(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(含答案解析)(1)

一、选择题
1．已知()~,X B n p ，且()2E X =，()4
3
D X =，则n =（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2．已知离散型随机变量X 的分布列为
则D (X )的最大值是（ ） A ．
29
B ．
59
C ．
89
D ．
209
3．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为
1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ）（参考
数据：3600.990.03≈，3600.010≈，30.970.912673≈） A ．0.0027%
B ．99.9973%
C ．0
D ．91.2673%
4．已知,a b 为实数，随机变量X ，Y 的分布列如下：
若()(1)E Y P Y ==-，随机变量ξ满足XY ξ=，其中随机变量X ，Y 相互独立，则
()E ξ取值范围的是（ ）
A ．3,14⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．1,018⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．1,118⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．3,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
5．设随机变量X 服从正态分布()0,9N ，则()36P X <<=（ ）
（附：若()
2
~,X N μσ，则(
)0.6826P X μσμσ-<<+≈，
(2)0.9544P X μσμσ+<<+=）
A ．0.0456
B ．0.1359
C ．0.2718
D ．0.3174
6．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且2EX =，DX q =，则
21p q
+的最小值为（ ） A ．
274
B ．
92
C ．3
D ．4
7．设1
02
x <<
，随机变量ξ的分布列如下： ξ
1 2
P
0.5
0.5x -
x
则当x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
内增大时（ ）
A ．()E ξ减小，()D ξ减小
B ．()E ξ增大，()D ξ增大
C ．()E ξ增大，()
D ξ减小
D ．()
E ξ减小，()D ξ增大
8．三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为
123
,,234
，且是相互独立的．如图，将23,T T 两个元件并联后再与1T 元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ）
A ．
1124
B ．
2324
C ．
14
D ．
1732
9．已知在5件产品中混有2件次品，现需要通过逐一检测直至查出2件次品为止，每检测一件产品的费用是10元，则所需检测费的均值为（ ） A ．32元
B ．34元
C ．35元
D ．36元
10．若随机变量X 的分布列为：
已知随机变量Y aX b =+(,,0)a b R a ∈>，且()10,()4E Y D Y ==，则a 与b 的值为( ) A ．10,3a b == B ．3,10a b == C ．5,6a b == D ．6,5a b == 11．已知随机变量X 的方差()D X m =，设32Y X =+，则()D Y =（ ） A ．9m
B ．3m
C ．m
D ．32m +
12．将3颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，事件B 为“至少出现一个1
点”，则条件概率(A |B)P 和(|)P B A 分别为（ ） A ．160
,
291
B ．
560
,
1891
C ．
601,912
D ．
911,2162
二、填空题
13．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有6个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1
3
，用X 表示这6位乘客在第20层下电梯的人数，则(4)P X ==________.
14．测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X 服从正态分布(
)2
20,10N ，如果独立
测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是__________.
附参考数据：()0.68P X μδμδ-<≤+=，()220.95P X μδμδ-<≤+=，
()330.99P X μδμδ-<≤+=，20.1850.03=，30.1850.006=，20.8150.66=，30.8150.541=.
15．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：
*,x y N ∈，且30x y +=）.若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，
该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x 的最小值是________.
16．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是_______.
17．某仪表内装有m 个同样的电子元件,有一个损坏时,这个仪表就不能工作.如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是p ,则这个仪表不能工作的概率是_____. 18．已知随机变量X ～B (10，0.2)，Y ＝2X ＋3，则EY 的值为____________.
19．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
20．给出下列命题：①函数()π4cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心为5π,012⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；②若命题
:p “2,10x R x x ∃∈-->”，则命题p 的否定为：“2,10x R x x ∀∈--<”；③设随机变
量~(,)B n p ξ，且()2,()1E D ξξ==，则(1)p ξ==1
4
；④函数sin 2y x =的图象向左平移
π4
个单位长度，得到πsin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是_____________
（把你认为正确的序号都填上）.
