问题74 转化与化归思想解决立体几何中的探索性问题(原卷版)

专题七立体几何
问题四：转化与化归思想解决立体几何中的探索性问题
一、考情分析
立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象力，又可以考查学生的意志力和探究意识，逐步成为近几年高考命题的热点和今后命题的趋势之一，探究性问题主要有两类：一是推理型，即探究空间中的平行与垂直关系，可以利用空间线面关系的判定与性质定理进行推理探究；二是计算型，即对几何体中的空间角与距离、几何体的体积等计算型问题的有关探究，此类问题多通过求角、求距离、体积等的基本方法把这些探究性问题转化为关于某个参数的方程，根据方程解的存在性来解决.
二、经验分享
1.对命题条件的探索常采用以下三种方法：
(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明.
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.
(2)把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件.
2.对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在.这是一种最常用也是最基本的方法对命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，另外还有探索的结论是否存在.求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论.
3.解决立体几何中的探索性问题的步骤：
第一步：写出探求的最后结论；
第二步：证明探求结论的正确性；
第三步：给出明确答案；
第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
三、题型分析
(一) 空间线面关系的探索性问题
1.空间平行关系的探索性问题
【例1】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．
（1）求证：AD ⊥平面BC C 1 B 1；
（2）设在棱11B C 上是否存在点E ，使得A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．
【分析】（1）利用正棱柱的性质——侧棱与底面垂直，得到1CC ⊥面ABC ，从而1CC AD ⊥，然后结合已知即可得证；（2）根据正三棱柱的性质即可判断点的存在性，当E 为棱11B C 的中点时，有1//A E AD ，从而可证A 1E ∥平面ADC 1.
【解析】（1）在正三棱柱中，C C 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴ AD ⊥C C 1．
又AD ⊥C 1D ，C C 1交C 1D 于C 1，且C C 1和C 1D 都在面BC C 1 B 1内， ∴ AD ⊥面BC C 1 B 1．
（2）存在点E ，当点E 为棱11B C 的中点时，A 1E ∥平面ADC 1. 由（1），得AD ⊥BC ．在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点． 当E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1．
又B 1B ∥AA 1，且B 1B =AA 1， ∴DE ∥AA 1，且DE =AA 1． 所以四边形ADE A 1为平行四边形， 所以E A 1∥AD ．
而E A 1⊄面AD C 1内，故A 1E ∥平面AD C 1．
【点评】线面平行与垂直是高考考查空间线面关系证明的两个重点，此类探究性问题的求解，一定要灵活利用空间几何体的结构特征，注意其中的平行与垂直关系，如该题中正棱柱中侧棱与底面垂直关系的应用；
E 为棱11B C 的中点时，有1//A E AD 等的灵活应用，帮助我们能够准确地判断探究性问题的结论，丙直接
迅速地把握证明的思路.
【小试牛刀】【2017届安徽淮北一中高三上学期四模】如图,直三棱柱111ABC A B C -中,12AC AA AB ==，且11
BC AC ⊥. （1）求证: 1
AC ⊥平面 1ABC ； （2） 若D 是11A C 的中点，在线段1BB 上是否存在点E ，使DE 平面1ABC ？若存在，指出点E 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 是1BB 的中点.
2.空间垂直关系的探索性问题
【例2】棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11C D 的中点，F 为棱BC 的中点.
(1)求证：1AE DA ⊥；
(2)求在线段1AA 上是否存在点G ，使AE ⊥面DFG .？试证明你的结论.
【分析】（1）先根据正方体的性质得到11DA AD ⊥，1DA AB ⊥，进而证明1DA ⊥面11ABC D ，故可得到结论；（2）首先根据正方体的结构特征确定点G 的存在性和具体位置，然后进行证明. 【解析】（1）连接1AD ，1BC ， 由正方体的性质可知11DA AD ⊥，1DA AB ⊥， 所以1DA ⊥面11ABC D ， 所以1DA AE ⊥.学-科网
【点评】以特殊几何体为背景的空中线面关系的探究性问题，很容易忽视几何体中的一些特殊的平行、垂直关系，导致探究性问题的结论、证明的思路受阻.如该题中（1）问需要利用棱与一组平行平面垂直的性质得到线面垂直关系，作为证明的起点；（2）问如果忽视（1）中结论的应用，则就无法判断结果，无法进行证明.
