2019-2020学年江苏省南京师大附中高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省南京师大附中高一上学期期末数学
试题
一、单选题
1．已知集合 U = R ，集合{
}
2
|320A x x x =-+>，则U C A =（ ） A ．(1,2) B ．[1,2 ] C ．(-2，-1 ) D ．[ -2，-1]
【答案】B
【解析】解一元二次不等式化简集合A 的表示，再利用补集的定义，结合数轴求出即可. 【详解】 因为A ()(),12,=-∞+∞，U = R ,所以U C A =[1,2]．
故选：B 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合补集的定义，属于基础题.
2．设1
3331
log ,4,log 24
a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．
A ．c >a > b
B ．b > a > c
C ．c > b > a
D ．b > c > a
【答案】D
【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，利用中间值比较方法判断出三个数的大小. 【详解】
1
03333331
log log 10,441,0log 1log 2log 314
a b =<==>==<<=,
所以 b > c > a ． 故选：D 【点睛】
本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了对数函数和指数函数的单调性，属于基础题.
3．如图，已知点 C 为△OAB 边AB 上一点，且AC =2CB ，若存在实数m ，n ，使得OC mOA nOB =+，则m n -的值为（ ）
．
A ．13
- B ．0 C ．
13
D ．
23
【答案】A
【解析】根据平面向量的基本定理和共线定理，结合已知求出m n -的值. 【详解】
1111233333BC B OC OB OB OB A BO O OA O A B =+=+=++=+，所以1
3
m n -=-.
故选：A 【点睛】
本题考查了平面向量基本定理和共线定理，属于基础题. 4．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）．
A ．
6
π B ．6
π-
C ．4
π-
D ．
4
π 【答案】D
【解析】利用最高点和最低点的坐标，求出周期，利用周期公式求出ω的值，把其中一个点的坐标代入函数解析式中，最后求出ϕ的值. 【详解】
由图可知，322T π=，所以223T πω==，所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，又因为
328
f π
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，所以232382k ππϕπ⨯+=+，解得()24k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，
所以4
π
ϕ=.
故选：D
【点睛】
本题考查了通过函数图象求函数的解析式，考查了识图能力，属于基础题.
5．函数()21log 1x f x x -=++的定义域是 ( ) A ．[1,+∞ ) B ．(0,1) C ．(-1,0 ] D ．(−∞ −1]
【答案】C
【解析】根据对数的真数大于零，被开偶次方根数为非负数，得到两个不等式，解不等式组即可. 【详解】
由题意可得：
101x x
->+且21103⎛⎫
-≥ ⎪⎝⎭x
， 解得11x -<<且x ≤0 ，所以定义域为 (-1,0 ]． 故选：C 【点睛】
本题考查了求函数的定义域，考查了数学运算能力.
6．设a ，b 是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (a ，1 )，B (-2，b )，且1sin 3
θ=，则a
b 的值为（ ）．
A ．-4
B ．-2
C ．4
D ．±4
【答案】A
【解析】根据三角函数的定义，得到两个方程，解方程即可求出a
b
的值. 【详解】
由三角函数的定义，
13
==
，且a < 0，解得b a =
=-，所以
4a
b
=-. 故选：A 【点睛】
本题考查了三角函数的定义，考查了数学运算能力.
7．函数y =2x sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π
(,π)2上的符号，即可判断选择.
详解：令()2sin 2x
f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x
f x x =为奇
函数，排除选项A,B;
因为π
(,π)2
x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
8．若函数()()lg 12f x x =-+，则对于任意的()12,1,x x ∈+∞，
()()
122
f x f x +与
122x x f +⎛⎫
⎪⎝⎭
的大小关系是（ ）．
A ．
()()
122f x f x +≥122x x f +⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．
()()
122
f x f x +≤122x x f +⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()()
122
f x f x +=122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．不确定
【答案】B
【解析】画出函数的图象利用数形结合思想可以判断出大小关系. 【详解】
观察图象，可得函数“凹凸性”如图.
故选：B 【点睛】
本题考查了利用数形结合思想判断函数值之间的大小关系,属于基础题.