三、解答题
21．在一场青年歌手比赛中，由20名观众代表平均分成A ，B 两个评分小组，给参赛选手评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：
（2）在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取2名观众的评分，记X 为这2个人评分之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望. 22．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:10之前到校的概率均为2
3
.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用X 表示甲同学上学期间的每周五天中7:10之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7:10之前到校的天数比乙同学在7:10之前到校的天数恰好多3天”为事件M ，求事件M 发生的概率. 23．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
1
2和25
，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （1）求甲射击5次，至少1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击3次，甲恰好比乙多击中目标2次的概率
24．2019年以来，全国发生多起较大煤矿生产安全事故，事故给人民群众的财产和生命造成重大损失.尽管国务院安委办要求对事故责任人从严查处.但是有的煤矿企业领导人仍然不能够对安全生产引起足够重视.不久前，某煤矿发生瓦斯爆炸事故，作业区有若干矿工人员被困.若救援队从入口进入之后有1L ，2L 两条巷道通往作业区如下图所示，其中1L 巷道有
1A ，2A ，3A 三个易堵塞点，且各易堵塞点被堵塞的概率都是
1
2
；2L 巷道有1B ，2B 两个易堵塞点，且1B ，2B 易堵塞点被堵塞的概率分别为14，3
5
，不同易堵塞点被堵塞或不被堵塞互不影响.
（1）求1L 巷道中的三个易堵塞点至少有两个被堵塞的概率；
（2）若2L 巷道中两个易堵塞点被堵塞个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （3）若1L 巷道中三个易堵塞点被堵塞的个数为Y ，求Y 的数学期望. 25．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为34和3
5
，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B 研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利ξ万元的分布列和期望．
26．越野汽车轮胎的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的为优质品.现用A ，B 两种不同型号的汽车轮胎做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示，以上述试验结果中各组的频率作为相应的概率.
（1）现从大量的A ，B 两种型号的轮胎中各随机抽取2件产品，求其中至少有3件是优质品的概率；
（2）通过多年统计发现，A 型轮胎每件产品的利润y （单位：元）与其使用时间t （单位：千小时）的关系如下表： 使用时间t （单位：千小时） 5t < 56t ≤<
6t ≥
每件产品的利润y （单位：元）
200-
200
400
若从大量的A 型轮胎中随机抽取两件，其利润之和记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
∵~(,)X B n p ，∴()2E X =，4()3D X =
，∴2np =，且4
(1)3
np p -=，解得6
13n p =⎧⎪
⎨=⎪⎩
， ∴6n =，故选B ．
2．C
解析：C 【分析】
根据分布列中概率和为1可得a 的范围和b 的值，再求出,EX DX 的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题. 【详解】
12133b a a b +-+=⇒=，又110033
a a -≥⇒≤≤，
1242()3333
EX b a a a b a =+⨯-+⨯=++=+，
2221
(1)(2)()(3)3DX EX b EX a EX a =-⋅+-⋅-+-⋅
2221215
()()()()3333a b a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅
22212215
()()()()33333a a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅
27239
a a =-++，
对称轴为7163a =>，∴max 1728
()9999
DX =-++=， 故选：C. 【点睛】
本题考查标准差的最值求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.
3．B
解析：B 【分析】
先求出一个人在所有行业中都不能胜过孔圣人的概率，再求出三个人在所有行业中都不能胜任孔圣人的概率，用1减去此概率即为所求. 【详解】
一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为3600.990.03≈，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为30.030.000027=，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为
10.0000270.99997399.9973%-==．
故选：B ． 【点睛】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查至多至少问题用对立事件解决的方法，属于中档题.
4．B
解析：B 【分析】
由()(1)E Y P Y ==-及1a b c ++=，可知13b a =-，2c a =；又因为0,,1a b c ≤≤，可求出103
a ≤≤；由题意知1
()6E a ξ=-，从而可求出()E ξ取值范围.
【详解】
解：由()(1)E Y P Y ==-知，a c a -+= ，即2c a = ，又1a b c ++= ，所以
13b a =-；
因为0,,1a b c ≤≤ ，所以0131021
a a ≤-≤⎧⎨
≤≤⎩ ，解得103a ≤≤.又()111
0366
E X =-++=- ，
且X ，Y 相互独立，XY ξ=，所以()()()1
1(),06
18E E XY E X E Y a ξ⎡⎤
===-∈-⎢⎥⎣⎦
. 故选:B. 【点睛】
本题考查了数学期望，考查了分布列的性质，考查了推理能力和计算能力.本题的关键是由条件求出a 的取值范围.