【小试牛刀】【2017届广东七校联合体高三上学期联考二】在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是
1,AD DD 的中点，2AB BC ==，过11A C B 、、三点的的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几
何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为
40
3
．
（1）求证：//EF 平面11A BC ； （2）求1A A 的长；
（3）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)41=AA ；(3)2
291=
P A . 【解析】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，可知1111//,AB D C AB D C =，由四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC .因为,E F 分别是1,AD DD 的中点，所以1//AD EF ，则1//EF BC ， 又EF ⊄面111,A BC BC ⊂面11A BC ，则//EF 平面11A BC ．
（2）∵111111*********
1040
22223233
ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V AA AA AA ---=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯==
， ∴14AA =．
因为11A D ⊥平面111,CC D D C D ⊂平面11C C D D ，∴111C D A D ⊥，而
11//,//QP CB CB A D ，∴11//QP A D ，
又∵11
11A D D Q D =，∴1C D ⊥平面11A PQC ,
且1A P ⊂平面11A PQC ，∴11A P C D ⊥， ∵111D C Q
Rt C CD ∆∆，∴
1111C Q D C CD C C =，∴11C Q =，又∵//PQ BC ，∴11
42
PQ BC ==． ∵四边形11A PQD 为直角梯形，且高1
5DQ =2
1129252A P ⎛
⎫=-+= ⎪⎝⎭
(二) 空间角的探索性问题
【例3】【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考】
如图，在四棱锥中,P ABCD PA -⊥平面,AD//BC,AD CD ABCD ⊥，且22AD CD ==
42,PA 2BC ==．
（1）求证：AB PC ⊥；
（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45°，如果存在，求BM 与平面
MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，需要利用线面垂直判定定理：先根据平几知识寻找线线垂直，如由等腰三角形性质得AB AC ⊥，又由条件PA ⊥平面ABCD ，得线线垂直：PA AB ⊥，这样就转化为线面垂直AB ⊥平面PAC ，即得AB PC ⊥（2）研究二面角大小，一般利用空间向量比较直接：先根据题意建立恰当的直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系列方程组，解出M 点坐标，确定M 点位置，再利用线面角与向量夹角互余关系求BM 与平面MAC 所成角的正弦值 【解析】
（1）证明：
如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形， 由已知22,2AD CD BC === 可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥，
又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，所以AB PC ⊥．．．．．．．．．．．．．．4分
在三棱锥M ABC -中，可得1
3
M ABC ABC V S MN -∆=
，设点B 到平面MAC 的距离是h ，1
3
B MA
C MAC V S h -∆=，
则ABC MAC S MN S h ∆∆=，解得22h =． 在Rt BMN ∆中，可得27BM =
，
设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则26
sin h BM θ==
． 法二：（作图法）
过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ，
过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角． 若045MGN ∠=，则NG MN =，又22AN NG MN ==，易求得1MN =，
即M 是线段PD 的中点． （以下同解法一） 法三：（向量计算法）
建立如图所示空间直角坐标系，则
()()()()()()
0,0,0,22,22,0,0,2,0,0,0,2,22,22,0,0,22,2A C D P B PD -
=-．
设()01PM tPD t =<<，则M 的坐标为()
0,22,22t t -． 设(),,n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则
00n AC n AM ⎧=⎨=⎩，得()22220
22220
x y ty t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，则可取21,1,t n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 又()0,0,1m =是平面ACD 的一个法向量，
所以02
21cos ,cos 45221t t m n
m n m n
t t -=
==⎛⎫+ ⎪
-⎝⎭
，
此时平面AMC 的一个法向量可取()()
1,1,2,22,32,1n BM =-=-，
BM 与平面AMC 所成的角为θ，则26
sin cos ,n BM θ==
． 【点评】空间角的探究性问题要注意两个方面：一是空间角的正确表示，即利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间角时要注意两者的准确转化；二是注意我们再利用方程判断存在性时，要特别注意题中的条件限制，如点在线段上等.
【小试牛刀】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AB BC AA ===，2
ABC π
∠=，D 是BC 的中
点．
（1）求证：1//A B 平面1ADC ； （2）求二面角1C AD C --的余弦值；
（3）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC
成3
π 角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .
由111ABC A B C -是直三棱柱，得四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC ∆中位线，所以1//A B OD ， 因为 OD ⊆平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC .
（2）解：由111ABC A B C -是直三棱柱，且2
ABC π
∠=，故1,,BA BC BB 两两垂直.
如图建立空间直角坐标系B xyz -.
则(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，(0,2,0)A ，1(2,0,1)C ，(1,0,0)D . 所以(1,2,0)AD =-，1(2,2,1)AC =-.
