高中数学第一单元基本初等函数(Ⅱ)1.2.1三角函数的定义学案新人教B版必修4(2021学年)

２０17-2０１８学年高中数学第一单元基本初等函数（Ⅱ)1.2.１三角函数的定义学案新人教B版必修4
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1．2.1 三角函数的定义
学习目标１.理解任意角的三角函数的定义。

2。

掌握三角函数在各个象限的符号。

３．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域。

知识点一任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点Ｏ重合，始边与x轴的非负半轴重合,在终边上任取一点Ｐ,作ＰM⊥x 轴于M，设P(x，y）,｜OP|=ｒ。

思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
思考２对确定的锐角α,sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变?
梳理如图，设P(x，y）是α终边上不同于坐标原点的任意一点,设OP＝ｒ（r≠0)。

(1)定义
错误!叫做角α的_＿____，记作____＿_,即cos α=错误!;
＼ｆ(y，r)叫做角α的__＿＿____，记作＿_____＿_,即sin α=错误!；
错误!叫做角α的＿_＿＿____，记作__＿＿____,即tan α=错误!.
依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应;当α≠2kπ±错误!（ｋ∈Ｚ)时，它有唯一的正切值与之对应.因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数．
(2)有时我们还用到下面三个函数
角α的正割：ｓeｃα＝______＿_=错误!;
角α的余割:csc α=________＝错误!;
角α的余切:cot α=＿__＿＿＿＿_=错误!。

这就是说，sec α,csc α，ｃｏt α分别是α的余弦、正弦和正切的倒数。

由上述定义可知,当α的终边在ｙ轴上，即α=kπ±错误!(ｋ∈Z）时，ｔan α，sｅｃα没有意义;当α的终边在x轴上,即α=kπ(k∈Ｚ)时,cot α,cｓc α没有意义。

知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域
思考对于任意角α,sin α,cos α，tan α都有意义吗？
梳理三角函数的定义域
知识点三正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考根据三角函数的定义,你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗?
梳理三角函数值在各象限内的符号,如图所示。

记忆口诀:一全正，二正弦，三正切,四余弦．
类型一三角函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值
例1 已知θ终边上一点Ｐ（ｘ,3）(x≠０）,且cos θ＝＼f(＼r(1０)，１0)x，求ｓin θ，ｔan θ.
反思与感悟(１)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.
②在α的终边上任选一点Ｐ（ｘ,ｙ),设P到原点的距离为r(r＞0）,则ｓin α=错误!，cos α＝＼f（x,r)。

当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便.
（2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。

跟踪训练１已知角α的终边过点P(－3a，4ａ）（a≠0),求2sin α+coｓα的值。

命题角度２已知角α的终边所在直线求三角函数值
例2 已知角α的终边落在直线错误!ｘ＋y＝0上,求sin α,coｓα，ｔan α,sｅｃα,csc α,cot α的值。

反思与感悟在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a,b),则对应角的三角函数值分别为sin α＝错误!,cｏs α＝错误!，tan α＝错误!。

跟踪训练2 已知角α的终边在直线y＝错误!x上，求sｉn α，cos α,tan α的值。

类型二三角函数值符号的判断
例3 (1)确定下列各三角函数值的符号.
①ｓin 182°；②coｓ(-４3°）；③taｎ错误!.
(2)若α是第二象限角，则点P(sin α,cｏｓα)在( )
Ａ.第一象限ﻩ B.第二象限
C.第三象限D。

第四象限
反思与感悟角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定,解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号,记忆口诀:一全正,二正弦，三正切,四
余弦。

跟踪训练3 (１)判断下列各式的符号。

①ｓin 1４５°coｓ（－２１0°)；②sin3·ｃos 4·taｎ 5.
(2)已知点Ｐ(taｎα，cos α）在第三象限，则α是第＿_______象限角。

类型三三角函数的定义域
例4 求下列函数的定义域.
(１)ｙ=错误!;
(２）y=＼r(－cos x）＋错误!。

反思与感悟求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种:(1)分母不为零.（2）偶次根号下大于等于零。

（3)在真数位置时大于零.(4)在底数位置时大于零且不等于１．
跟踪训练4 求函数ｆ(x)=错误!的定义域．
1。

已知角α的终边经过点（－４,3），则ｃos α等于（）
A。

错误!Ｂ.错误!Ｃ.－错误! D.-错误!
2。

已知|ｃos θ｜=coｓθ，|taｎθ｜=－tan θ，则错误!的终边在( )
A．第二、四象限
B.第一、三象限
Ｃ．第一、三象限或ｘ轴上
Ｄ。

第二、四象限或ｘ轴上
３.若点P（3,y）是角α终边上的一点,且满足ｙ<０，coｓα＝错误!，则tａn α等于（）A.-错误! B。

错误! C。

错误!D．－错误!
4。

当α为第二象限角时，错误!－错误!的值是( )
A。

1 Ｂ。

０ C.2 D.－2
５.已知角α的终边上有一点Ｐ(24ｋ,7k)，k≠0，求sｉn α,cos α，tan α的值.
1。

三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点Ｐ(x，y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置确定。