5．B
解析：B 【分析】
由随机变量X 符合正态分布()0,9N ，得0μ=，3σ=，则所求(36)P X <<，即为
(2)P X μσμσ+<<+，根据3σ原则，以及正态曲线的对称性即可求值.
【详解】
因为随机变量X 符合正态分布()0,9N ，则0μ=，3σ=， 所以(36)(2)P X P X μσμσ<<=+<<+， 由(
)0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+=，
以及正态曲线的对称性，可知()00.3413P X μσ<<+≈，
(02)0.4772P X μσ<<+=，
则(36)0.47720.34130.1359P X <<=-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了正态分布曲线的对称性，两个变量μ和σ的应用，3σ原则，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
根据二项分布的均值与方差公式,可得,p q 的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得
21
p q
+的最小值. 【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布(),X
B n p ,且2EX =,DX q =
由二项分布的均值与方差公式可得()21np
q np p =⎧⎨
=-⎩, 化简可得22p q +=,即12q
p +=
由基本不等式化简可得21
p q +
221p q q p ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫+ ⎪⎝
⎝⎭⎭
25259
22q p p q ≥+=
++= 即
21p q +的最小值为92
故选:B 【点睛】
本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
分别计算()E ξ和()D ξ的表达式，再判断单调性. 【详解】
()00.51(0.5)20.5E x x x ξ=⨯+⨯-+=+,当x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭内增大时, ()E ξ增大
()222210.5(0.50)(0.5)(0.51)(0.52)24
D x x x x x x x ξ=⨯+-+-⨯+-++-=-++ ()25(1)4D x ξ=--+
，当x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
内增大时, ()D ξ增大 故答案选B 【点睛】
本题考查了()E ξ和()D ξ的计算，函数的单调性，属于综合题型.
8．A
解析：A 【分析】
若电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 【详解】
记1T 正常工作为事件A 记2T 正常工作为事件B 记3T 正常工作为事件C 则()12P A =
，()23P B =，()34
P C = 电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 则23T T ，至少有一个正常工作，概率为
()
12311
11113412
P P BC ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则电路不发生故障的概率1111121224
P =⨯= 故选A 【点睛】
本题主要考查了概率知识及实际应用能力，考查了相互独立事件同时发生的概率的计算，关键是确定不发生故障时满足的条件．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
随机变量X 的可能取值为20,30,40，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机
变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】
X 的可能取值为20,30,40，
()222521
202010
A P X A ====；
()311232323
562323
306010
A C C A P X A +⋅⋅+⨯⨯====； ()()()133
4012030110105
P X P X P X ==-=-==-
-=，
数学期望2030403510105
EX =⨯
+⨯+⨯=， 即需检测费的均值为35，故选C. 【点睛】
本题主要考查组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
10．C
解析：C 【解析】 分析:
详解：由随机变量X 的分布列可知，m 10.20.8=-=， ∴()00.210.80.8E X =⨯+⨯=，()10.20.80.16D X =⨯⨯=，
∴()()()()2
b 10?4E Y aE X D Y a D X =+===， ∴20.8a b 10? 0.164a +==， ∴5,6a b == 故选C
点睛：本题考查了随机变量的数学期望及其方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．A
解析：A 【解析】
∵()D X m =，∴2()(32)3()D Y D X D X =+=9()D X =9m =，故选A ．
12．C
解析：C 【解析】
根据条件概率的含义，()|P A B 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个3点” 的情况下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个3 点”的情况数目为66655591⨯⨯-⨯⨯=，“三个点数都不相同”，则只有一个3点，共1
35460C ⨯⨯=种，()60
|91
P A B ∴=
；()|P B A 其含义为在A 发生的情况下，B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个3点”的概率，()601
|=1202
P B A ∴=
，故选C. 二、填空题
13．【分析】根据次独立重复试验的概率公式进行求解即可【详解】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验这是次独立重复试验故即有123456故答案为：【点睛】本题主要考查次独立重复试验的概率的计算根据 解析：
20243
【分析】
根据n 次独立重复试验的概率公式进行求解即可． 【详解】
解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是6次独立重复试验， 故1~6,3X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
即有6612()()()33
k k
k P X k C -==⨯，0k =，1，2，3，4，5，6．
4264
1220(4)()()33243
P X C ∴==⨯=．
故答案为：20243
【点睛】
本题主要考查n 次独立重复试验的概率的计算，根据题意确实是6次独立重复试验，是解决本题的关键，属于中档题．
14．994【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在内的概率再求出测量3次每次测量误差均不在内的概率根据对立事件的性质可得结果【详解】由题意可知在一次测量中误差在内满足其概率为测量3次每次测量误差
解析：994 【分析】
根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在()0,30内的概率，再求出测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率，根据对立事件的性质可得结果. 【详解】
由题意可知在一次测量中误差在()0,30内满足2X μδμδ-<<+， 其概率为
()()()111
220.950.680.815222
p p X p X μδμδμδμδ=
-<≤++-<≤+=⨯+=， 测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率为：()3
3
10.8150.1850.006-==，
∴独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是10.0060.994-=， 故答案为：0.994. 【点睛】
本题主要考查正态分布概率的求法，n 次独立重复试验的模型，利用对立事件解决问题是解题的关键，属于中档题.
