【北师大版】七年级下册：4.3《探索三角形全等的条件》名师导学ppt课件

(2) “SAS”的应用：说明分别属于两个三角形中的 角相等或线段相等常通过证明两个三角形全等来解决.
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【例2】如图4－3－8，E，F是四边形ABCD的对角 线BD上的两点，AE∥CF，AE＝CF，DF＝BE. 试说 明△ADE≌△CBF.
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解析 利用平行线的性质得出∠AED＝∠CFB，由DF ＝BE，根据等式的性质得出DE＝BF，利用“SAS”即 得出结论.
解：△ABC与△DEF全等. 因为AB∥DF，所以∠B＝∠CPD， ∠A＝∠FDE. 因为∠E＝∠CPD， 所以∠E＝∠B. 在△ABC和△DEF中，∠E＝∠B，ED＝BA， ∠A＝∠FDE， 所以△ABC≌△DEF (ASA). 21
新知4 三角形全等的条件—— “角角边” (AAS)及其应用
(1) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角 形全等(简写成“角角边”或“AAS”).
＝∠E,BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F
；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( C )
A. 1组
B. 2组
C. 3组 D. 4组
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6. (3分)如图KT4－3－5，已知AD是△ABC的BC边上
的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( A )
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【例1】如图4－3－4，OA＝OB，AC＝BC.
那么∠AOC＝∠BOC，说明你的理由.
解：在△AOC和△BOC中，
OA＝ ，AC＝ ，
OC＝ ，
所以 ≌ (SSS).
所以∠AOC＝∠BOC (
).
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解析 根据已知条件和隐含条件OC为公共边易得 △AOC≌△BOC，即可得∠AOC＝∠BOC.
答案 OB BC OC △AOC △BOC 全等三角形的对应角相等
解：因为∠BAD＝∠CAE， 所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋ ∠DAC，即∠BAC＝∠DAE. 在△ABC和△ADE中，AB＝AD， ∠BAC＝∠DAE，AC＝AE， 所以△ABC≌△ADE. 所以BC＝DE.
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2. 如图4－3－10，△ABC与△CDE均是等腰直角三 角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，E在AB上，连接BD. 请找出一对全等三角形，并说明理由.
DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，
若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列四个结论
：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF
，其中正确的结论共有( A )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
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5. (3分)如图KT4－3－4，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B
所以∠CFD＝∠B，
因为∠CFD＝∠AFE，所以∠AFE＝∠B
在△AEF与△CEB中，
∠AFE＝∠B，∠AEF＝∠CEB，AE＝CE，
所以△AEF≌△CEB(AAS)；
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(2)AF＝2CD. 解：因为AB＝AC，AD⊥BC， 所以BC＝2CD， 因为△AEF≌△CEB， 所以AF＝BC，所以AF＝2CD.
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2. 下列例子应用了三角形的稳定性的有( D ) ①自行车的三角车架；②长方形门框的斜拉条；③照 相机的三脚架；④塔吊上部的三角形结构. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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2. (3分)如图KT4－3－1，AB＝AC，AD＝AE，BE
，CD交于点O，则图中全等三角形共有( B )
解析 本题是三角形的稳定 性在生活中的具体应用， 实际生活中将多边形转化为 三角形都是为了利用三角形 的稳定性. 解 三角形具有稳定性.
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举一反三 1.如图4－3－21，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其 固定，这里所运用的几何原理是( B )
A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 四边形的不稳定性
(1) 如果两个三角形的两角和它们的夹边对应相等， 那么这两个三角形全等 (简写成“角边角”或 “ASA”).ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) “ASA”的应用：在说明两个三角形中的角相 等或线段相等时常通过三角形全等来解决.
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【例3】如图4－3－12，AB∥CD，AF∥DE，BE＝ CF. AB与CD相等吗？为什么？
解析 由已知AB∥CD可知∠B ＝∠C，由AF∥DE可知∠AFB ＝∠DEC，由BE＝CF可得BF ＝CE，由“ASA”即可说明两 个三角形全等.