二、多选题
9．下列计算结果为有理数的有（ ）． A ．23log 3log 2⋅ B ．lg 2 +lg 5
C ．
1
ln2
2
e
-
D ．5sin
6
π 【答案】ABCD
【解析】根据对数的运算公式和特殊角的三角函数值进行计算，根据结果判断出正确选项. 【详解】
23log log 132⋅=；lg 2+ lg 5=1；
1ln2
2
0e -=；51sin
62
π=， 故选：ABCD 【点睛】
本题考查了对数运算公式和特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力. 10．对于定义在 R 上的函数()f x ，下列判断错误的有（ ）． A ．若()()22f f ->，则函数()f x 是 R 的单调增函数 B ．若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数 C ．若()00f =，则函数()f x 是奇函数
D ．函数()f x 在区间 (−∞，0]上是单调增函数，在区间 (0,+∞)上也是单调增函数，则
()f x 是 R 上的单调增函数
【答案】ACD
【解析】利用单调性的定义及性质，奇偶函数定义进行判断即可. 【详解】
A 选项，由()()22f f ->，则()f x 在 R 上必定不是增函数；
B 选项，正确；
C 选项，()2
f x x =，满足()00f =，但不是奇函数；
D 选项，该函数为分段函数，在x =0 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误． 故选：ACD 【点睛】
本题考查了函数的单调性的定义和性质，考查了函数奇偶性的性质，属于基础题. 11．设 a 为实数，则直线y =a 和函数41y x =+的图象的公共点个数可以是（ ）． A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】ABC
【解析】利用方程的思想即可判断出公共点的个数. 【详解】
y =a 和41y x =+联立消去y 得，4411a x x a =+⇒=-. 当1a >时，方程有两个不相等的实根，故有两个公共点； 当1a =时，方程有一个实根，故有一个交点； 当1a <时，方程无实根，故没有交点. 故选：ABC 【点睛】
本题考查了两个函数图象交点个数问题，考查了一元二次方程根的判别，属于基础题. 12．设函数()f x 的定义域为D ，若对于任意x ∈D ，存在y ∈D 使
()()
2
f x f y C
-=（C 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的“半差值”为C ．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是（ ）． A ．()3
1y x x R =+∈
B ．()2
x
y x R =∈
C ．()()
ln 0,y x x =∈+∞
D ．y =sin 2x +1( x ∈R )
【解析】根据函数的定义域和特殊自变量的取值，结合所给的定义进行判断即可. 【详解】
即对任意定义域中的 x ，存在 y ，使得f (y )=f (x )-2；由于AC 值域为R ，故满足； 对于B ，当x =0时，函数值为1，此时不存在自变量y ，使得函数值为-1，故B 不满足； 对于D ，当2
x π
=-时，函数值为0，此时不存在自变量y ，使得函数值为−2 ,故D 不满足. 故选：AC 【点睛】
本题考查了新定义题，考查了数学阅读能力，属于基础题.
三、填空题
13．设m 为实数，若函数()2
2f x x mx =+-在区间 (−∞,2)上是单调减函数，则m
的取值范围是_______________． 【答案】m ≤−4
【解析】求出二次函数的对称轴，根据题意得到不等式，解不等式即可求出m 的取值范围. 【详解】
()f x 为开口向上的二次函数，对称轴为直线2
m
x =-,要使得函数在(−∞,2)上递减，则22
m
-
≥，解得4m ≤-. 故答案为：4m ≤- 【点睛】
本题考查了已知函数的单调性求参数问题，属于基础题. 14．把函数sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）
，得到图象为1C ；再把1C 上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象为2C ，则2C 对应的解析式为____________． 【答案】2sin 3y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
【解析】根据正弦型函数的图象的变换规律直接写出解析式即可.
因为函数sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）
，得到图象为1C ，所以1C 的解梦式为:sin 3y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
,再把1C 上每一点的纵坐标变为原
来的2倍（横坐标不变），得到图象为2C ，所以2C 的解析式为:2sin 3y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
.. 故答案为：2sin 3y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查了正弦型函数图象变换规律，属于基础题.
