解集为{x |＜x ＜2}，则m 的取值
范围是
A. m ＞0
B.0＜m ＜2
C. m ＞
D. m ＜0
解析：由不等式的解集形式知m ＜0. 答案：D 考点2 含参数不等式的解法 题型1：解含参数有理不等式
例1：解关于x 的一元二次不等式2
(3)30x a x a -++> 【解题思路】比较根的大小确定解集
解析：∵2(3)30x a x a -++>，∴()()30x x a -->
⑴当3,3a x a x <<>时或，不等式解集为{}
3x x a x <>或； ⑵当3a =时，不等式为()2
30x ->，解集为{}
3x x R x ∈≠且； ⑶当3,3a x x a ><>时或，不等式解集为{}
3x x x a <>或
【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根的判别式讨论(0,0,0∆>∆=∆<).③根据根的大小讨论(121212,,x x x x x x >=<).
题型2：解简单的指数不等式和对数不等式 例2. 解不等式log a (1－
x
1
)＞1 (0,1)a a >≠ 【解题思路】借助于单调性进行分类讨论
解析(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a x
x
11011
由此得1－a ＞
x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a
-11
＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a
x x 11011
由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11
.
综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a
-11
＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为
{x |1＜x ＜a
-11
}.
【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.
【新题导练】
3.关于x 的不等式22
6320x mx m --<的解集为( )
A.(,)97m m -
B.(,)79m m -
C.(,)(,)97
m m
-∞-+∞ D.以上答案都不对 解析:原不等式可化为()()097
m m
x x +-<,需对m 分三种情况讨论,即不等式的解集与m 有关.
4.解关于x 的不等式：04)1(22<++-x a ax
① ②
解析：0)2)(2(<--x ax
a
a a )
1(222-=
-
当⇒>
⇒>a
a 2
21⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<22|x a x ； 当a a 2210<
⇒<<∴⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
<<a x x 22|，
当0<a ⇒>-+-⇒0)2)(2(x ax 2|2x x x a ⎧⎫<
>⎨⎬⎩⎭
或 Φ∈⇒=>⇒=x a x a 1;20
5.
考点3 分式不等式及高次不等式的解法
解不等式:22(1)(68)0x x x --+≥ 【解题思路】先分解因式,再标根求解
原不等式(1)(1)(2)(4)0x x x x ⇔-+--≥,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下:
所以不等式的解集为(,1][1,2][4,)-∞-+∞.
【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系. 【新题导练】
5.若关于x 的不等式
0(3)(1)
x a
x x +>++的解集是(3,1)(2,)--+∞,则a 的值为_______
解析:原不等式()(3)(1)0x a x x ⇔+++>,结合题意画出图可知2a =-.
6. 解关于)0(1
1
)1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式
解：①若)25
1()2511(2150∞++--+<
<，，，则原不等式的解集为 a a ； ②若)2
5
1(215∞+++=，，则原不等式的解集为a ；
③若)2
51()1251(215∞++--+>
，，，则原不等式的解集为 a a 7.（ 广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试）解不等式.2)2
1
(242
>⋅-+x x x ．解析：2)2
1
(2
242
>⋅-+x x 2
14
22
22
2
>⋅∴-+x x
即2
12
322
>-x 得65>
x 所以原不等式的解集为}6
5|{>x x
考点4 简单的恒成立问题
题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围
例1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 【解题思路】结合二次函数的图象求解
当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意; 当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需2
2420
a a >⎧⎨-⨯<⎩,解得12
a >
综上,所求实数a 的取值范围为1(,)2
+∞
【名师指引】不等式20ax bx c ++>对一切x R ∈恒成立0
00a b c =⎧⎪
⇔=⎨⎪>⎩或2
040a b ac >⎧⎨∆=-<⎩ 不等式2
0ax bx c ++<对任意x R ∈恒成立0
00a b c =⎧⎪⇔=⎨⎪<⎩
或2
040a b ac <⎧⎨∆=-<⎩ 题型2.转化为二次函数的最值求参数的取值范围
【解题思路】先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.
(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=
即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2()1f x x x =-+
(2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即2
31m x x <-+在[1,1]-恒成立.
令22
35
()31()2
4
g x x x x =-+=--
,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-.
【名师指引】()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,
则max [()]m f x ≥; 【新题导练】
8.不等式2
2214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______．
：不等式2
2214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立,
即 014)2(2
>-+++a x x a 对一切∈x R 恒成立 若2+a =0,显然不成立
若2+a ≠0，则⎩⎨
⎧<∆>+0
2a ∴2>a 9.若不等式x 2
＋ax ＋10对于一切x 0，12）成立，则a 的取值范围是
（ ）
A ．0
B ． –2
C ．-5
2
D ．-3
解析：设f （x ）＝x 2
＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－
,若a 2－1
2
，即a 1时，则f （x ）
在〔0，12〕上是减函数，应有f （1
2
052
x －1
若a 2－0，即a
0时，则f （x ）在〔0，
1
2
〕上是增函数，应有f （0）＝10恒成立，故
a
0 若0
a 2－1
2
，即－1a
0，则应有f （a
2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－
恒成立，故－1a
0． 综上，有－
5
2
a,故选C ．
四、【巩固练习】
1. 不等式2
560x x -++>的解集是__________
解析:将不等式转化成2560x x --<，即()()160x x +-<.]
2. 若不等式20x ax b --<的解集为{|23}x x <<,则不等式210bx ax -->的解集为 __________.
.解析:先由方程20x ax b --=的两根为2和3求得,a b 后再解不等式2
10bx ax -->.得
11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭
3. (广东省五校2008年高三上期末联考) 若关于x 的不等式2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．
解析： 2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，就是1= [()g x ]max ＜2
1a a ++
所以(,1)(0,)a ∈-∞-⋃+∞
4(08梅州)设命题P ：函数)16
1
lg()(2
a x ax x f +
-=的定义域为R ；命题q ：不等式ax x +<+121对一切正实数均成立。