15．25【分析】先根据条件求出分布列和期望再根据购进17份比购进18份的利润的期望值大即可得出答案【详解】解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜表示当天的利润（单位：元）那么的分布列为 65 75 85
解析：25 【分析】
先根据条件求出分布列和期望，再根据“购进17份比购进18份的利润的期望值大”即可得出答案． 【详解】
解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，1Y 表示当天的利润（单位：元），那么1Y 的分布列为
1Y 的数学期望()16575100100E Y =⨯
+⨯83001085100100
x x
--+⨯=， 若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，2Y 表示当天的利润（单位：元），那么2Y 的分布列为
2Y 的数学期望()2106070100100x E Y =⨯
+⨯167480+90100100x -+⨯⨯854020100
x
-=， ∵购进17份比购进18份的利润的期望值大， ∴
830010854020100100
x x
-->，且30x <，
解得2430x <<，又*x ∈N ， ∴
x 的最小值为25，
故答案为：25． 【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
16．46【分析】得分不低于300分包括得300分或得400分这两种情况是互斥的根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案【详解】解:设同学甲答对第i 个题为事件则且相互独立同学甲得分不低于300分对应于
解析：46 【分析】
得分不低于300分包括得300分或得400分，这两种情况是互斥的，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案． 【详解】
解:设“同学甲答对第i 个题”为事件(1,2,3)i A i =，则()10.8P A =，()20.6P A =，
()30.5P A =，且1A ，2A ，3A ，相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件
()()()123123123A A A A A A A A A ⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂发生，故所求概率为
()()()123123123P P A A A A A A A A A ⎡⎤=⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂⎦⎣()()()123123123P A A A P A A A P A A A =⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂ ()()()()()()()()()123123123P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++
0.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故答案为0.46
【点睛】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查应用概率知识解决实际问题的能力，是一个综合题，注意对题目中出现的“不低于”的理解
17．【分析】m 个电子元件中任一个电子元件损坏时这个仪表就不能工作故每个电子元件都正常时这个仪表能工作故这段时间内这个仪表能工作的概率是（1﹣P ）m 故这段时间内每个仪表不能工作的概率是1﹣（1﹣P ）m 【详 解析：()11m
p --
【分析】
m 个电子元件中任一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作，故每个电子元件都正常时，这个仪表能工作．故这段时间内这个仪表能工作的概率是（1﹣P ）m ，故这段时间内
每个仪表不能工作的概率是1﹣（1﹣P ）m 【详解】
设电子元件损坏的个数为X ,则()~,X B m p ,
则这个仪表不能工作的概率()()()()0
1101111m
m
m P X P X C p p ≥=-==--=--.
故答案为()11m
p -- 【点睛】
本题考查独立事件、对立事件的概率，考查对事件的关系的理解和运用．
18．7【解析】【分析】先根据二项分布得EX 再根据Y ＝2X ＋3得EY=2EX+3即得结果【详解】因为X ～B(1002)所以EX=10×02=2因此EY=2EX+3=7【点睛】本题考查二项分布期望公式考查基
解析：7 【解析】 【分析】
先根据二项分布得EX ，再根据Y ＝2X ＋3得 EY=2EX+3,即得结果. 【详解】
因为X ～B (10，0.2)，，所以EX =10×0.2=2，因此EY=2EX+3=7. 【点睛】
本题考查二项分布期望公式，考查基本求解能力.
