武汉中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

2020~2021学年度上学期武汉中学
高二年级期末质量检测
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．抛物线2
4y x =的焦点坐标为（ ）． A ．1,016⎛⎫
⎪⎝⎭B ．(1,0)C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫
⎪⎝⎭
2．已知命题:p x ∀∈R ，2240x x -+≤，则p ⌝为（ ）．
A ．x ∀∉R ，2240x x -+≤
B ．0x ∃∉R ，2
00240x x -+> C ．x ∀∈R ，2240x x -+≥D ．0x ∃∈R ，2
00240x x -+>
3．已知m ，n 为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）．
A ．若n α⊥，n β⊥，m β⊂，则m//α
B ．若m α⊥，αβ⊥，则m//β
C ．若m ，n 在γ内的射影互相平行，则m//n
D ．若m l ⊥，l αβ⋂=，则m α⊥
4．设一个回归方程为ˆ3 1.2y x =+，则变量x 增加一个单位时（ ）．
A ．y 平均增加12个单位
B ．y 平均增加3个单位
C ．y 平均减少1.2个单位
D ．y 平均减少3个单位
5．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（ ）． A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.6
6．已知m ∈R ，则“3m >”是“方程22
113
x y m m -=--表示双曲线”的（ ）． A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
7．胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor ，1781-1846）在其《大金字
1.618≈），泰勒还引用了古希历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方如，如图，若2h as =，则由
勾股定理，2
2
as s a =-，2
10s s
a a
⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因此可求得s a 为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英
尺的正方形（2856a =），顶点P 的投影在底面中心O ，H 为BC 中点，根据以上信息，PH 的长度（单位：英尺）为（ ）．
A ．611.6
B ．481.4
C ．692.5
D ．512.4
8．已知1F ，2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1
AF
，则离心率e 的取值范围是（ ）．
A ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．1,2⎛ ⎝⎭
D ．2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，下列命题正确的是（ ）．
A ．r 是q 的充要条件
B ．p 是q 的充分不必要条件
C ．r 是q 的必要不充要条件
D ．r 是s 的充分不必要条件 10．下列选项中正确的有（ ）． A ．一个数据的中位数与众数均有且只有一个
B ．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的回归
方程可能是ˆ0.4 2.3y
x =+ C ．将某选手的9个得分（不完全相同）去掉1个最高分，去掉1个最低分，则平均数一定会发生变化
D ．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，新的数据的离散程度越小
11．已知方程2
2
mx ny mn +=和0mx ny p ++=（其中0mn ≠且,m n ∈R ，0p >），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11D B 上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）．
A ．三棱锥1P A BD -的体积为定值
1
3
B ．过点P 平行于平面1A BD 的平面被正方体1111ABCD A B
C
D -截得的多边形的面积为
2
C ．直线1PA 与平面1A B
D 所成角的正弦值的范围为33⎣⎦
D ．当点P 与1B 重合时，三棱锥1P A BD -的外接球的体积为
2
三、填空题：本大题共4小题，共20分．
13．某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2
s =________．
14．已知正四棱柱的底面边长为2，侧面积为24，则此正四棱柱的外接球表面积为________． 15．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为4
()P A x
=
，1()P B y =，则x y +的最小值为________．
16．椭圆22
:194
x y C +=的右焦点为2F ，点P 为椭圆上的动点，点Q 为圆22:(4)1C x y +-=上的动点，
则2||PQ PF +的最大值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5．甲先摸出一个球记下编号为a ，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b ． （1）求“6a b +=”的事件发生的概率；
（2）若点(,)a b 落在圆2
2
21x y +=内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏公平吗？试说明理由．
18．某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图．其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100]．
（1）求频率分布直方图中a 的值；
（2）若采用分层抽样的方式从评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]的师生中抽取10人，则评分在[60,80)内的师生应抽取多少人？
（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿． 19．已知抛物线2
:2(0)C y px p =>，焦点为F ，准线为l ，抛物线C 上一点A 的横坐标为3，且点A 到焦点的距离为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点(6,0)P 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若以AB 直径的圆过点F ，求直线l 的方程． 20．某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如表所示：
（1）根据7至11月份的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）． 参考数据：
5
1
392i i
i x y
==∑，5
21
502.5i i x ==∑．