15．若()()cos ,1,2cos ,2sin AB AC θθθ=-=，其中θ∈[0,π]，则BC 的最大值为__． 【答案】3
【解析】利用平面向量的减法的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式，求出
BC 平方的表达式，最后根据同角的三角函数关系式化为关于正弦函数的二次函数，
最后求出BC 的最大值. 【详解】
()cos ,2sin 1,BC AC AB θθ=-=+ 所以
()2
2
22cos 2sin 13sin 4sin 2,BC θθθθ=++=++因为[]0,θπ∈，令
[]sin 0,1t θ=∈，所以2
2342,BC t t =++所以当t =1时，取最大值 9，所以BC 的
最大值为 3． 【点睛】
本题考查了平面向量的减法几何意义，考查了求向量模的最值问题，考查了同角的三角函数关系式，考查了二次函数的单调性的应用. 16．已知函数()2
2,1
,1
x x f x x x -≥⎧=⎨
<⎩，那么()()3f f =________；若存在实数a ，使得()()()f a f f a =，则a 的个数是_______________．
【答案】1 4
【解析】（1）直接代入求值即可；
（2）运用换元法，结合函数的图象，分类讨论求出a 的个数. 【详解】 （1）()()()311;f
f f =-=
（2）令()f a t =，即满足()f t t =， ①t =1，即a =±1时，经检验，均满足题意；
②t <1，即 −1 <a <1 或 a >1时，()2
f t t =，由2t t =，解得t =0或1（舍去）；再由
()0t f a ==解得a = 0或 2 ；
③t > 1，即a < − 1时，()2f t t =-，由t = 2−t ，解得 t = 1 （舍去）； 综上所述：共有 4 个 a ．
【点睛】
本题考查了求函数值，考查了方程有解求实数个数问题，考查了分类讨论法、换元法 。

四、解答题
17．设 t 为实数，已知向量()()1,2,1,.a b t ==-
（1）若 t = 3，求a b +和a b -r r
的值；
（2）若向量a b +与3a b -所成角为 135° ，求 t 的值． 【答案】（1）a b += 5，5a b -=
； （2）t = 2；
【解析】（1）根据平面向量运算的坐标表示结合平面向量模的公式直接求解即可； （2）求出a b +与3a b -的坐标表示，根据夹角公式直接求解即可. 【详解】
（1）当 t = 3时，()1,3b =-,()0,5a b +=,()2,1a b -=-
所以a b += 5，5a b -=；
（2）()0,2a b t +=+,()34,23a b t -=-,
()()3223cos135
2
32a b a b t t a b a b
+⋅-+-==
=-
+⋅-+, 平方化简得：23440t t
--=，解得1222,.3
t t ==- 经检验，当2
3
t =-时，夹角为 45°
舍去，故 t = 2． 【点睛】
本题考查了平面向量的运算的坐标表示，考查了平面向量模的坐标公式，考查了平面向量夹角公式，考查了数学运算能力.
18．设实数 x 满足 sinx + cos x = c ，其中 c 为常数． （1）当c =
时，求44sin cos x x +的数值；
（2）求值：()33443cos cos 2
sin cos x x x x
ππ⎛
⎫+++ ⎪⎝
⎭-（用含 c 的式子表示）． 【答案】（1）12; （2）
21
2c c
+; 【解析】（1）对已知的式子进行平方，利用完全平方和公式，最后求值即可； （2）利用诱导公式、立方差公式、平方差公式对所求式子进行恒等变形，再利用同角的三角函数关系式，求出所求式子的值. 【详解】
（1）sinx + cos x ，平方得： 1+ 2sinx cosx = 2，所以sinx cosx =
1
2
; ()2
4422221sin cos sin cos 2sin cos 2
x x x x x x +=+-=
; （2）
()()()33334422223cos cos sin cos 1sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x
x x x x ππ⎛
⎫+++ ⎪-+⎝⎭==
-+-+
由sinx + cos x = c ，所以平方得：1+ 2sinx cosx = 2
c ，sinx cosx =21
2
c - 所以原式=221
122c c c c
++=. 【点睛】
本题考查了同角三角函数关系式，考查了诱导公式，考查了完全平方和公式、立方差公式、平方差公式，考查了数学运算能力.
19．设a 为正实数．如图，一个水轮的半径为a m ，水轮圆心 O 距离水面
2
a
m ，已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈．当水轮上的点 P 从水中浮现时（即图中点0P ）开始计算时间．
（1）将点 P 距离水面的高度 h (m )表示为时间 t (s )的函数； （2）点 P 第一次达到最高点需要多少时间． 【答案】（1）sin ,0;6
62a h a t t π
π⎛⎫=-+≥
⎪⎝⎭ （2）4s ；
【解析】（1）建立直角坐标系，根据题意结合三角函数定义可以求出点 P 距离水面的高度 h (m )表示为时间 t (s )的函数；
（2）根据正弦型函数的单调性求出最大值即可. 【详解】
（1）如图，以水轮圆心 O 为原点，与水面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系．
当t = 0时，点 P
的坐标为,2a ⎫-⎪⎪⎝⎭
，角度为6π
-;根据水轮每分钟逆时针转动 5 圈，可知水轮转动的角速度为
6π
rad / s ,所以 t 时刻，角度为66
t ππ-;根据三角函数定义，可得sin ,0;6
62a h a t t π
π⎛⎫=-+≥
⎪⎝⎭
⑵ 当32a h =
时，sin 16
6t π
π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2662t k ππππ-=+，解得
t =4+12k ()k N ∈，
所以当k = 0时， t = 4，即第一次达到最高点时需要4s ． 【点睛】
考查了数学阅读能力，考查了建模能力，考查了正弦型函数的最值，属于基础题. 20．设向量()11,a x y =r ,()22,b x y =r ，其中0a ≠r r
