2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 6.4 平面向量的应用 课件 (2)

5 2
，
yB＝| AB |·sin（π-∠OAB）＝
3 2
，
∴
OC＝Biblioteka OB+BC
＝
5 2
训练题 ［2019·河南南阳一中高一检测］如图所示，在平面直角坐标系中，|OA | ＝2| AB |＝2，∠OAB＝ 2 ， BC ＝（-1， 3 ）.
3
（1）求点B，C的坐标； （2）求证：四边形OABC为等腰梯形.
（1）解：连接OB，设B（xB，yB），
则xB＝|OA
|+|
AB
|·cos（π-∠OAB）＝
训练题
1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，
PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
证明：（方法一）设正方形 ABCD的边长为 1，AE＝a（0<a<1）， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1-a，AP＝ 2 a， ∴ DP · EF ＝（ DA + AP ）·（ EP +PF ） ＝ DA · EP + DA · PF + AP ·EP + AP · PF ＝1×a×cos 180°+1×（1-a）×cos 90°+ 2 a×a× cos 45°+ 2 a×（1-a）×cos 45°＝-a+a2+a（1-a）＝0. ∴ DP ⊥ EF ，即DP⊥EF.
常考题型
一 向量在平面几何中的应用 1.平面几何中的垂直问题
例1 如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2+CD2＝AC2+BD2，求证： AD⊥BC.
【证明】 不妨设 AB ＝c， AC ＝b，AD ＝m，则 BD ＝ AD - AB ＝m-c，CD ＝ AD - AC ＝m-b. 因为AB2+CD2＝AC2+BD2， 所以c2+（m-b）2＝b2+（m-c）2， 即c2+m2-2m·b+b2＝b2+m2-2m·c+c2， 所以2m·（c-b）＝0，即2AD ·（ AB - AC ）＝0， 所以 AD ·CB ＝0，所以AD⊥BC.
◆用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问 题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. ◆用向量法解决平面几何问题的两种方法 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角）， 将题中涉及的向量用基底表示出来，利用向量的运算法则、运算律或 性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问 题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
OB +OC ，求证：AE⊥BC.
证明：因为 BC ＝OC - OB ，AE ＝OE -OA ＝（OA +OB +OC ）-OA ＝OB +OC ， 所以 AE · BC ＝（OB +OC ）·（OC - OB ）＝|OC |2-|OB |2. 因为O为△ABC的外心，所以|OC |＝|OB |，所以 AE · BC ＝0，即AE⊥ BC.
◆向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法 方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示 AB 和CD ；③证明 AB ·CD 的值为0；④给出几何结论AB⊥CD. 方法二：先求 AB ，CD 的坐标， AB ＝（x1，y1），CD ＝（x2，y2），再 计算x1 x2+x2y2的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.
6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例
学习目标
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实 际问题. 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
重点：用向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几 何问题的“三步曲”. 难点：将实际问题转化为向量问题.
2.平面几何中的平行（或共线）问题
例2
平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且
CE ED
＝
AF FB
＝1
2
.
求证：点E，O，F在同一直线上.
【证明】 设 AB ＝m， AD ＝n，
由 CE ＝ AF ＝ 1 ，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴ FO ＝ FA + AO ＝
ED FB 2
知识梳理
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用 向量 表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题 ； (2)通过 向量运算 ，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与位移 s 的数量积．
（方法二） 设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系. 设P （x，x），则D（0，1），E（x，0），F（1，x），所以DP ＝（x，x-1）， EF ＝（1-x，x）.
∵ DP ·EF ＝x（1-x）+x（x-1）＝0，∴ DP⊥EF ，即DP⊥EF.
2. 如图，O是△ABC的外心，E为△ABC内一点，满足OE ＝OA +
1 BA + 1 AC ＝- 1 m+ 1 （m+n）＝ 1 m+ 1 n，
3
2
3
2
6
2
OE ＝OC +CE ＝ 1 AC +1 CD ＝ 1 （m+n）-1 m＝ 1 m+1 n.
2
3
2
3
6
2
∴ FO ＝OE .
又O为 FO 和OE 的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
◆用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法 方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示 AB 和CD ；③寻找实数 λ，使 AB ＝¦ËCD ，即 AB ∥CD ；④给出几何结论AB∥CD. 方法二：先求 AB ，CD 的坐标， AB ＝（x1，y1），CD ＝（x2，y2）.利用 向量共线的坐标关系x1y2-x2y1＝0得到 AB ∥CD ，再给出几何结论AB∥ CD. 以上两种方法，在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才能 由 AB ∥ CD 得到AB∥CD.