_一元二次方程_课堂教学实录

-2x+6=0， 在什么条件下为一元二次方 一不可。注意 a 不等于 0。项及系数要
程？
连同前面的符号。
请这位同学来分析一下。
6．课外作业（略）
生：2k-1=2，即 k=1。5 时为一元二
教学反思
次方程。
本节课的教学目标为理解一元二次
师：为什么?
方程的概念，认识一元二次方程的一般
生：知道 6 是常数项，-2x 是一次项， 形式，并会熟练地把一元二次方程化为
问题 2：学校图书馆去年年底有图书
画现实世界数量关系的工具，增加对一 5 万册，预计到明年年底增加到 7。2 万
元二次方程的感性认识。
册。求这两年的年平均增长率。
教学重点
师：这道题中的已知条件是什么?请
一元二次方程意义及一般形式。
你来说。
教学难点
生：去年 5 万册的基础上，经过 2 年
正确识别一元二次方程中的二次项 达到 7。2 万册；今年的增长率与明年的
10 米，那么绿地的长和宽各为多少？
教学目标
你能解决这个问题吗？
1.知识目标
师：题目中的相等关系是什么？
使学生理解一元二次方程的概念，
生：长×宽 = 长方形的面积 900m2。
并掌握一元二次方程的一般形式。识别
师：很好，这位同学找出了本题中的
一元二次方程中的二次项系数、一次项 相等关系。 如何设未知数呢？
2008 年 7 月号
教育艺术 在 线
“一元二次方程”课堂教学实录
江苏省南通第一中学 马公仕
教学内容
问题 1。 绿苑小区规划设计时，准
华师大版《义务教育课程标准实验 备在每两幢楼房之间，安排面积为 900 平
教科书——数学》第九册第二十三章“一 方米的一块长方形绿地，并且长比宽多
元二次方程”（第一课时）。
可列得方程 5（1+x）2=7。2，
师：整理可得？
生： 5x2+10x-2。2=0。
（2）
师：好！ 显然，这两个整式方程是不
是一元一次方程？那么这两个整式方程
与一元一次方程的区别在哪里？它们有
什么共同特点呢？大家可以交流一下
……好，请这位同学回答一下。
生：共同特点：只含有一个未知数。
不同点：一元一次方程未知数次数都是
1，而这两个方程未知数的最高次数是 2。
师：你能根据这两个整式方程的特
征，给它们起一个合适的名字吗？
生：一元二次方程。（板书）
师：这里的“元”代表什么？
生：一个未知数。
师：“二次”表示什么？
生：未知数项的次数。
师：看来这个名字还取得挺合适。今
天，我们就来共同学习一元二次方程。哪
位同学试着给一元二次方程下个定义？
系数、常数项。
生：设长方形绿地的宽为 x 米，则长
2.能力目标
为 （x+10） 米，不 难 列 出 方 程 x
培养学生的识别能力。
(x&#、揭示实际问题的数量关系
生：x2+10x-900=0。 （1）
并把实际问题转化为数学模型（一元二
师：好！请坐。
次方程）的过程中使学生感受方程是刻
好，你来。
生：只含有一个未知数，并且未知数
的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元
二次方程。（板书）
2．学习点拨，分析“一元二次方程”
定义特点
师：这个定义有几个条件？
生改进学习、纠正错误等方面提供及时 有效的指导。可根据不同教学内容的各 个教学阶段编制教学过程的形成性评价 试卷。问卷内容包括：教学内容、测试时 间、学习内容、主要学习方法、易犯错误、 产生原因及纠正方法。形成性评价在完 成一个教学阶段结束时对评价班随堂测 试，并自愿结成学习小组互帮互学。一 个完整教学项目至少要进行 3-5 次形成 性评价并评选先进学习小组。形成性评 价的目的不是为评判学生或者教师学习 和教学过程的行为，而是设法为每一个 学生的改进学习过程提供必要帮助的信 息，从而极大的调动学生学习的主动性。
系数、一次项系数、常数项；把方程整理 增长率相等。
为一元二次方程的一般形式。
师：如何来设未知数呢？
教学方法
生：设这两年的年平均增长率为 x，
发现、探究教学法。
则今年年底的图书数是 5（1+x）万册；同
教学过程
样，明年年底的图书数又是今年年底的
1．创设情景，提出问题
（1+x）倍，即 5（1+x）(1+x)=5(1+x)2 万册。
息，调动学生学习的主动性。 (3)系统性评价通过对小学数学课程
教学内容进行了实验研究，获得了良好 的效果，小学教学各项教学内容的教学 组织过程具有很多的共同特点，因此，积 极的应用到其他教学内容中是可行的， 也是有意义的。 参考文献
[1]布卢姆. 教育评价 [M]. 上海, 华东 师范大学出版社,1987.3
师：请同学们做一做（2）、(3)两题。这 数、一次项系数等。学生练习板书反映
两位同学上黑板。
比较好。在教师的引导下大部分学生都
（2）关于 x 的方程（k2-1）x2（- k+1） 能顺利的求解出来，最后进行课堂小结，
x+1=0，在什么条件下为一元二次方程？ 学生自由发言，非常积极。但在课堂流
在什么条件下为一元一次方程？
次项系数、常数项分别是多少？
(2) 4y(y-2)=25 请一名同学来回答。
生：二次项系数 4、一次项系数-160、
生：原 方 程 化 为 一 般 形 式 为 常数项 850。（或 2、-80、425）
4y2-8y-25=0 ，二次项系数是 4、一次项系
5．总结归纳
