内蒙古巴彦淖尔一中2015-2016学年高二下学期4月月考数

2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高二（下）4月月考数学试
卷（文科）（普通班）
一、选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项只有一项正确.
1．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）
A．B．C．D．
2．曲线（θ为参数）的焦距是（）
A．3 B．6 C．8 D．10
3．在方程（θ为参数且θ∈R）表示的曲线上的一个点的坐标是（）
A．（2，﹣7）B．（1，0）C．（，）D．（，）
4．以下的极坐标方程表示直线的是（）
A．ρ=2acosθ（a＞0）B．ρ=9（cosθ+sinθ）
C．ρ=3 D．2ρcosθ+3ρsinθ=1
5．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（）
A．2x﹣y+4=0 B．2x+y﹣4=0
C．2x﹣y+4=0，x∈[2，3] D．2x+y﹣4=0，x∈[2，3]
6．在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为（）
A．ρcosθ=2 B．ρsinθ=2 C．ρ=4sin（θ+）D．ρ=4sin（θ﹣）
7．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）
A．a2+b2＞2ab B．C． D．
8．不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）
9．设点P在曲线ρsinθ=2上，点Q在曲线（θ为参数）上，求|PQ|的最小值
（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．直线，（t为参数）上与点P（3，4）的距离等于的点的坐标是（）A．（4，3）B．（﹣4，5）或（0，1）C．（2，5）D．（4，3）或（2，5）
11．直线（t为参数）被曲线x2﹣y2=1截得的弦长是（）
A．B．2C． D．2
12．已知f（x）=|x﹣1|+|x+m|（m∈R），g（x）=2x﹣1，若m＞﹣1，x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣1，﹣]B．（﹣1，﹣）C．（﹣∞，﹣]D．（﹣1，+∞）
二、填空题（5分×4=20分）
13．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ（cosθ+sinθ）=1与ρ（sinθ﹣cosθ）=1的交点的极坐标为．
14．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，应假设．
15．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=．
16．已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=6．点P在曲线C 上，则点P到直线l的距离的最小值为．
三、解答题
17．已知圆，直线l：
（Ⅰ）求圆C的普通方程．若以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C的极坐标方程．
（II）判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；若相交，请求出弦长．
18．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原
点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．
19．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线
C上的点按坐标变换得到曲线C′．
（1）求曲线C′的普通方程；
（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．
20．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C
的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
21．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＜a的解集为R，求参数a的取值范围．
22．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高二（下）4月月考
数学试卷（文科）（普通班）
参考答案与试题解析
一、选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项只有一项正确.
1．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）
A．B．C．D．
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．
【分析】根据点的直角坐标求出ρ，再由2=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得θ，从而求得点P的极坐标．
【解答】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．
再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，
即点P的极坐标为（2，），
故选C．
2．曲线（θ为参数）的焦距是（）
A．3 B．6 C．8 D．10
【考点】椭圆的参数方程．
【分析】根据同角三角函数关系消去参数，即可求出曲线的普通方程，从而可得焦距．
【解答】解：曲线（θ为参数），消去参数可得，
∴a=5，b=4，
∴c=3，
∴焦距2c=6．
故选：B．
3．在方程（θ为参数且θ∈R）表示的曲线上的一个点的坐标是（）
A．（2，﹣7）B．（1，0）C．（，）D．（，）
【考点】抛物线的参数方程．
【分析】先利用二倍角公式将参数方程化成普通方程，再将选项中点逐一代入验证即可．【解答】解：cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2x2=y
∴方程（θ为参数且θ∈R）表示x2=（1﹣y）
将点代入验证得C适合方程，
故选C
4．以下的极坐标方程表示直线的是（）
A．ρ=2acosθ（a＞0）B．ρ=9（cosθ+sinθ）
C．ρ=3 D．2ρcosθ+3ρsinθ=1
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ把四个选项逐一化为直角坐标方程得答案．
【解答】解：由ρ=2acosθ（a＞0），得ρ2=2aρcosθ（a＞0），即x2+y2﹣2ax=0（a＞0），表示圆；
由ρ=9（cosθ+sinθ），得ρ2=9ρcosθ+9ρsinθ，即x2+y2﹣9x﹣9y=0，表示圆；
由ρ=3，得ρ2=9，即x2+y2=9，表示圆；
由2ρcosθ+3ρsinθ=1，得2x+3y=1，表示直线．
故选：D．
5．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（）
A．2x﹣y+4=0 B．2x+y﹣4=0
C．2x﹣y+4=0，x∈[2，3] D．2x+y﹣4=0，x∈[2，3]
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】由于cos2θ=1﹣2sin2θ，由已知条件求出cos2θ和sin2θ代入化简可得结果．
