宁夏育才中学高二上学期期末理科数学试卷

【最新】宁夏育才中学高二上学期期末理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知椭圆
116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7 2．K 为小于9的实数时，曲线与曲线
一定有相同的（ ） A ．焦距 B ．准线 C ．顶点
D ．离心率
3．动点P 到点及点
的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．一条射线
D ．两条射线
4．已知向量，
，且与
互相垂直，则的值是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=
6．实半轴长等于52，并且经过点)2,5(-B 的双曲线的标准方程是（ ）
A ．1162022=-y x 或1201622=-y x
B ．116522=-y x
C ．1162022=-y x
D ．120
162
2=-y x
7．已知动点),(y x P 满足10)3()3(2222=-++++y x y x ，则动点P 的轨迹是
（ ）
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．线段 8．在正方体ABCD -1111D C B A 中，求直线B A 1和平面CD B A 11所成的角为（ ）
A ．
12π B ．6π C ．4π D ．3
π 9．若c bx ax x f ++=24
)(满足2)1(='f ，则=-')1(f （ ）
A ．-4
B ．2
C ．-2
D ．4 10．下列命题正确的是（ ） A ．到x 轴距离为5的点的轨迹是y=5 B ．方程
1=y
x
表示的曲线是直角坐标平面上第一象限的角平分线 C ．方程0)1()(2
2
=-+-xy y x 表示的曲线是一条直线和一条双曲线 D ．02322
2
=+--m x y x 通过原点的充要条件是m=0 11．曲线在点处的切线方程为（ ） A ． B ． C ． D ．
12．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k ＝（ ） A ．2 B ．－1
C ．2或－1
D ．
二、填空题 13．若曲线在点
处的切线方程是
，则 a=_____；
b=_____．
14．以等腰直角△ ABC 的两个底角顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________． 15．已知
则
_____．
16．椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则△
的面积为________________．
三、解答题
17．请用函数求导法则求出下列函数的导数． （1）y ＝e sin x
21
x
y x =
-()1,120x y --=20x y +-=450x y +-=450x y --=
（2）y ＝
3
2
x x ++ （3）)32ln(+=x y （4）)12)(2(2
-+=x x
y
（5）)3
2cos(π
+
=x y
18．如图所示，正方体
中，
M 、N 、E 、F 分别是棱，
，
，
的中点，用空间向量方法证明：平面AMN ∥平面EFDB ．
19．已知函数f （x ）＝x 3＋x －16． （1）求满足斜率为4的曲线的切线方程；
（2）求曲线y ＝f （x ）在点（2，－6）处的切线的方程；
（3）直线l 为曲线y ＝f （x ）的切线，且经过原点，求直线l 的方程．
20．已知动圆P 与圆22
1:(3)81
F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程．
21．已知正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，12,4==AB AA ．
（Ⅰ）求证：1BD A C ⊥；
（Ⅱ）求钝二面角1
1--A AC D 的余弦值； （Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11A CD ⊥平面PBD ，若存在，求出
1
CP
PC
的值；若不存在， 请说明理由．
22．已知椭圆45952
2
=+y x ，椭圆的右焦点为F ． （1）求过点F 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长． （2）求以M （1,1）为中点的椭圆的弦所在的直线方程．
（3）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆于A ，B ，求弦 AB 的中点P 的轨迹方程．
参考答案
1．D 【解析】