解：△ABC≌△AED. 因为BD＝CE，所以BD－CD ＝CE－CD，所以BC＝ED. 在△ABC和△AED中，AB＝ AE，AC＝AD，BC＝ED， 所以△ABC≌△AED.
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新知2 三角形全等的条件—— “边角边” (SAS)及其应用
(1) 如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等， 那么这两个三角形全等(简写“边角边”或“SAS”).
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解：△AOB与△COD全等. 因为∠AOD＝∠BOC， 所以∠AOD＋∠DOB＝∠BOC＋∠BOD. 即∠AOB＝∠COD， 因为O是AC的中点，所以AO＝CO. 在△AOB与△COD中， ∠A＝∠C，AO＝CO，∠AOB＝∠COD， 所以△AOB≌△COD.
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3. 已知：如图4－3－15，点E，C，D，A在同一条直 线上，AB∥DF，ED＝AB，∠E＝∠CPD. △ABC与 △DEF全等吗？请说明理由.
理由. 解：∠A与∠D相等.
因为BE＝CF，
所以BE＋EC＝CF＋EC，
即 BC＝EF.
在△ABC与△DEF中，
AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，
所以△ABC≌△DEF (SSS). 所以∠A＝∠D.
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3. 如图4－3－7，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE， △ABC≌△AED吗？试说明理由.
(2) “AAS”的应用：说明角相等或线段相等.
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【例4】如图4－3－16，点E，F在BC上，BE＝ CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C. 那么AB与DC相等吗？ 为什么？
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解析 利用全等三角形的条件——“AAS”可得
△ABF≌△DCE；然后由全等三角形的对应边相等可
得AB＝DC.
解 AB与DC相等.
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8. (6分)如图KT4－3－7，AB∥CD，AB＝CD，点B ，E，F，D在一条直线上，∠BAE＝∠DCF.
(1) △ABE和△CDF全等吗？为什么？
解：(1)△ABE和△CDF全等. 因为AB∥CD， 所以∠ABE＝∠CDF. 在△ABE和△CDF中， ∠BAE＝∠DCF，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF， 所以△ABE≌△CDF；
A. AB＝AC
B. ∠BAC＝90°
C. BD＝AC
D. ∠B＝45°
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7. (6分)如图KT4－3－6，△ABC中，AB＝AC，
AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.请说明：
(1)△AEF≌△CEB；
解：(1)因为AD⊥BC，CE⊥AB，
所以∠BCE＋∠CFD＝90°，
∠BCE＋∠B＝90°，
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举一反三 1. 如图4－3－5，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，
AC＝DB，试说明：△ABC≌△DCB的理由.
解：在△ABC和△DCB中，AB＝DC，BC＝CB， AC＝DB，所以△ABC≌△DCB (SSS).
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2. 如图4－3－6，点B，E，C，F在一条直线上，AB
＝DE，AC＝DF，BE＝CF. ∠A与∠D相等吗？请说明
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解：△ACE≌△BCD，理由如下： 因为△ABC与△CDE都是等腰直角三角形， 所以∠ECD＝∠ACB＝90°. 因为∠ACE＋∠BCE＝90°， ∠BCD＋∠BCE＝90°， 所以∠ACE＝∠BCD. 在△ACE和△BCD中，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD， CA＝CB， 所以△ACE≌△BCD (SAS).
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3. 如图4－3－11，AC与BD相交于点O，AO＝DO， ∠1＝∠2，试说明△ABC≌△DCB的理由.
解：因为∠1＝∠2， 所以OB＝OC. 因为AO＝DO， 所以AC＝BD. 在△ABC和△DCB中， AC＝DB，∠1＝∠2，BC＝CB， 所以△ABC≌△DCB (SAS).
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新知3 三角形全等的条件—— “角边角” (ASA)及其应用
1. 如图4－3－13，∠1＝∠2，∠ABC＝∠DCB. AC与 DB相等吗？试说明理由. 解：AC与DB相等. 在△ABC和△DCB中， 因为∠2＝∠1，BC为公共边， ∠ABC＝∠DCB， 所以 △ABC≌△DCB (ASA)， 所以 AC＝DB.