设平面1ADC 的法向量为(,,)n x y z =，则有100
n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
所以 20
220
x y x y z -=⎧⎨
-+=⎩， 取1y =，得(2,1,2)n =-.
易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)v =. 由二面角1C AD C --是锐角，得||2
cos ,3
||||n v n v n v ⋅<>==⨯.
所以二面角1C AD C --的余弦值为23
. （3）解：假设存在满足条件的点E .
因为E 在线段11A B 上，1(0,2,1)A ，1(0,0,1)B ，故可设(0,,1)E λ，其中[0,2]λ∈.
所以(0,2,1)AE λ=-，1(1,0,1)DC =. 因为AE 与1DC 成
3π
角，所以111|
|2
||||AE DC AE DC ⋅=⨯ 即21
|
|2
(2)12
λ=
-+⋅，解得1λ=， 所以当点E 为线段11A B 中点时，AE 与1DC 成
3
π
角. 【例4】如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱12AA =，底面ABCD 是菱形，2AB =，60ABC ∠=，
P 为侧棱1BB 上的动点．
（1）求证：1D P AC ⊥；
（2）在棱1BB 上是否存在点P ，使得二面角1D AC P --的大小为120？试证明你的结论.
【分析】（1）利用直四棱柱的结构特征，证明AC ⊥平面BB 1D 1D 即可得证结论.（2）可以利用空间线面关系做出二面角的平面角，根据二面角的大小列出方程，依据方程解的情况进行判断. 【解析】（1）连接BD ，则AC ⊥BD ， ∵D 1D ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥D 1D
∵D 1P ⊂平面BB 1D 1D ，∴D 1P ⊥AC ． （2）存在这样的点P ，下证明之. 连接D 1O ，OP ，
∵D 1A =D 1C ，∴D 1O ⊥AC ，同理PO ⊥AC ， ∴∠D 1OP 是二面角D 1—AC —P 的平面角． ∴∠D 1OP =120°．
O
P
D 1
C 1
B 1
A 1
D
B
A
设(02)BP x x =≤≤，
∵AB=2,ABC=∠60°，则3BO DO ==，
∴213,437PO x D O =+=
+=．
在111Rt D B P ∆中，2112(2)D P x =+-．
在1D OP ∆中，由余弦定理
120cos 2122121⋅⋅-+=PO O D PO O D P D 得2
1
37237)2(12222⋅+⋅⋅+++=-+x x x ，即2647(3)x x -=+．----10分 整理得231650x x -+=，解得1
3
x =
或5x =（舍）． ∴棱1BB 上是否存在点P ，使得二面角1D AC P --的大小为120，此时13
BP =
． 【点评】空间线面关系、空间角的探究问往往与空间线面关系的证明、空间角与距离的求解相结合综合命题，解决此类探究性问题可从两个角度解决，一是直接利用传统的几何方法进行逻辑推理，必须熟练掌握特殊几何体的结构特征，注意平行与垂直关系的利用；二是直接利用向量法，此种方法简单直接，但也存在这很多易错易混的问题，特别是直线的方向向量与平面的法向量之间的运算与空间线面关系、空间角之间的正确转化是一个易错点.要熟记结论，灵活运用几何体的结构特征进行判断，准确进行两类关系之间的转化.
【小试牛刀】 【云南大理2017届高三第一次统测】
在四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且
2
2
PA PD AD E F ==
、、，分别为PC BD 、的中点.
（1）求证：//EF 平面PAD ；
（2）在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C PD G --
的余弦值为3
3
，若存在，请求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为AB 的中点.
【解析】（1）证明：连接AC ，由正方形性质可知，AC 与BD 相交于点F ， 所以，在PAC ∆中，//EF PA ．
所以//EF 平面PAD ．
（2）取AD 的中点O ，连接,OP OF ， 因为PA PD =，所以PO AD ⊥，
又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，
以O 为原点，分别以射线,OA OF 和OP 为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，
O xyz -，不妨设2AD =．
则有()()()0,0,1,1,0,0,1,2,0P D C --，假设在AB 上存在点()1,,0,02G a a <<， 则()()()1,2,1,1,0,1,2,,0PC PD DG a =--=--=． 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，且底面是正方形， 所以CD ⊥平面PAD ，则CD PA ⊥， 由2
2
2
PA PD AD +=得PD PA ⊥，
所以PA ⊥PDC ，即平面PDC 的一个法向量为()1,0,1PA =-．
设平面PDG 的法向理为(),,n x y z =，由00PD n DG n ⎧=⎨=⎩即020x z x a --=⎧⎨+=⎩，亦即2z x
x y a =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，可取
(),2n a a =--．
所以2
3cos
,242m n m n m n
a =
=
=
⨯+． 解得1,1a a ==-（舍去）．
所以线段AB 上存在点G ，且G 为AB 的中点，使得二面角C PD G --的余弦值为3
3
． （三）空间距离的探索性问题
【例5】如图，已知AB ⊥平面,//,BCE CD AB BCE ∆是等腰直角三角形，其中2
EBC π
∠=
，且
22AB BC CD ===.
