2011-2012年高考数学真题分类汇编第三章不等式(含解析)新人教版必修5

不等式
1.（2012·重庆高考卷·T2·5分）不等式
01
21
≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-
1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝
⎛
-∞-,121,
[答案]A
[解析]化分式不等式为整式不等式求解.
.121,0
120)12)(1(0121≤<-∴⎩⎨⎧≠+≤+-⇔<+-x x x x x x [点评] 考查分式不等式的解法.分式不等式一般转化为整式不等式求解，注意转化的等价性，防止产生增解.
2.（2012·重庆高考卷·T10·5分）
设平面点集{}
221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x
⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩
⎭
，则A
B
所表示的平面图形的面积为
（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2
π [答案]D [
解
析
]
)1(,01
010,0)1)((22-⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-∴≥--x x y x y x y x y x y x y 或则满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分Ⅰ和Ⅲ，因为1)1()1(,1
22=-+-=
y x x
y 的图象都关于直线y=x 对称，所以Ⅰ和Ⅳ区域的面积相等，Ⅱ和Ⅲ区域的面积相等，即圆内部分Ⅰ和Ⅲ的面积之和为单位圆面积的一半，即
.2
π
[点评]考查线性规划中可行域的画法，突破常规，难度较大，需要考生有扎实的基础储备和灵活的转化能力；而另一难点是要有敏锐的观察力，能看到图象的对称性，否则问题的求解会落入定积分的复杂运算中.所以在复习中既要重视双基，又要善于创新，在变化中寻找不变.
3.（2012·天津高考卷·T8·5分）
设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(2
2
=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是
（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞ （C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞ 【答案】D
【命题透析】本题考查了直线与圆的位置关系，以直线与圆相切为据，列关于n m +的等式关系，再借用重要不等式放缩，转化为不等式关系来解答问题，意在考查考生的综合思维能力与数学转化能力.
【思路点拨】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径列式，再利用重要不等式放缩出关于n m +的不等关系，解之即可.由题得
1)
1()1(2
2
=++++n m n m ，即
,2
)2()1)
1()(2
2
(
22++≥++=++n m n m n m 令n m t +=，得0442≥--t t ，解得
222+≥t 或222-≤t ，故n m +的取值范围为(]
222,-∞- [)∞+-,222.而
C 项错在化简中将不等符号改变了，A 、B 项错在转化中误用了重要不等式.
【考场雷区】考生易出现在等式的情况下不知如何求参数的取值范围，事实上这里需要由等到不等的转化，此题就用到重要不等的放缩来达到转化目的.
4.（2011年重庆）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14
a b +
的最小值是
A ．7
2
B ．4
C ． 9
2
D ．5
【答案】C
5.（2011年浙江）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪
+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，
若,x y 为整数，则34x y +的
最小值是
A ．14
B ．16
C ．17
D ．19
【答案】B
6.（2011年全国大纲）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是
A ．1a b +＞
B ．1a b -＞
C ．22
a b ＞
D ．33
a b ＞
【答案】A
7.（2011年江西）若集合{},{}x A x x B x
x -2
=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ⋂=
A ． {}x x -1≤<0
B ． {}
x x 0<≤1
C ． {}
x x 0≤≤2
D ．
{}
x x 0≤≤1
【答案】B
8.（2011年辽宁）设函数
⎩⎨
⎧>-≤=-1,log 11
,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 （A ）1[-，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）
【答案】D
9.（2011年湖南）设m ＞1，在约束条件
1y x
y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，
则m 的取值范围为 A ．（1
，1+ B
．（1+，+∞）
C ．（1,3 ）
D ．（3，+∞）
【答案】A
10.（2011年湖北）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a⊥ b ．若x ,y 满足不等式
1
x y +≤，则z 的取值范围为
A ．[-2，2]
B ．[-2，3]
C ．[-3，2]
D ．[-3，3]
【答案】D
11.（2011年四川）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型
卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=
A ．4650元
B ．4700元
C ．4900元
D ．5000元
【答案】C
【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件
08071210672219
x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪
+≤⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩画出可行域在12219x y x y +≤⎧⎨
+≤⎩的点7
5x y =⎧⎨=⎩代入目标函数4900z =
12.（2012·江苏高考卷·T5·5分）
函数()f x =的定义域为 ▲ ．
【答案】(
【解析】根据题意得到 0log 216≥-x ，同时，x ＞0 ，解得2
1
log 6≤x ，解得6≤x ，又x ＞0
，所以函数的定义域为：(
.
【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略x ＞0这个条件，因此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难度适中. 13.（2012·江苏高考卷·T13·5分）
已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，
若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 【答案】9
【解析】由值域为[0)+∞，，当2
=0x ax b ++时有2
40a b =-=V ，即2
4
a b =
， ∴2
222
()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++
=+ ⎪⎝⎭。

∴2
()2a f x x c ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭
解得2a x +<
，22a a x <<。

∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，
，∴)()622
a
a --==，解得
9c =。

【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大. 14.（2012·新课标卷·T14·5分）
设x,y 满足约束条件1,
3,0,0,
x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩则z=x-2y 的取值范围为 .
【答案】：[]3,3-
【解析】：由题意得，画出实数,x y 满足约束条件所表示的可行域，当取可行域内点()3,0A 时，目标函数2z x y =-取得最大值，最大值为3，当取可行域内点()1,2B 时，目标函数
2z x y =-取得最小值，最小值为3-，所以目标函数2z x y =-的取值范围为[]3,3-.
【点评】：本题考查了利用线性规划求最值的知识，正确画出可行域，移动目标函数到边界认真计算最值是解题的关键.
15.（2012·江苏高考卷·T14·5分）
已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则
b
a
的取值范围是 ▲ ． 【答案】[] 7e ，。