试题分析：本题考查椭圆的定义：到两定点距离之和为定值的点的轨迹，两定点为焦点，距离之和为椭圆的长轴长．由题意可知长轴等于10，所以P 点到另一焦点的距离为7，所以正确选项为D ． 考点：椭圆概念． 2．A 【解析】
试题分析：利用双曲线和椭圆的简单性质求解． 解：∵K 为小于9的实数时，∴曲线
是焦点在x 轴的双曲线，
曲线的焦距为8，准线方程为x=，有四个项点，离心率为，
曲线的焦距为8，准线方程为x=，有两个顶点，离心率为．
∴曲线与曲线一定有相同的焦距．
故选A ．
考点：双曲线的标准方程；椭圆的标准方程． 3．C 【解析】
试题分析：根据题意可假设(,)x y P ，
，即
，两边同时平方并化简整理得
，
再进行一次平方并化简整理得
，即点
在横轴上，但是
，所以点
只
能是横轴的右侧的一部分，即一条射线，端点为．所以本题的正确选项为C ．
考点：求动点的轨迹．
【易错点睛】在解答本题时，很容易直接利用双曲线的定义：到两定点的距离之差为定值的动点的轨迹，直接得出轨迹为双曲线的一支；但是当距离之差等于两定点的距离时，动点的
轨迹不再是曲线，因为当动点与两定点不在一条直线上时，三点可围成三角形，根据三角形三边关系可知，两距离之差始终小与这个定值，也就是说三点式共线的，且是一条射线． 4．D 【解析】
试题分析：由向量的运算可知
，同理得
，与
互相垂直，即
，展开有
，解得
，所以本题的正确选项为D ．
考点：空间向量的运算． 5．A 【解析】
与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4
y x =在某一点的导数为4，而
34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A
6．C 【解析】
试题分析：双曲线的实半轴可能在横轴上，也可能在纵轴上，如果在横轴上，则可假设标准
方程为
12022
2=-b y x ，将点)2,5(-B 代入标准方程可求得2b 16=，所以此时标准方程为1162022=-y x ，当实半轴在纵轴上时，可假设标准方程为12022
2=-b x y ，将点)2,5(-B 代入标准方程，得4
125
2
-=b （舍去），所以双曲线标准方程为
1162022=-y x ．正确选项为C ． 考点：求双曲线的标准方程． 7．B 【解析】
试题分析：由等式关系可知点),(y x P 到两定点点)3,0(以及点），（3-0的距离之和等于10，且距离之和大于两定点间的距离，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹应该为以点)3,0(以及点）
，（3-0为焦点，半长轴等于5的椭圆．故正确选项为B ．
考点：椭圆的定义． 8．B 【解析】
试题分析：直接求B A 1在平面CD B A 11的投影比较困难，但是可利用等体积法，求得点B 到平面CD B A 11的距离，再利用三角函数求角．在正方体ABCD -1111D C B A 中，设棱长为1，则正方体1=V ，611=-BD A A V ，3
1
21121=-=--BD A A CD B A B V V V ，假设点B 到平面CD B A 11的距离为h ，则h S V CD B A CD B A B 21213
1
=
-，221=CD B A S ，所以22=h ，又21=B A ，则直线B A 1和平面CD B A 11所成的角的正弦值为
2
1
1=B A h ，所以直线B A 1和平面CD B A 11所成的角为
6
π
（只取锐角，舍去钝角），所以本题的正确选项为B ． 考点：等体积法求线面角． 9．C 【解析】
试题分析：c bx ax
x f ++=24
)(的导函数为bx ax x f 24)(3+='，则
224)1(=+='b a f ，即12=+b a ，2)2(2)1(2)1(4)1(-=+-=-⨯+-⨯=-'b a b a f ，所
以本题的正确选项为C ． 考点：导数的应用． 10．D 【解析】
试题分析：A 项中，到x 轴距离为5的点的轨迹是5=y 或者5-=y ，所以A 项错误；B 项
中，方程
1=y
x
所表示的是直线x y =，但是不包含点)0,0(，故B 项错误；C 项中，由方程可知1,1==y x 或者1,1-=-=y x ,即两个点)1,1(),1,1(--，所以C 项是错误的；D 项中，当0=m 时，02322
2
=--x y x ，过原点，所以0=m 充分条件，当曲线过原点时，将原点坐标代入方程有0=m ，所以0=m 是必要条件，可见02322
2
=+--m x y x 通过原点
的充要条件是0=m 是正确的；故正确选项为D ． 考点：判断命题的真假，动点的轨迹． 11．B 【解析】
试题分析：求曲线某点的切线，需要先求得该点的导数，1
-2x x
y =
的导函数为2
)1-2(1-x y ='，则曲线在点)1,1(处的切线斜率为1-)1-2(1
-2
==
k ，利用点斜式可求得切线方程为
，故正确选项为B ．
考点：利用导数求切线．