(1)在线段BE 上是否存在一点F ，使//CF 平面ADE ?
(2)求线段AB 上是否存在点M ，使得点B 到面CEM 的距离等于1？如果存在，试判断点M 的个数；如果不存在，请说明理由.
【分析】（1）问可利用线面平行的性质定理，利用过直线CF 的平面与平面ADE 交点的位置便可确定点F 的位置；（2）问设MB 的长度，利用等积变换求出B 到面CEM 的距离，构造关于MB 长度的方程，根据方程解的情况进行判断.
【解析】(1)当F 为BE 的中点时，//CF 平面ADE .
证明：取BE 的中点F 、AE 的中点G ，连结FG GD CF 、、
1
,//2
GF AB GF AB ∴=
1
,//2DC AB CD AB =
//CD GF ∴
CFGD ∴是平行四边形,//CD GD ∴ //CF ∴平面ADE
而222222(4)(2)2MH ME EH x x =-=+-=+. 故2211
2222422
MEC S EC MH x x ∆=
⨯⨯=⨯⨯+=+. 因为点B 到面CEM 的距离等于1， 所以2124133
B MEC
MEC x V S -∆+=⨯=. 而B MEC M BEC V V --=，所以224233
x x
+=， 解得2x =
.
所以在线段AB 上只存在一点M ，当且仅当2BM =
时，点B 到面CEM 的距离等于1.
【点评】探究线面平行问题时，应注意几何体的结构特征，也可根据是否能构造中位线或比例线段从而找出线线平行关系进行判断.该题易出现的问题是忽视点P 在线段AB 上的限制条件，误以为方程的解就是结果而忽视对λ的取值范围的技巧.
【小试牛刀】【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥底面 ABCD ，侧棱PA=PD 2ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为
3
？若存在，求出
AQ
QD
值；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
1
3
．
【解析】（Ⅰ）证明：在PAD
∆中PA PD
=，O为AD中点，所以PO AD
⊥．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD平面ABCD AD
=，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接AC、BO
假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为．
设QD x
=，则
1
2
DQC
S x
∆
=
因为//
BC AD，O为AD的中点，2
AD BC
=
所以//
BC OD，且BC OD
=
所以CD OB
=
因为AB AD
⊥，且1
AB AO
==
所以222
CD OB AB AO
==+=
O
P
A D
C
B
在Rt POC ∆中，2PC = 所以2PC CD DP ===
所以233
(2)42
PCD S ∆=
⨯=
由P DQC Q PCD V V --=，即11133
132
32
2
x ⋅⋅=⋅⋅
解得3
2
x =
所以存在点Q 满足题意，此时
1
3
AQ QD =． 解决此类探究性问题的基本思路就是设出参数，根据空间线面关系的判定和性质定理进行推理，或根据角、距离、体积等的求解方法用参数表示出相关的数据，建立关于参数的方程，根据方程解的存在性以及解的个数问题来处理.解题过程需要注意以下三个问题：
1.熟练把握空间线面关系的性质定理，在探究空间线面关系的有关问题时，可以把探究的结论作为已知条件，利用性质定理逐步进行推导；
2.熟练掌握求解空间角、空间距离以及几何体体积等的基本方法，通过设置合适的参数，建立关于某个参数的方程，转化为方程的解的问题进行探究；
3.合理设参，准确计算.探究性问题中的点往往在线段上或某个平面图形内，我们可以利用线段长度的比值设置参数，但也要注意参数的取值范围的限制.