【解答】解：由条件可得cos2θ=y+1=1﹣2sin2θ=1﹣2（x﹣2），
化简可得2x+y﹣4=0，x∈[2，3]，
故选D．
6．在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为（）
A．ρcosθ=2 B．ρsinθ=2 C．ρ=4sin（θ+）D．ρ=4sin（θ﹣）
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】本选择题利用直接法求解，把极坐标转化为直角坐标．即利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，极坐标方程转化为直角坐标方程后进行判断即可．
【解答】解：ρ=4sinθ的普通方程为：
x2+（y﹣2）2=4，
选项A的ρcosθ=2的普通方程为x=2．
圆x2+（y﹣2）2=4与直线x=2显然相切．
故选A．
7．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）
A．a2+b2＞2ab B．C． D．
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b ∈R．
【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错
对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错
∵ab＞0
∴
故选：D
8．不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．
【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．
故选D．
9．设点P在曲线ρsinθ=2上，点Q在曲线（θ为参数）上，求|PQ|的最小值
（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】求出P与Q的轨迹的普通方程，利用几何意义求解即可．
【解答】解：点P在曲线ρsinθ=2上，P满足的普通方程为：y=2．表示平行x轴的直线．
点Q在曲线（θ为参数）上，Q满足的普通方程为：（x﹣1）2+y2=1，
表示以（1，0）为圆心，半径为1的圆．
|PQ|的最小值：2﹣1=1．
故选：A．
10．直线，（t为参数）上与点P（3，4）的距离等于的点的坐标是（）
A．（4，3）B．（﹣4，5）或（0，1）C．（2，5）D．（4，3）或（2，5）
【考点】两点间的距离公式．
【分析】直接利用两点间距离公式求解即可．
【解答】解：直线，（t为参数）上与点P（3，4）的距离等于，
可得=，
即：，
解得t=±1．
所求点的坐标为：（4，3）或（2，5）．
故选：D．
11．直线（t为参数）被曲线x2﹣y2=1截得的弦长是（）
A．B．2C． D．2
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】将直线的参数方程，代入曲线x2﹣y2=1，利用参数的几何意义，即可求弦长．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），代入x2﹣y2=1，可得t2﹣4t﹣6=0，设方程的根为t1，t2，∴t1+t2=4，t1t2=﹣6，
∴曲线C被直线l截得的弦长为|t1﹣t2|==2．
故选：D．
12．已知f（x）=|x﹣1|+|x+m|（m∈R），g（x）=2x﹣1，若m＞﹣1，x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣1，﹣]B．（﹣1，﹣）C．（﹣∞，﹣]D．（﹣1，+∞）
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】依题意，x∈[﹣m，1]时，f（x）=1﹣x+x+m=1+m；又x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，问题转化为1+m＜g（x）min=﹣2m﹣1恒成立，从而可得答案．
【解答】解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+m|，
∴当m＞﹣1，x∈[﹣m，1]时，f（x）=1﹣x+x+m=1+m；
又g（x）=2x﹣1，x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，
即1+m＜2x﹣1（x∈[﹣m，1]）恒成立，
又当x∈[﹣m，1]时，g（x）min=﹣2m﹣1，
∴1+m＜﹣2m﹣1，
解得：m＜﹣，又m＞﹣1，
∴﹣1＜m＜﹣．
故选：B．
二、填空题（5分×4=20分）
13．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ（cosθ+sinθ）=1与ρ（sinθ﹣cosθ）=1的
交点的极坐标为．
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．
【分析】将原方程左式展开后利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，化成直角坐标方程，最后在直角坐标系中算出交点的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标即可．
【解答】解：∵p（cosθ+sinθ）=1，
∴x+y=1，①
∵p（sinθ﹣cosθ）=1，
∴y﹣x=1，②
解①②组成的方程组得交点的直角坐标
（0，1）
∴交点的极坐标为．
故填：．
14．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，应假设三角形中三个内角都小于60°．
【考点】不等式．
【分析】找到“三角形的内角中至少有一个不小于60°”的对立事件，由此能求出结果．
【解答】解：∵“三角形的内角中至少有一个不小于60°”的对立事件是：
“三角形中三个内角都小于60°”
∴反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，
应假设三角形中三个内角都小于60°．
故答案为：三角形中三个内角都小于60°．
15．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=﹣3．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】分a=0、a＞0、a＜0三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再把求得的解集和所给的解集作对比，从而求得a的值，综合可得结论．
【解答】解：显然，a=0时，条件|ax﹣2|＜3恒成立，不满足解集为{x|﹣＜x＜}．
当a＞0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得﹣＜x＜，
再根据的解集为{x|﹣＜x＜}，∴，a无解．
当a＜0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得＜x＜﹣，
再根据的解集为{x|﹣＜x＜}，∴，解得a=﹣3，
故答案为：﹣3．
16．已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参
数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=6．点P在曲线C