19．72【分析】直接根据相互独立事件的概率乘法公式求得结果【详解】种子的发芽率为出芽后的幼苗成活率为则这粒种子能成长为幼苗的概率为故答案为【点睛】这是一道关于概率计算的题目解答本题的关键是熟练掌握相互独
解析：72 【分析】
直接根据相互独立事件的概率乘法公式求得结果 【详解】
种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8， 则这粒种子能成长为幼苗的概率为0.90.80.72⨯= 故答案为0.72 【点睛】
这是一道关于概率计算的题目，解答本题的关键是熟练掌握相互独立事件的概率计算公式，属于基础题．
20．①③【分析】求出判断①利用存在量词命题否定形式判断②二项分布的期望与方差判断③；三角函数图象变换判断④【详解】解：①函数的一个对称中心为故①正确；②若命题：则命题的否定为：；所以②不正确；③设随机变
解析：①③
【分析】 求出5()012
f π
-
=判断①，利用存在量词命题否定形式判断②，二项分布的期望与方差判断③；三角函数图象变换判断④． 【详解】 解：①
5()4cos()0122
f ππ
-
=-=， ∴函数()4cos(2)3
f x x π=+的一个对称中心为5(,0)12π
-，故①正确；
②若命题p ：“x R ∃∈，210x x -->”，则命题p 的否定为：“x R ∀∈，210x x --”；所以②不正确；
③设随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，()1D ξ=，
可得2np =，(1)1np p -=，可得12p =，4n =则43
111(1)124
12p C ξ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭；所以③正确；
④函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π个单位长度，得到sin 2()4y x π
=+，不是
sin(2)4
y x π
=+
的图象，所以④不正确；
故答案为：①③． 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，命题的否定，期望与方差的求法，属于中档题．
三、解答题
21．（1）9.1A x =，2
0.266A s =；9.0B x =，2
0.056B s =；B 组的评分更集中一些；（2）分布列见解析；()67
280
E X =. 【分析】
（1）首先求出平均数，再利用方差公式求方差，在平均数一样的情况下，选择方差较小的小组；
（2）根据判断，列举随机变量X 的所有可能取值，求出对应的概率，列出分布列，计算数学期望. 【详解】 （1）1
(8.39.39.69.48.59.68.88.49.49.7)9.110
A x =
+++++++++=； ()1
8.69.19.28.89.29.19.29.38.88.79.010
B x =
+++++++++=.
22221
(8.39.1)(9.39.1)(9.79.1)0.26610
A s ⎡⎤=
-+-++-=⎣⎦； 2
2221(8.69.0)(9.19.0)(8.79.0)0.05610
B s ⎡⎤=
-+-++-=⎣⎦.
根据方差的概念及实际含义可知，B 组的评分较集中. （2）从B 组评分中去掉一个最高分9.3，去掉一个最低分8.6， 易知X 的所有可能取值为0，0.1，0.3，0.4，0.5.
从8人的评分中任取2人的评分，共有2
828C =种等可能的结果，
把B 组成绩按照从大到小排成一列为8.7，8.8，8.8，9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，
则2222235(0)2828C C C P X ++===，1211
122382
(0.1)28287C C C C P X +====，
12
2241
(0.3)28287C C P X ====，1111122382(0.4)28287C C C C P X +====，
11133
(0.5)2828
C C P X ===，
所以X 的分布列是
X 的数学期望00.10.30.40.52877728280
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查平均数、方差的计算及含义，随机变量的分布列和数学期望，属于中档题. 22．（1）分布列见解析，10()3
E X =；（2）
80
2187. 【分析】
（1）先根据已知条件分析出X 服从二项分布，再利用二项分布概率计算公式求出相应概率，即可求出其分布列与数学期望；
（2）先分析出乙同学7:10之前到校的天数Y 也服从二项分布，再根据互斥事件与相互独立事件的概率计算公式求概率即可. 【详解】
（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7:10之前到校的概率为
2
3
， 所以2(5,)3
X
B ，
从而5521()()()3
3
k k k
P X k C -==，0,1,2,3k =，
所以，随机变量X 的分布列为：
所以()533
E X =⨯
=； （2）设乙同学上学期间的五天中7:10之前到校的天数为Y ，则2(5,)3
Y B ，
且事件{}
{}{}3,04,15,2M X Y X Y X Y =======，
由题意知，事件{}{}{}3,0,4,1,5,2X Y X Y X Y ======之间互斥，
且X 与Y 相互独立， 由（1）可得8018010324080
()2432432432432432432187
P M =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
该题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 23．（1）3132
；（2）320．
【分析】
（1）至少1次击中目标的对立事件是5次都未击中目标，由对立事件概率公式计算可得； （2）甲恰好比乙多击中目标2次分为两个互斥事件：甲击中2次乙击中0次，甲击中3次乙击中1次，由此可计算出概率． 【详解】
（1）甲射击5次，1次都未击中的概率为5
111232
⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴甲至少1次未击中目标的概
率为13113232
P =-
=； （2）各射击3次，甲击中2次乙击中0次的概率是2
3
213212121335125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，甲击中3次乙击中1次的概率为3
2
1