【方法点睛】求函数（曲线）在某点处的切线方程，经常使用点斜式，所以首先要求得该点的坐标以及切线的斜率，而切线的斜率等于函数在该点的导数值，所以求导数是求切线的关键步骤；本题同时也考查两函数相除的导函数的公式2
)]
([)
()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f '-'='． 12．A 【解析】 试题分析：假设
，因
是直线
与抛物线
的焦点，所
以A ，B 坐标必满足方程组
，消去得，为其两
根，则
，又的中点横坐标为，即
，可解得，当
时，方程
为
，由两个相
等的实数根，即A ，B 为同一点，与题干中条件矛盾，所以舍去，故本题的正确选项为A ． 考点：直线与抛物线的位置关系，中点公式．
【易错点睛】在解答本题时，由中点坐标公式容易得的值为或者
，因忽略条件A ，B
为两个不同点，而错误的选择C ，题中A ，B 为两个不同点，则其横、纵坐标都不是对应相等，便可利用一元二次方程的判别式就能够排除错误的答案． 13．
【解析】
20x y +-=
试题分析：利用导数求切线，先求导函数，的导函数为，则在点处的切线斜率为，利用点斜式可求得切线方程为，与已知切线方程比较可知．
考点：利用导数求切线．
14．
【解析】
试题分析：假设等腰直角三角形的直角边为，则其斜边为，由题意可知，焦距，，由椭圆的定义可知，则离心率．
考点：椭圆的定义．
15．-2
【解析】
试题分析：，则，化简整理得．
考点：导函数的运用．
【思路点睛】本题中可看作一个参数，因为题干中没有告诉特殊点的函数值，所以不能直接通过原函数求参数的值，因为是函数在点处的导数，所以要先
x ，求原函数的导函数，再求导函数时作为常量，求得导数的等式，代入2
方可求得的值．
16．9
【解析】
试题分析：椭圆，可得a=5，b=3，c=．设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a=10，m2+n2=（2c）2，联立解出即可得出．
解：∵椭圆，
∴a=5，b=3，c==4．
设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，
则m+n=2a=10，m 2+n 2=（2c ）2=64， ∴mn=18．
∴△PF 1F 2的面积=mn=9． 故答案为9．
考点：椭圆的简单性质． 17．（1）x e
y x
cos sin ='；（2）2)2(1+-
='x y ；（3）3
22
+=
'x y ； （4）4262+-='x x y ； （5）)3
2sin(2π
+-='x y ．
【解析】
试题分析：本题主要考查求函数的导数，其中（1）（3）（5）为复合函数的导数，利用公式)()())((x u u f x u f ''='，
（2）（4）主要考察函数的积与商的导数，利用公式)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='，及公式2
)]([)
()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f '-'='即可求得函数的导数． 试题解析：（1）x e y x
cos sin ='
（2）2
2)2(1)2()2)(3()2()3(+-=+'++-+'+=
'x x x x x x y
（3）3
22
)32ln(+=
+='x x y
（4）426)2(2)12(2)12)(2()12()2(2
2
2
2
+-=++-='-++-'+='x x x x x x x x x y （5）)3
2sin(2π
+
-='x y
考点：初等函数的导数． 18．证明见解析． 【解析】
试题分析：用向量法证明两平面平行或者垂直，首先要建立空间直角坐标系，本题中为
坐标原点，
为轴，
为
轴，
为轴，建立空间直角坐标，棱长为，则可
写出点
的坐标，先由向量求出平面的法向量1n ，同理由向量求出平面的法向量2n ，如果12n kn ，则平面
∥平面． 试题解析：证明：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标，设正方体棱长为2，各点坐标如下：A （2,2,0）,B （2,2,0）,E （1,2,2）,
F （0,1,2）,M （2,1,2），N （1,0,2）．
设平面AMN 的法向量为，，
设平面EFDB 的法向量为，，
可知，此时k=1，则平面AMN//平面EFDB ，得证．
考点：面面平行，向量的运用．
19．（1）4x-y-18=0或4x-y-14=0；（2）
；（3）13x-y=0．
【解析】
试题分析：（1）设切点坐标为（x 0，y 0），求出导数，求得切线的斜率，解方程可得切点的坐标，进而得到切线的方程；
（2）求出切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（3）设出切点，可得切线的斜率，切线的方程，代入原点，解方程可得切点坐标，进而得到所求切线的方程．