【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可
化为：354a c a b c c a b
c c
b e c
⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩。

设
==a b
x y c c
，，则题目转化为： 已知x y ，满足35
4
00x
x y x y y e
x >y >+≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪⎩
，，求y x 的取值范围。

作出（x y ，）所在平面区域（如图）。

求出=x y e 的切
线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥， 则
00000
==y ex m m
e x x x ++
，要使它最小，须=0m 。

∴
y
x
的最小值在()00P x y ，处，为e 。

此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。

当（x y ，）对应点C 时， =45=205=7=7=534=2012y x y x y
y x y x y x
x --⎧⎧⇒⇒⇒⎨
⎨--⎩⎩， ∴y
x
的最大值在C 处，为7。

∴
y x
的取值范围为[] 7e ，
，即b
a 的取值范围是[] 7e ，。

【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大.
16.（2011年上海）不等式13x x +<的解为 。

【答案】0x <或
12x ≥
17.（2011年广东）不等式130
x x +--≥的解集是 ．
【答案】[1,)+∞
18.（2011年江苏）设集合
},,)2(2|
),{(222R y x m y x m
y x A ∈≤+-≤=,
},,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是
______________
【答案】]
22,21
[+
19.（2011年安徽）
（Ⅰ）设1,1,x y ≥≥证明
;1
11xy y x xy y x ++≤+
+，
（Ⅱ）c b a ≤≤<1，证明
log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++.
本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力.
证明：（I ）由于1,1≥≥y x ，所以
,)(1)(1
112xy x y y x xy xy y x xy y x ++≤++⇔++≤+
+
将上式中的右式减左式，得
,0)1)(1)(1(,1,1).
1)(1)(1()1)(1()
1)(()1)(1())()(()1)(()1)(())((22≥---≥≥---=+---=-+--+=+-+--=++-++y x xy y x y x xy y x xy xy xy y x xy xy y x y x xy xy y x xy xy x y 所以即然
从而所要证明的不等式成立.
（II ）设
,log ,log y c x b b a ==由对数的换底公式得
.log ,1
log ,1log ,1log xy c y b x a xy a a c b c ====
于是，所要证明的不等式即为,1
11xy y x xy y x ++≤+
+
其中
.1log ,1log ≥=≥=c y b x b a
故由（I ）立知所要证明的不等式成立.
20.（2011年湖北）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。

当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数
()
v x 的表达式;
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：
辆/每小时）
()()
.f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设
再由已知得
1,2000,32060,200.
3a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨
⎨+=⎩⎪=⎪⎩解得
故函数()v x 的表达式为60,
020,()1
(200),202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1
(200),202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩
当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200； 当20200x ≤≤时，
211(200)10000
()(200)[]3323x x f x x x +-=
-≤=
当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。

所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值10000
.
3
综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值10000
3333
3≈。

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

21.（2011年湖北）
（Ⅰ）已知函数()1f x Inx x =-+，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设
,k k a b (1,2k =…，)n 均为正数，证明：
（1）若1122a b a b ++…n n a b ≤12b b ++…n b ，则
12
121n
k k k n a a a ≤；
（2）若12b b ++…n b =1，则1
n ≤
12122
2
212.
n k k k n n b b b b b b ≤+++
分析：本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。

（满分14分） 解：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞，令
1
'()10, 1.f x x x =
-==解得
当01,'()0,()x f x f x <<>时在（0，1）内是增函数； 当1x >时，'()0,()(1,)f x f x <+∞在内是减函数； 故函数()1f x x =在处取得最大值(1)0.f = （II ）（1）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时， 有()(1)0,ln 1.f x f x x ≤=≤-即
,0k k a b >，从而有ln 1k k a a ≤-， 得
ln (1,2,
,)k k k k k b a a b b k n ≤-=，
求和得11
1
1
ln .
n
n n
k k
k k k k k k a
a b b ===≤-∑∑∑
21
1
1
,ln 0,
n
n
n
k k k
k
k
k k k a b b a
===≤∴≤∑∑∑
即
12
12ln()0,n k k k n a a a ≤12
12
1.n k k k n a a a ∴≤
（2）①先证
1212
1.
n
k k k n b b b n ≥ 令
1
(1,2,,),
k k
a k n n
b =
=
则1111
1,n
n
n
k k k k k k a b b n ======∑∑∑于是
由（1）得
12
12111(
)()(
)1n k k k n nb nb nb ≤，即1212
12
1,
n
n k k k k k k n
n n b b b ++
+≤=
12
12
1.
n
k k k n b b b n ∴≥
②再证
12
222
1212.n k k k n n b b b b b b ≤++
+
记
21
,(1,2,,)
n
k
k k k b S b a k n S
===
=∑令，
则2
111111n
n n
k k k k k k a b b b S ======∑∑∑，
于是由（1）得12
12()()(
) 1.n
k k k n b b b
S
S S ≤
即
1212
12,n
n
k k k k k k n b b b S S ++
+≤=
12
22
21212.n k k k n n b b b b b b ∴≤++
+
综合①②，（2）得证。