四、迁移运用
1.【2018届高考数学高考复习指导大二轮专题复习】如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC ；类似地有命题：在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在平面BCD 内的射影为M ，则有S 2＝S △BCM ·S △BCD .上述命题是 ( )
A. 真命题
B. 增加条件“AB ⊥AC ”才是真命题
C. 增加条件“M 为△BCD 的垂心”才是真命题
D. 增加条件“三棱锥A －BCD 是正三棱锥”才是真命题
2.【福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查（3月）】矩形ABCD 中，BC =√2AB ，E 为BC 中点，将ΔABD 沿BD 所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论： ①存在某个位置，BD ⊥AE ； ②存在某个位置，BC ⊥AD ； ③存在某个位置，AB ⊥CD ； ④存在某个位置，BD ⊥AC . 其中正确的是（ ）
A. ①②
B. ③④
C. ①③
D. ②④
3.【浙江省嵊州市2017-2018学年高三第一学期期末】如图，正四面体A BCD -， P 是棱CD 上的动点，设CP tCD =（()01t ∈，）
，分别记AP 与BC ， BD 所成角为α， β，则（ ）
A. αβ≥
B. αβ≤
C. 当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦，时， αβ≥ D. 当102
t ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
，时， αβ≤
3.【北京市北京166中2017年10月高三月考】如图,在三棱锥111ABC A B C -中, 1AA ⊥底面
ABC ,190, 2.3BAC AB AC AA ∠=︒===. M 、N 分别为BC 和11B C 的中点. P 为侧棱1BB 上的动点.
（Ⅰ）求证: 1//A N 平面APM ; （Ⅱ）求证:平面APM ⊥平面11BB C C ;
（Ⅲ）试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直.若能垂直,求PB 的值;若不能垂直,请说明理由.
4．【2017届湖南师大附中高三上学期月考】如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，
60ABC ∠=︒，12AA AC ==，1122A B A D ==，点E 在1A D 上．
（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ； （2）当
1A E
ED
为何值时，1//A B 平面EAC ，并求出此时直线1A B 与平面EAC 之间的距离． 5．【2017届福建连城县二中高三上学期期中】如图1，在边长为12的正方形11''AA A A 中，
111////BB CC AA ，且3AB =，4BC =，1'AA 分别交1BB ，1CC 于点P ，Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，使得1''A A 与
1AA 重合，构成如图2所示的三棱柱111ABC A B C -．
（1）求证：AB PQ ⊥；
（2）在底边AC 上是否存在一点M ，满足//BM 平面APQ ，若存在试确定点M 的位置，若不存在请说明理由．
6.【2017届山东省胶州市普通高中高三上学期期末】如图，四边形ABCD 为梯形，AB//CD ，PD ⊥平面ABCD ，∠BAD =∠ADC =90∘，DC =2AB =2a ，DA =√3a ，E 为BC 的中点．
（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；
（2）线段PC 上是否存在一点F ，使PA//平面BDF ？若存在，请求出具体位置，并进行证明；若不存在，请分析说明理由．
7.【云南大理州2017届第一次统测】在四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面
ABCD ，且2
2
PA PD AD E F ==
、、，分别为PC BD 、的中点. （1）求证：//EF 平面PAD ；
（2）在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C PD G --的余弦值为3
，若存在，请求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.
8．【2017届江西省上饶市高三第一次模拟】如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，E 、F 分别是棱DD 1、C 1D 1的中点．
（1）求三棱锥B 1−A 1BE 的体积；
（2）试判断直线B 1F 与平面A 1BE 是否平行，如果平行，请在平面A 1BE 上作出与B 1F 平行的直线，并说明理
由．
9．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】已知正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E,F 分别是AC 和BC 边上的中点，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A-BC-B ．
（1）求二面角E-DF-C 的余弦值；
10．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，C ∆AB 中，O 是C B 的中点，C AB =A ，
2C 2AO =O =．将∆BAO 沿AO 折起，使B 点与图中'B 点重合．
（1）求证：AO ⊥平面C 'B O ；
（2）当三棱锥C 'B -AO 的体积取最大时，求二面角C 'A-B -O 的余弦值；
（3）在（2）条件下，试问在线段'B A 上是否存在一点P ，使C P 与平面'B OA 所成角的正弦值为2
3
？证明你的结论．
11．【2016届湖南省东部株洲二中六校高三12月联考】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面梯形ABCD 中，
//AB DC ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆是等边三角形，已知24BD AD ==，
2225AB DC BC ===PM MC m =，且0>m ．
（1）求证：平面PAD ⊥平面MBD ；
（2）求二面角A PB D --的余弦值；
（3）试确定m 的值，使三棱锥ABD P -体积为三棱锥MBD P -体积的3倍．
12. 如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A, B 的点，平面PAC
. PA=PC=AC=2，BC=4，E, F
分别是PC, PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为l ．
（1）求证：直线l 平面PAC ；
（2）直线l 上是否存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、 直线EF 所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．。