即三角函数值的大小只与角有关。

2。

要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取。

3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值．
ﻬ答案精析
问题导学
知识点一
思考1 sin α=错误!，cos α＝错误!，tａn α=错误!。

思考2 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P（ｘ，y）在终边上的位置无关,只与角
α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
梳理（１)余弦cos α正弦siｎα正切 tan α(２）错误!错误!错误!
知识点二
思考由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α,coｓα都有意义，而当角α的终边在y轴上时,任取一点P，其横坐标x都为0,此时错误!无意义，故tan α无意义.
知识点三
思考三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号,取决于x,ｙ的符号．
(1)sｉn α=错误!（r>0）,因此sｉn α的符号与y的符号相同,当α的终边在第一、二象限时,siｎα>0；当α的终边在第三、四象限时，siｎα<0.
(2)coｓα=ｘ
r
(ｒ〉０），因此cos α的符号与x的符号相同,当α的终边在第一、四象限
时，cos α〉0;当α的终边在第二、三象限时，ｃos α<0。

（3)tａn α=错误!，因此tａn α的符号由x、y确定,当α终边在第一、三象限时，xｙ＞０，tan α〉0;当α终边在第二、四象限时，
xｙ〈0,taｎα〈0.
题型探究
例１解由题意知r=｜OP｜=＼r（x２＋9）,
由三角函数定义得
cos θ＝错误!=错误!。

又∵cos θ=错误!ｘ，∴错误!=错误!x.
∵ｘ≠０，∴x＝±１。

当ｘ=1时,P(１,3），
此时ｓin θ＝错误!＝错误!,
ｔan θ＝＼f(3，1)=3。

当x=-1时,P（－1,3）,
此时sｉn θ＝错误!＝错误!，
ｔan θ＝错误!＝-3.
跟踪训练1 2ｓｉｎα＋cos α=±1.
例2 解设角α的终边上任一点为P（k,-错误!k)(k≠0)，则x＝k，y＝－错误!k,
r=错误!＝２|k|。

（1)当k＞0时,r=2k，α是第四象限角,
sin α=错误!＝错误!=-错误!，coｓα=错误!=错误!=错误!,
ｔan α＝错误!＝错误!＝-错误!,ｓｅｃα=错误!=2，
cｓｃα=
1
siｎα
=－
２＼r(３)
3
,
cot α=错误!＝－错误!.
（2)当k＜0时，r=－２k，α是第二象限角, sin α=错误!=错误!＝错误!,
cos α＝＼f（x,ｒ)＝
k
－2k
=-错误!,
tan α=错误!＝错误!=-错误!,
sｅc α=错误!＝-2，
csc α=错误!=错误!,
cot α=错误!＝－错误!.
跟踪训练2 解因为角α的终边在直线y＝错误!x上,所以可设P（ａ，错误!a）(ａ≠０)为角α终边上任意一点，
则ｒ＝＼r(a2＋＼r(3)a2)=２｜ａ｜（ａ≠０).
若ａ〉0,则α为第一象限角，ｒ=2a，
所以sin α=错误!=错误!,
cos α=
a
2ａ
=错误!，tan α=错误!=错误!.
若ａ<０，则α为第三象限角，r＝－２a,
所以sin α=＼ｒ(3)a
-２a
＝－
3
２
，
coｓα=－
a
２a
=－＼f(1,２)，ｔaｎα＝错误!=错误!.
例３（1）解①∵18２°是第三象限角,∴sｉn 182°是负的,符号是“－”．
②∵-43°是第四象限角,
∴cｏｓ(－43°)是正的,符号是“＋”.
③∵错误!是第四象限角,
∴tａn ７π
4
是负的，符号是“-＂.
(２)D
跟踪训练３（1）①siｎ145°cｏs(－2１0°）＜0. ②ｓｉｎ3·cｏｓ4·tａn 5＞0。

(２)二
学案导学与随堂笔记答案精析例４ (１）错误!
(2)错误!
跟踪训练4 错误!
当堂训练
１.Ｄ2。

D 3。

Ｄ 4.C
5．sin α=y
r
=-
７
25
,ｃos α=错误!＝-错误!，
ｔan α＝错误!=错误!.
以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

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