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2. 已知：如图4－3－14，∠AOD＝∠BOC，∠A＝ ∠C，O是AC的中点. △AOB与△COD全等吗？为什么？
所以△ABE≌△ACD (AAS). 所以AB＝AC.
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2. 已知AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，请添加一个条
件： ∠C＝∠E(条件不唯一) ，使△ABC≌△ADE，
并说明理由.
理由：因为∠BAD＝∠CAE，
所以∠BAD＋∠CAD＝
∠CAE＋∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC与△ADE中，
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
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新知1 三角形全等的条件— “边边边” (SSS)及其应用
(1) 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这 两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).
(2) “SSS”的应用：说明两个三角形中的角相等或线 平行等，常通过证明两个三角形全等来解决.
注意：应用“SSS”时，当图中有两组对应边而无对 应角时，常在图中找第三边或构造第三边，达到应用 “SSS”的目的.
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解 AB与CD相等. 因为AB∥CD，所以∠B＝∠C. 因为AF∥DE，所以∠AFB＝∠DEC. 又因为BE＝CF，
所以BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中， ∠B＝∠C，BF＝CE，∠AFB＝∠DEC， 所以△ABF≌△DCE (ASA). 所以AB＝CD.
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举一反三
解 因为AE∥CF，所以∠AED＝∠CFB. 因为DF＝BE， 所以DF＋EF＝BE＋EF，即DE＝BF. 在△ADE和△CBF中， AE＝CF，∠AED＝∠CFB，DE＝BF， 所以△ADE≌△CBF (SAS).
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举一反三
1. 如图4－3－9所示，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD ＝∠CAE，试说明BC＝DE.
因为点E，F在BC上，BE＝CF，
所以BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
因为∠A＝∠D，∠B＝∠C，BF＝CE，
所以△ABF≌△DCE (AAS).
所以AB＝DC (全等三角形的对应边相等).
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举一反三 1. 如图4－3－17，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于
点E，CD，BE交于点F，且BD＝CE，问：AB与AC具 有什么关系？并说明判断的理由.
又因为∠E＝∠B，所以∠E＝∠C. 在△ADE和△ADC中， ∠E＝∠C，∠ADE＝∠ADC，AD＝AD， 所以△ADE≌△ADC (AAS)
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新知5 三角形的稳定性
由于一个三角形的三边的长度确定了，那么这个三角 形的形状和大小就确定了，故三角形具有稳定性，这 是三角形所特有的性质.
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【例5】如图4－3－20，木工师傅在做完门框后，为 防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条 (即 AB，CD)，这样做的数学道理是什么？
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解：AB＝AC.
理由如下：因为CD⊥AB，BE⊥AC，
所以∠CEF＝∠BDF＝90°.
又因为∠1＝∠2，CE＝BD，
所以△CEF≌△BDF (AAS).
所以CF＝BF，EF＝DF.
所以CF＋FD＝BF＋FE，即CD＝BE.
在△ABE和△ACD中，
∠A＝∠A，∠BEA＝∠CDA＝90°，BE＝CD，
A. 四对
B. 三对
C. 两对
D. 一对
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3. (3分)如图KT4－3－2，已知AB，CD相交于O点，
△AOC≌△BOD，E，F分别在OA，OB上，要使
△EOC≌△FOD，添加的一个条件不可以是( A )
A. CE＝DF
B. ∠CEA＝∠DFB
C. ∠OCE＝∠ODF D. OE＝OF
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4. (3分)如图KT4－3－3，AD是△ABC的角平分线，
∠C＝∠E，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
所以△ABC≌△ADE (AAS).
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3. 已知：如图4－3－19，在△ABC中，AB＝AC，D 为BC上的一点，DA平分∠EDC，且∠E＝∠B. 说明 △ADE≌△ADC的理由.
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解：因为DA平分∠EDC，所以∠ADE＝∠ADC.
因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.