如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求
实数a 的取值范围。

解：命题P 为真命题⇔函数)lg()(a x ax x f 16
1
2
+
-=定义域为R ⇔ 016
1
2>+
-a x ax 对任意实数x 均成立⇔00>-=x a 时解集为R ，或204
1102>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->a a a
∴ 命题P 为真命题⇔2>a
5.解关于x 的不等式
012
)
1(<+--x x k (k ≥0，k ≠1).
原不等式即
02
2
)1(<--+-x k x k ， 1°若k=0，原不等式的解集为空集；
2°若1－k>0，即0<k<1时，原不等式等价于,0)2)(12(<----x k
k
x 此时
k k --12－2=k
k
--12>0， ∴若0<k<1，由原不等式的解集为{x|2<x<k
k
--12}； 3°若1－k<0，即k>1时，原不等式等价于,0)2)(12(>----
x k
k
x 此时恒有2>k k --12，所以原不等式的解集为{x|x<k
k
--12，或x>2}.
五、【课后练习】
6.. 已知ａ＞０，且ａ≠１，解关于
x
).4(log )1(log 2
1
42x x a a -≤-+ 解：原不等式等价于
)4(log )1(log 21),4(log 2
1
)1(log 212222x x x x a a a a -≤-+-≤-+ )4(log ]2)1[(log 222x x a a -≤⋅-
原不等式同解于⎪⎩
⎪⎨⎧-≤---)3(4)1(2(2) 04(1)
012x x x
x a a a a
7
由①②得１＜ａ
ｘ
由③得22
1
,023)(22≤≤-
≤--x x
x a a a 从而1＜ａｘ
≤２
①当ａ＞1时，原不等式解为｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２
}
②当０＜ａ＜１时，原不等式解为｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０
}
6.(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对
当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x (x ＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a 元（a ＞0）。

（I ）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农
民的年总收入，试求x 的取值范围；
（II ）在（I ）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民
的人均年收入达到最大。

解：（I ）由题意得（100-x ）·3000·（1+2x%）≥100×3000，
即x 2
－50x ≤0，解得0≤x≤50， 又∵x＞0 ∴0＜x≤50； （II ）设这100万农民的人均年收入为y 元，
则y= (100－x )×3000×(1+2x %)+3000ax 100 = －60x 2
+3000(a +1)x +300000100
=－35
2+3000+475(a +1)2
(0<x ≤50)
（i ）当0<25(a +1)≤50，即0＜a ≤1，当x=25(a +1)时，y 最大；
（ii ）当25(a +1)＞50，即a ＞1，函数y 在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y 取最大值 答：在0＜a ≤1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大
7.已知二次函数),,(,)(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当
∈x （1，3）时，有2)2(8
1)(+≤x x f 成立。

（1）证明：2)2(=f ;
（2）若)(,0)2(x f f =-的表达式; （3）设x m x f x g 2)()(-= ,),0[+∞∈x ，若)(x g 图上的点都位于直线4
1
=y 的上方，求 实数m 的取值范围。

解析：（1）由条件知 224)2(≥++=c b a f 恒成立
又∵取x=2时，2)22(8
1
24)2(2=+≤++=c b a f 与恒成立, ∴2)2(=f .
（2）∵⎩⎨
⎧=+-=++0
24224c b a c b a ∴,124==+b c a ∴a c b 41,
21
-==.
又 x x f ≥)(恒成立，即0)1(2
≥+-+c x b ax 恒成立.
∴0)41(4)12
1(,02
≤---=∆>a a a ，
解出：2
1,21,81===
c b a , ∴212181)(2++=x x x f . （3）由分析条件知道，只要)(x f 图象（在y 轴右侧）总在直线 412+=x m y 上方即可，也就是直线的斜率2
m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=4
122121812x m y x x y ∴)2
21,(+-∞∈m . 解法2：),0[4121)221(81)(2+∞∈>+-+=
x x m x x g 在必须恒成立, 即 ),0[02)1(42+∞∈>+-+x x m x 在恒成立.
①△<0，即 2－8<0，解得：2
21221+<<-m ; ②⎪⎩
⎪⎨⎧>=≤--≥∆02)0(0)1(20f m 解出：221-≤m . 总之，)221,(+
-∞∈m .。