上，则点P到直线l的距离的最小值为5．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】把参数方程、极坐标化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再把此距离减去半径，即得所求．
【解答】解：把曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数，化为直角坐标方
程为x2+y2=1，
表示以原点为圆心、半径等于1的圆．
直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=6，化为直角坐标方程为x+y﹣12=0，
求得圆心到直线的距离为d==6，故点P到直线l的距离的最小值为6﹣1=5，故答案为：5．
三、解答题
17．已知圆，直线l：
（Ⅰ）求圆C的普通方程．若以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C的极坐标方程．
（II）判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；若相交，请求出弦长．
【考点】圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【分析】（Ⅰ）消去θ，得出圆C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4，再化为极坐标方程即可．
（II）直线l的参数方程，消去t得普通方程为3x﹣4y﹣6=0．利用直线和圆的位
置关系判断并求解．
【解答】解：（Ⅰ）圆即为
①2+②2，消去θ，得出圆C的普通方程为
（x﹣2）2+y2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
（ρcosθ﹣2）2+ρ2sinθ=4
化简整理得
ρ=4cosθ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（II）直线和圆相交．
直线l：消去t得普通方程为3x﹣4y﹣6=0．
解法一：由于直线l过圆心（2，0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以直线与圆相交﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
弦长为4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解法二：l：3x﹣4y﹣6=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
圆心到直线的距离，所以直线与圆相交﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣
由于直线l过圆心（2，0），所以弦长为4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
18．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原
点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角
为，故直线l的参数方程为（t为参数0．
（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，
可得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|．
【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，
由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ．
∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程；
点M的直角坐标为（0，1），
直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即
（t为参数）．
（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得
，即，
，
设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，
又直线l经过点M，故由t的几何意义得
点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|=2．
19．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线
C上的点按坐标变换得到曲线C′．
（1）求曲线C′的普通方程；
（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用坐标转移，代入参数方程，消去参数即可求曲线C′的普通方程；
（2）设P（x，y），A（x0，y0），点A在曲线C′上，点B（3，0），点A在曲线C′上，列出方程组，即可求AB中点P的轨迹方程．
【解答】解：（1）将代入，得C'的参数方程为
∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1．…
（2）设P（x，y），A（x0，y0），又B（3，0），且AB中点为P
所以有：
又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得（2x﹣3）2+（2y）2=1
∴动点P的轨迹方程为．…
20．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C
的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．
（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．
【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C
的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．
可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．
（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．
故D的直角坐标为，即（，）．
21．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＜a的解集为R，求参数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出x的范围取并集即可；（2）求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（1）当时，f（x）=3x≥2，得到，
当时，f（x）=2﹣x≥2，得到﹣1≤x≤0，
当x＜﹣1时，f（x）=﹣3x≥2，得到x＜﹣1，
综上，不等式解集为…
（2）由题意知，f（x）≥a对一切实数x恒成立，
当时，，
当时，，
当x＜﹣1时，f（x）=﹣3x＞3．
综上，．故…
22．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．
（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．
当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（，）．
2016年11月4日。