参考公式：回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-． 21．（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，
45ABC ∠=︒，SAB 是等边三角形．
（1）证明：SA BC ⊥； （2）若6BC =
，3AB SA SB ===，求二面角D SA B --的余弦值
．
22．如图，已知椭圆C 的离心率为
2
，点A ，B ，F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且
12
ABF
S
=-
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线:l y kx m =+与圆2
2
:1O x y +=相切，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值．
2020~2021学年度上学期武汉中学
高二年级期末质量检测
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．D 2．D 3．A 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．AB 10．BD 11．AC 12．BCD
三、填空题：本大题共4小题，共20分．
13．
16
5
14．17π 15．9 16．7+四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．【答案】（1）由题意可知，此题为古典概型，试验发生包含的所有基本事件有5525⨯=个，满足条件的事件包含的基本事件为：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．共五个，设“6a b +=”为事件A ，则51
()255
P A =
=． （2）这个游戏规则不公平，设甲胜为事件B ，试验包含的所有事件数为25，而满足条件的基本事件为(1,1)，
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)共13种，
∴131
()252
P B =
>， ∴对乙不公平．
18．【答案】（1）(0.0040.0220.0180.0280.022)101a +++++⨯= 解得0.006a =，
（2）由图知[60,80]的人数占总人数的50%，一共抽取10人，所以[60,80]内抽取5人
（3）450.04550.06650.22750.28850.22950.1876.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=平均数超过了75不需要整顿．
19．【答案】（1）抛物线2
2(0)y px p =>的准线方程为2
p
x =-，由抛物线C 上一点A 的横坐标为3， 根据抛物线的定义可知：342
p
+
=，记得2p =； 所以抛物线C 的方程为24y x =；
（2）由题意可知，直线l 不垂直于x 轴，可设直线方程为6x my =+，
则由246
y x x my ⎧=⎨=+⎩，可得2
4240y my --=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，1224y y =-；
因为以AB 直径的圆过点F ，所以0FA FB ⋅=，可得()()1212110x x y y --+=，
即()()()()()
2221212121255152524120250my my y y m y y m y y m m +++=++++=-+++=， 解得12m =±
，所以直线1
62
x y =±+，
所以2120x y +-=或2120x y --=． 20．【答案】（1）因为1(99.51010.511)105x =
++++=，1
(1110865)85
y =++++=，所以2
3925108ˆ 3.2502.5510b -⨯⨯==--⨯，则ˆ8( 3.2)1040a =--⨯=， ∴y 关于x 的同归直线方程为ˆ 3.240y
x =-+ （2）剩余数据为12月份，此时8.5x =，14y =，现进行检测，当8.5x =时，
ˆ 3.28.54012.8y
=-⨯+=，则ˆ||12.814 1.22y y -=-=<，所以可以认为所得的回归直线方程是理想的． （3）令销售利润为W ，则
22( 2.5)( 3.240) 3.248100 3.2(7.5)80W x x x x x =--+=-+-=--+．
∴当7.5x =时，W 取最大值．
所以该产品的销售单价为7.5元/件时，获得的利润最大．
21．【答案】（1）作SO BC ⊥，O 为垂足，平面SBC ⊥底面ABCD ， ∴SO ⊥平面ABCD ，又SA SB =，SOA SOB ≌ ∴OA OB =，45ABC ∠=︒，90AOB ∠=︒
AO BC ⊥，SO AO O ⋂=， BC ⊥平面SOA ，SA ⊂平面SOA ，
∴BC SA ⊥
（2）BC =
AB SA SB ===45ABC ∠=︒，∴AC ==ABC
是等腰直角三角形，O 是BC 的中点，OA ，OB ，OS 两两垂直，以OA ，OB ，OS 所在直线分别为x 轴，
y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭，2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2C ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
SA
的中点
44
E
⎛
⎝⎭
，(0,
AD=
，
424
EB
⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭
，
AD SA
⊥，EB SA
⊥，二面角D
SA B
--的大小等于,
AD EB
<>，cos,
3
AD
EB
<>=-
二面角D SA B
--的余弦值为
3
-．
22．【答案】（1）设椭圆方程
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>，
则(,0)
A a，(0,)
B b，(,0)
F c；
由已知可得：
22
2
2
3
4
a b
e
a
-
==，所以22
4
a b
=，
即2
a b
=
，可得c=①
11
||||()1
222
ABF
S AF OB a c b
=
⨯⨯=-=
-②
将①代入②，得
1
(2)1
2
b b
-=-
解得1
b=，故2
a=，c=
所以椭圆C的方程为
2
21
4
x
y
+=
（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为1
r=，
由直线：:l y kx m
=+
与圆22
:1
O x y
+=1
=，故有22
1
m k
=+③．
由
2
21
4
x
y
y kx m
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
消去y，可得()()
222
148410
k x kmx m
+++-=；
设()
11
,
M x y，()
22
,
N x y，则
122
8
41
km
x x
k
+=-
+
，
2
122
44
41
m
x x
k
-
=
+
④；
且OMN的面积
1
||
1
2
S MN
=⨯，
||
MN==⑤
代入③④到⑤，可得
||
MN==
所以OMN
的面积
1
||
2
S MN
==．
令2
41
t k
=+，则1
t≥，2
1
4
t
k
-
=，
代入上式可得：S===
S===
所以当3
t=，则2
413
k+=，解得
2
k=±时，S取得最大值，且最大值为1．。