．
（1）若//a b ，求证：12210x y x y -= ； （2）若12210x y x y -= ，求证：//a b ． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】（1）根据平面向量花线定理可以直接证明出结论； （2）根据平面向量花线定理可以直接证明出结论； 【详解】
()11,a x y =r ,()22,b x y =r ，其中0a ≠r r
，所以11,x y 不全为 0，不妨设10x ≠;
（1）如果//a b ，则存在实数λ，使得b a λ= ，即()()()22
111
1
,,,x y x y x y λλλ==,
所以21
2
1x x y y λλ=⎧⎨
=⎩,则()()122111110x y x y x y x y λλ-=-= （2）反之，如果12210x y x y -=，因为10x ≠，所以
()()22221222111111,,,,x x
x y y x y x y x y x x x ⎛⎫=
== ⎪⎝
⎭ ， 令2
1
x x λ=
，则b a λ=，所以//a b ． 【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，属于基础题. 21．（1）运用函数单调性定义，证明：函数()31
f x x x
=-在区间 (0,+∞)上是单调减函数；
（2）设 a 为实数， 0 <a < 1 ，若 0 <x < y ，试比较33y x a a -和4334x y x y a a ++-的大小，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析； （2）33y x a a -<4334x y x y a a ++- 【解析】（1）运用单调性的定义直接证明即可；
（2）运用指数函数的单调性可以比较出两个式子的大小关系. 【详解】
（1）对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，
()()()()()22
2121211212213333121211x x x x x x f x f x x x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为210,x x ->2233
2121120,0x x x x x x ++>>，所以()()120f x f x ->，即
()()12f x f x > ，所以函数()f x 在区间 (0,+∞) 上是单调减函数；
（2）因为 0<a <1，所以()x
g x a =在R 上是单调减函数，
因为 0< x < y ，所以 0<3x <3y ， 0< 4x + 3y <3x +4y ， 所以()()33330y
x g y g x a
a <⇒-< ，
且()()4334g x y g x y +>+⇒43340x y x y a a ++->， 所以33y x a a -<4334x y x y a a ++-. 【点睛】
本题考查了利用函数单调性证明函数的单调性，考查了指数函数的应用，考查了不等式的应用.
22．（1）已知函数()()1
1,1
x f x x x R x -=≠-∈+，试判断函数()f x 的单调性，并说明理由；
（2）已知函数()()1
lg
1,1
x g x x x R x -=≠±∈+. （i ）判断()g x 的奇偶性，并说明理由；
（ii ）求证：对于任意的x ,y ∈R ，且x ≠±1 ，y ≠±1，xy ≠−1都有
()()1x y g x g y g xy ⎛⎫
++= ⎪+⎝⎭
①.
（3）由⑵可知满足①式的函数是存在的，如()()1
lg 1,1
x g x x x R x -=≠±∈+．问：满足①的函数是否存在无穷多个？说明理由．
【答案】（1）()f x 在(−∞，−1)和(-1,+∞)上单调递增，理由见解析；（2）（i ）奇函数，理由见解析； （ii ）证明见解析 （3）存在无穷多个，理由见解析. 【解析】（1）利用函数单调性的定义进行判断即可； （2）（i ）利用奇偶函数的定义进行判断即可； （ii ）利用对数的运算法则通过计算可以证明出结论； （3）通过取特例，结合（2），可以判断存在存在无穷多个. 【详解】
（1）对任意的()12,,1x x ∈-∞-，且12x x <，
则()()()()()
1212121212211
1111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 因为(
)()12120,1
10x x x x -<++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，
所以函数()f x 在区间(−∞，−1)上是单调递增，同理可得()f x 在区间(-1,+∞)上单调递增；
（2）（i ）()g x 的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞， 对任意的()()(),11,11,x ∈-∞--+∞，有()()(),11,11,x -∈-∞--+∞，
且()()11
11lg
lg lg lg101111x x x x g x g x x x x x ⎛⎫------+-=+=⋅== ⎪+-++-+⎝⎭
，
所以()g x 为奇函数，
又()()22g g ≠-，所以()g x 不是偶函数； （ii ）对于任意的x ,y ∈R ，且x ≠±1 ，y ≠±1，xy ≠−1，
因为()()111111
lg lg lg lg 111111x y x y x y g x g y x y x y x y ⎛⎫------+=+=⋅=⋅ ⎪++++++⎝⎭
， 所以
1
11lg lg 111
1x y x y x y xy xy
g x y xy x y xy xy
+-⎛⎫++--+== ⎪+++++⎝⎭++()()11lg 11x y g x g y x y --=⋅=+++； （3）设()lg k g x k =⋅1
1
x x -+()k g x =⋅，则对于任意的x , y ∈R ，且x ≠±1 ，y ≠±1，xy ≠−1，都有
即()k g x 满足①，因为 k 有无穷多个，所以这样的()k g x 也有无穷多个． 【点睛】
本题考查了利用函数的单调性判断函数的单调性，考查了奇偶函数的定义，考查了对数运算性质，考查了数学运算能力.。