jiang灰色预测模型

(1) x 26,55,86,119,153 累加生成数列为：
y x

0
ห้องสมุดไป่ตู้
2 , x 3 ,..., x n
0 0
T
29,31,33,34
1 1 1 1
T
1 2 26 55 1 55 86 B 2 1 86 119 2 1 119 153 2
2
33 30.6 34 30.6 ] 8.24
2 2
1 2 2 2 S [ 0 0.006 0.27 0.006 0.13 0.006 5
2 1
0.44 0.006 0.33 0.006 ] 0.078424
0.70
0.65
应用实例
例 1: 某矿某年 3-7 月份的轻伤事故情况如下表所 示
月份 轻伤 人次 3 26 4 29 5 31 6 33 7 34
1.试建立Gm(1,1)模型， 2.并对Gm(1,1)模型进行检验， 3.若模型检验为合格以上，预测该矿8月份 轻伤人数。
应用实例
该例中，原始数据列为： x(0) 26, 29,31,33,34
(0)
(i ) 的均方差： S0
n
(0) (0) ( i ) i2 n 2
，x
(0)
1 n (0) x (i ) ； n i 1 1 n (0) (i) ； n-1 i 2
然后计算残差序列 再计算方差比 c
(0)
(i) 的均方差： S1
ˆ (0) (i ) x (0) (i ) x 相对误差： (i ) ， k 1, 2,..., n . (0) x (i )
(0)
相对误差越小，模型精度越高.
(2) 后验差检验：
(0) (0) x ( i ) x i 1 n 2
首先计算原始序列 x
参数 估计
对等间隔取样的离散值 (注意到 t0 1）则为
u ak u ˆ (k 1) [ x (1) ]e . x a a
(1) (0)
(4)
通过最小二乘法来估计常数a与u.
(1) (1) 1 [ x (2) x (1)] 1 2 1 (1) (1) 2 [ x (3) x (2)] 1 B , M 1 (1) (1) 2 [ x (n) x (n 1)] 1
y = [x (2), x (3), L , x (n )]
(0)
(0)
(0)
T
a U ( BT B)1 BT y u
把估计值 代入（4）式方程
(1) (0)
当k 1, 2,
u ak u (5) ˆ (k 1) [ x (1) ]e . x a a ˆ (1) (k 1) 是 x (1) 的拟合值； , n 1时，由(5)式算得的 x
2 0.006 0.27 0.006 0.264 1.9362
3 0.006 0.13 0.006 0.136 1.9362
4 0.006 0.44 0.006 0.446 1.9362
5 0.006 0.33 0.006 0.324 1.9362
于是得到一个新数据序列
x(1) {6, 9, 17, 27, 34}
(0) (1) x ， x 将上述例子中的 分别做成图1、图2.
图1
图2
图1上的曲线有明显的摆动，没有规律； 图2呈现逐渐递增的形式，可以设想用一条 指数曲线逼近累加一次生成数列. x (1) .
2.模型的建立 给定观测数据列
（3）
ˆ dx (1) ˆ = u + ax dt
(1)
GM(1,1)模型
3.模型的求解
ˆ (1) dx (1) ˆ + ax = u dt
此方程满足初始条件 当t t0时 x ˆ (1) x ˆ (1) (t0 ) 的解为
u a (t t0 ) u (1) (1) ˆ ˆ x (t ) x (t0 ) e . a a
灰色预测
灰色预测（Gray Forecast Model）是通过少量的、
不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种 预测方法.
• 目前常用的一些预测方法（如拟合），需要较大
的样本.若样本较小，常造成较大误差，使预测目 标失效.
• 灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模
精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是
2 2
后验差比值为：
S1 C S0
0.078424 0.0976 8.24
应用实例
小误差频率
P P k 0.6745S0 P k 0.006 1.9362




因为
1 0.006 0 0.006 0.006 1.9362
n 1
，
(0)
S1 ； S0
最后计算小误差概率 p (0) (0) 0.6745 S0 . 根据模型检验方差比 c 与小误差概率 p ，将预测等级分为四等，见下表：