23122271255500P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭， ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为1227312550020
+=． 【点睛】
本题考查n 次独立重复试验的概率计算公式，考查互斥事件的概率公式，解题关键是把一个事件拆成两个互斥事件的和．
24．（1）1
2；（2）分布列见解析；期望为1720；（3）32
. 【分析】
（1）根据独立事件的概率公式计算，至少有两个被堵塞含两个被堵塞和三个被堵塞两种情形，分别计算相加可得；
（2）X 的所有可能取值为0，1，2.，分别计算其概率得分布列，由期望公式得期望； （3）Y 的所有可能取值为0，1，2，3，计算出各概率，然后由期望公式计算期望． 【详解】
解：（1）据题设知，所求概率2
1
3
233311112222p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
2
=
. （2）X 的所有可能取值为0，1，2.
133
(0)114510P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
131311
(1)11454520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
133(2)4520
P X ==
⨯=， 所以随机变量X 的分布列为
所以()01210202020
E X =⨯
+⨯+⨯=. （3）Y 的所有可能取值为0，1，2，3.
3
03111(0)228P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2
1
3113(1)228P Y C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，
2
23
113
(2)228
P Y C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，
30
33
111
(3)228
P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以13313()012388882
E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查相互独立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列数学期望，考查了学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题． 25．（1）9
20
；（2）见解析，121.5万元． 【分析】
（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A ，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得P （A ）；
（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有﹣90，50，80，220．利用相互独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率，列出分布列，算出期望即可. 【详解】
解：（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A ，则 P （A ）＝（134-
）33
54⨯+⨯（135
）9
20=；
（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有﹣90，50，80，220． 由独立试验的概率计算公式可得，P （ξ＝0）＝（13
4
-）（135
）110=，
P （ξ＝50）333
14520
⎛
⎫=-⨯=
⎪⎝⎭， P （ξ＝80）33314510⎛⎫=
⨯-= ⎪⎝⎭， P （ξ＝220）3394520
=
⨯=， ∴ξ的分布列如下：
则数学期望E （ξ）9010=-⨯+50802010⨯+⨯+22020
⨯=121.5万元． 【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列与均值的计算，考查了学生的运算求解能力. 26．（1）6
25
；（2）分布列见解析，360 【分析】
（1）先根据直方图得到抽取一件A 和一件B 型轮胎为优质品的概率，再根据互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得结果；
（2）据题意知，X 的可能取值为400-，0，200，400，600，800.根据概率公式求出X 的各个取值的概率，再写出分布列，根据数学期望公式求出数学期望即可. 【详解】
（1）由直方图可知，从A 型号轮胎中随机抽取一件产品为优质品的概率
()10.40.12
P A =+=
， 从B 型轮胎中随机抽取一件产品为优质品的概率()20.30.15
P B =+=
， 所以从A ，B 两种型号轮胎中各随机抽取2件产品，其中至少有3件是优质品的概率
222
2
2112222222221231121262552252525
P C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⨯⨯+⨯⨯⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）据题意知，X 的可能取值为400-，0，200，400，600，800.
所以()2
2
23940010100
P X C ⎛⎫=-=⋅= ⎪⎝⎭，()12
313010525P X C ==⨯⨯=， ()12
31320010210P X C ==⨯⨯=，()2
2211400525
P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，
()12
111600525P X C ==⨯⨯=，()2
221180024
P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭， 那么X 的分布列为
则数学期望()11
400020040060080036010025102554
E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查了根据直方图求概率，考查了互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式，考查了求离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.。