数是-8 和常数项是-25。
师：同学们表现得真好，谁能说一说
师:为什么是正方形？
出，说到项是要连同前面的符号的。请
生：？
看问题 1 和问题 2 中的的两个方程。请
师：（拿出一长方形纸片，演示）是为
这位同学来说出它的项及系数。
了等高。
生：略。
试一试，如果这块长方形硬纸片长
师：练一练，将下列一元二次方程化 50cm，宽 30cm，你能否设计一底面积为
为一般形式，并分别指出它们的二次项 650cm2 的无盖长方体盒子? 那位同学
[2] 邢文华. 体育测量与评价 [M]. 北 京,北京体育大学出版社,1992.6
[3] 李东河. 系统性教学评价在高等 体育专业教学中的应用研究[J].河北体育 学院学报,2005(2)
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2008 年 7 月号
生：只含有一个未知数；未知数的最 高次数是 2。
师：还有没有？ 生：整式方程。 师：看来判断一个方程是不是一元 二次方程，就要看是否同时满足这三个 条件，缺一不可。 3．步步登高 师：请看观察与判断，下列方程中哪 些是一元二次方程？试说明理由。 （1）3x+2=5x-3 生：不是。 是一元一次方程。 师：（2）x2=1 生：是。 师：只含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是 2，是整式方程，很好。（3） 生：不是，是分式方程。 师：（4） 生：是。 师：(5) kx2 -3x+1=0(k 为常数) 生：不是。 师：不一定是。什么时候是？ 生：k≠0。 师：什么时候不是？ 生：k=0。 师：为什么？ 生：k=0，就是一元一次方程。 师：(6) x2 +4=(x -2)2 生∶不是。两边的 x2 对消掉了，最 高次数为 1。 师：（7）x2 -3y+7=0 生：不是，含有两个未知数。 师：(8) (k2 +1 )x2 – 5x=0（k 为常数） 生：是。k2+1≠0。 师：经过上面的练习，进一步明确了 只有同时具备只含有一个未知数，未知 数的最高次数是 2，整式方程这三个条件 的方程才是一元二次方程。 师：哪位同学能试着写出一元二次 方程的一般形式？ 生：一般形式： ax2+bx+c=0 (a、b、c 是 已 知 数， a≠0)。 师：a 为什么不等于 0？ 生：a=0，ax2=0，原方程就是一元一 次方程了。 师：是否是一元一次方程，还要看 b 得值。回答得非常好，一定要注意 a≠0， 否则就不是一元二次方程。（板书一般
师：好的！下面请每位同学出一道 本节课你有哪些收获？
一元二次方程，然后同桌交换，把它化为
生：一元二次方程的定义，一般形
一般式，写出二次项、一次项的系数和常 式。
数项。
师：要注意哪些问题？
4．变式训练，合作探究
生：定义要注意只含有一个未知数；
师：做一做（1）关于 x 的方程 x2k-1 未知数的最高次数是 2；整式方程三者缺
式：ax2+bx+c=0 (a≠0)）
b+3≠0。
师：这里 ax2 是几次项？
师：点评。
生：叫做二次项，叫做二次项系数。
师：这是一块长方形纸片，你会将它
师：那么 bx 呢？
做成一个无盖的长方体盒子么？
生：叫做一次项，叫做一次项系数，
生：可以。长方形的四角减去四个
叫做常数项。
全等的正方形。
师：好！注意要先化一般形式再指
程设置中，编题环节略显匆忙，若在导入
（3） 已知关于 x 的一元二次方程 时再紧凑些，压缩出些时间，教学效果会
(a+3)x2+3x - a2+9=0 有一解为 0，求 a。 更好些。
分析：一解为 0，即 x=0，只需把 x=0
代入原方程即可；但要注意二次项系数
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(3) 总结性评价：对所有评价对象根
据教学大纲进行知识评定和达标测试； 在评价后对所有评价对象进行努力程度 测试。
4.结论和建议 (1)系统性评价应用到小学数学教学 当中，通过实验研究表明：系统性评价不 仅为教学过程进行有效的评价，同时为 改进教学和改善学习提高及时准确的信 息和有效指导，从而能够大大地提高教 学效率和教学效果。 (2)系统性评价为学生进行掌握性学 习建立了自我纠正系统，其中形成性评 价的目的不是为评判学生或者教师学习 和教学过程的行为，而是设法为每一个 学生的改进学习过程提供必要帮助的信
系数、一次项系数和常数项：（1）5x2 -1= 来试试看？请大家设、列并把方程化简。
4x 解：原方程化为一般形式为 5x2 -4x-1= （学生完成）化简后的方程是……
0（化为一般式，要使等号的右边为 0；左
生：是一元二次方程。
边一般降幂排列）二次项系数是 5、一次
师：请你说一下它的二次项系数、一
项系数是-4 和常数项是-1。
要是一元二次方程，x2k-1 只能是二次项， 一般形式，从内涵到外延来加强学生对
即 2k-1=2。
这些的概念的理解和把握。学生的学习
师：说一下解题过程。
效果都非常好。接下来的重要环节就是
生：解：由题意得 2k-1=2，解得 k=1.5 归纳出一元二次方程的一般形式，了解
所以 k=1。5 时原方程是一元二次方程。 二次项、一次项、常数项以及二次项系