表 1 GM(1, 1)模型预测精度等级划分表 小误差概率 p 值 >0.95 >0.80 >0.70 方差比 c 值 <0.35 <0.5 <0.65 预测精度等级 好 合格 勉强合格 不合格
4. 模型检验----为检验按灰色模型预测的可信性，需要 进行模型检验-----残差检验，后验差检验 。
(1) 残差检验：计算原始序列和原始序列的灰色预测序列之间的：
ˆ (0) (i ) ； i 1, 2,..., n ； 绝对误差： (0) (i ) x (0) (i ) x
1 40.5 1 70.5 102.5 1 136 1
应用实例
40.5 40.5 70.5 102.5 136 70.5 a T 1 T U ( B B) B y u 1 1 1 1 102.5 136 29 40.5 70.5 102.5 136 31 1 1 1 1 33 34
所以
P 1
应用实例
根据 C 0.35 和 P 0.95 的评价标准，本题的预测 结果的评价等级为“好”。
1 0.0532 k ˆ x k 1 535.705 e 509.75 故可采用
对8月的轻伤事故进行预测。
ˆ (0) 6 x ˆ (1) 6 x ˆ (1) 5 189.20 153.03 36.17 x
即根据预测，如果不采取更有效的事故预防措施 的话，下一月份的轻伤事故人次将是36人。
销售额预测
【例2】 表1列出了某公司1999—2003年逐年的销
售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求 作精度检验。
表1 逐年销售额（百万元）
年份 序号
1999 1 2.874
2000 2 3.278
1 ˆ x k 1 535.705e0.0532k 509.75
为了得到原始数列的预测值，需要将生成数列的 预测值作累减还原为原始值，即根据下式求得：
ˆ (0) (k 1) x ˆ (1) (k 1) x ˆ (1) (k ) x
生成数列的预测值、原始数列的还原值分别如下表所示
应用实例
误差检验
k 1
x 0 k
ˆ 0 k x
k
0
26
26
2
3
29
31
29.27
30.87
-0.27
0.13
4
5 平均值
33
34 30.6
32.56
34.33
0.44
-0.33
30.606 -0.006
应用实例
后验差检验：
1 2 2 2 S0 [ 26 30.6 29 30.6 31 30.6 5
处理小样本预测问题的有效工具.
灰色预测模型
1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例1】 设原始数据序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2),
, x(0) (5) } {6, 3, 8,10, 7}
对数据累加
x (1) (1) x (0) (1) 6， x (1) (2) x (0) (1) x (0) (2) 6 3 9， x (1) (3) x (0) (1) x (0) (2) x (0) (3) 6 3+8 17， x (1) (4) x (0) (1) x (0) (2) x (0) (3) x (0) (4) 6 3+8+10 27， x (1) (5) x (0) (1) x (0) (2) x (0) (3) x (0) (4) x (0) (5) 6 3+8+10+7 34.
应用实例
ˆ (0) (k 1) x ˆ (1) (k 1) x ˆ (1) (k ) x
k
x(1) k 1
ˆ(1) k 1 x
ˆ (0) k 1 x
0 1 2 3 4
26 55 86 119 153
26 55.27 86.14 118.70 153.03
26 29.27 30.87 32.56 34.33
为预测值.这是相对于一次累加序列
当k n时， x(k 1)
x (1) 的拟合值，用后减运算还原.
• 由于模型是基于一阶常微分方程（3）建立 的，故称为一阶一元灰色模型，记为 GM(1,1).须指出的是， 建模时先要作一次 累加，因此要求原始数据均为非负数.否则， 累加时会正负抵消，达不到使数据序列随 时间递增的目的.如果实际问题的原始数据 列出现负数，可对原始数据列进行“数据 整体提升”处理.
0.0531754296 27.1038016915
1 1 1 1
1
灰色预测理论应用实例
所以
a 0.0531754296 0.0532
u 27.1038016915 27.1038
u 509.705 a
（1）
x
(0)
{x (1), x (2),
(0) (0)
, x (n) }
(0)
• 经一次累加得
(1) (1)
x1 k x 0 i
i 1
k
（2）
x {x (1), x (2),
(1)
, x (n) }
(1)
用一条指数曲线逼近累加一次生成数列 x (1) ，这 条指数曲线对应的函数满足下面的一阶常微分方程
2001 3 3.337
2002 4 3.390
2003 5 3.679
x (0)
城市道路交通事故次数的灰色预测 • 灰色理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样 本”、“贫信息”的不确定问题为研究对象,通过对“部 分”已知的信息的生成开发,提取有价值的信息,构造生成 序列的手段来寻求现实现象中存在的规律。 • 交通事故作为一个随机事件,其本身具有相当大的偶然性 和模糊性,如果把某地区的道路交通作为一个系统来看， 则此系统中存在着一些确定因素(灰色系统称为白色信 息) ,如道路状况、信号标志,同时也存在一些不确定因素 (灰色系统称为灰色信息)如车辆状况、气候因素、驾驶员 心理状态等等,具有明显的不确定性特征。 • 因此可以认为一个地区的道路交通安全系统是一个灰色系 统,可以利用灰色系统理论进行研究。
所以一阶微分方程
ˆ dx ˆ 1 u ax dt
1
GM(1,1)模型
具体形式为
ˆ dx ˆ 1 27.1038 0.0532 x dt
1
实例
u ak u ˆ (k 1) [ x (1) ]e . 本例的事故预测公式为： x a a
(1) (0)