2019届一轮复习北师大版 绝对值不等式 学案

2019年高考数学总复习
绝对值不等式
考点逐个突破
1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|＞a(a ＞0)⇔f(x)＞a 或f(x)＜－a ； (2)|f(x)|＜a(a ＞0)⇔－a ＜f(x)＜a ；
(3)对形如|x －a|＋|x －b|≤c ，|x －a|＋|x －b|≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
2．含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|.
考点一.解绝对值不等式
（1）不等式|2x-1|<x+1的解集为__________.
解 ∵|2x-1|<x+1，即 -（x+1）<2x-1<x+1,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1>－x －1，2x －1<x ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x>0，x<2，，∴解集为
{x|0<x<2}．
(2)不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________．
解 原不等式即|2x ＋1|＞2|x －1|，两端平方后解得12x ＞3，即x ＞14
. (3)不等式 3|1||1|≥++-x x 的解集是 .
解 2,1|1||1|2,11
2,1x x x x x x x -≤-⎧⎪-++=-<<⎨⎪≥⎩
，当1x ≤-时，由3|1||1|≥++-x x 得23x -≥，得32x ≤-；当1x ≥时，由3|1||1|≥++-x x 得23x ≥，解得32
x ≥，所以不等式的解集为33(,][,)22
-∞-+∞. (4) 不等式|21||1|2x x ++-<的解集为 。

解 当12x ≤-
时，原不等式等价为(21)(1)2x x -+--<，即232,3
x x -<>-，此时2132x -<≤-。

当112
x -<<时，原不等式等价为(21)(1)2x x +--<，即0x <，此时102x -≤<。

当1x ≥时，原不等式等价为(21)(1)2x x ++-<，即232,3
x x <<，此时不等式无解，综上不等式的解为203x -<<。

考点二. 绝对值不等式求最值
(1)已知a a x x f +-=|2|)(，若不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，求实数a 的值.
解 由题 2,3-是方程()6f x =的两个根，即66,46a a a a -+=++=，所以66,46a a a a -=-+=-，即64a a -=+，解得1a =
（2）求函数y=|x+1|+ |x+3|的最小值.
解 由|x+1|+ |x+3|≥|（x+1）-（x+3）|=2，故y 的最小值2。

（3）求函数y=|2x+1|- |x-4|的最小值.
解 利用两点分段法求得 15,21y 33,425,4x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，画图得，当min 19y 22x =-=-时，。

(4)已知函数f(x)＝|2x ＋1|＋|2x －3|＋a.若不等式f(x)≥3a 2对一切实数x 恒成立时，求实数a 的取值范围．
解 因为|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，所以f(x)min ＝4＋a ，则4＋a ≥3a 2，
解得－1≤a ≤43
. (5)已知不等式|x+2|-|x+3|>m 解集为φ，求m 的取值范围。

解 由题 m 》|x+2|-|x+3|恒成立，则m 》（|x+2|-|x+3|）max=|x+2-x-3|=1,故m 》1.
（6）若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|<a ，求实数a 的取值范围．
解 由题 a>(|x －4|＋|x －3|)min ≥|(x －4)－(x －3)|＝1，所以a 的取值范围是(1，＋∞)．
(7) 已知()|21||23|f x x x =++-.若关于的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a
的取值范围.
解 ()()()432123212=--+≥-++=x x x x x f .41>-∴a ，解此不等式得53>-<a a 或.。