解：（1）设切点坐标为（x 0，y 0），
函数f （x ）=x 3+x ﹣16的导数为f′（x ）=3x 2+1，
由已知得f′（x 0）=k 切=4，即，解得x 0=1或﹣1， 切点为（1，﹣14）时，切线方程为：y+14=4（x ﹣1），即4x ﹣y ﹣18=0；
切点为（﹣1，﹣18）时，切线方程为：y+18=4（x+1），即4x ﹣y ﹣14=0；
（2）由已知得：切点为（2，﹣6），k 切=f'（2）=13，
则切线方程为y+6=13（x ﹣2），
即13x ﹣y ﹣32=0；
（3）设切点坐标为（x 0，y 0），
由已知得f'（x 0）=k 切=，且，
切线方程为：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），
即
，
将（0，0）代入得x 0=﹣2，y 0=﹣26，
求得切线方程为：y+26=13（x+2），即13x ﹣y=0．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 20．17
162
2=+y x ． 【解析】
试题分析：在坐标系中作圆221:(3)81
F x y ++=与圆222:(3)1F x y -+=，可发现并按照已知的相切条件画出圆P ，设圆P 的半径为r ，可求得圆心距离1,921-=-=r PF r PF ，发现21218F F PF PF >=+，由椭圆的定义可知，圆心P 的轨迹为一椭圆，求出椭圆的长半轴，以及短半轴，即可求得P 的轨迹方程．
试题解析：由已知：)0,3(1-F ，91=r ；)0,3(2F ，12=r ，设所求圆圆心P （x ，y ），半径为r 。

作图可得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1
921r PF r PF ，则有212168F F PF PF =>=+ 即点P 在以)0,3(1-F 、)0,3(2F 为焦点，2a=8，2c=6的椭圆上
7916222=-=-=c a b
则P 点轨迹方程为：17
162
2=+y x
考点：圆的位置关系，动点的轨迹．
21．（1）证明见解析；（2
）；（3）存在，1C 1C 3
P =P ． 【解析】
试题分析：（1）在正四棱柱中，因为共点的三条棱互相垂直，所以可建立空间直角坐标系，以D 点为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则可知C A BD 1,坐标分别为)0,2,2(--，)4,2,2(--，通过向量的数量积等于零，证明1BD A C ⊥；（2）对于钝二面角1
1--A AC D 的余弦值，可先求平面C AA 1与平面11CD A 的法向量，通过法向量求出钝二面角，再求余弦值；（3）先假设存在这样的点P ，同（2），求出两平面的法向量，两平面垂直，则其法向量也垂直，据此可求出点P 的坐标，求出1CP PC 的值． 试题解析：以D 点为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标如下：A （2,0,0）,B （2,2,0）,C （0,2,0）,D （0,0,0）
A 1（2,0,4）,
B 1（2,2,4）,
C 1（0,2,4）,
D 1（0,0,4）
（1）证明：BD=（-2,-2,0）, A 1C=（-2,2,-4）
BD·A 1C=--2⨯（-2）+（-2）⨯2+0⨯（-4）=0，即BD ⊥ A 1C 。

（2）解：设平面AA 1C 的法向量为),,(1111z y x n =
AA 1=（0,0,4），AC=（-2,2,0）
)0,1,1(0
2204111111=⇒⎩⎨⎧=+-=⋅==⋅n y x n AC z n AA
设平面A 1C D 1的法向量为),,(2222z y x n =， D 1A 1=（2,0,0），A 1C =（-2,2,4）
)1,2,0(0
422022222212211=⇒⎩⎨⎧=-+-=⋅==⋅n z y x n C A x n A D 5105
22,cos 212121=⨯=⋅⋅>=<n n n n n n 即钝二面角A-A 1C- D 1的余弦值为510-
（3）设点P （0,2，m ）)40(≤≤m ，设平面PBD 的法向量为),,(0000z y x n = DB=（2,2,0） DP=（0,2，m ）
)2,,(0
20220000000m m n mz y n DP y x n DB -=⇒⎩⎨⎧=+=⋅=+=⋅ 由平面11A CD ⊥平面PBD 得： 020=⋅n n 可得m=1
综上：存在点P ，且满足3
11=PC CP 考点：平面的法向量，用向量法求二面角．
【方法点睛】题中所给几何体是一个正四棱柱，从任何一个定点出发的三条棱都互相垂直，所以建立空间坐标系，这样可以利用向量法来进行证明，能使得证明难度大大降低；本题第一问也可用空间几何进行求证，如第一问中，可先证得BD 与平面C AA 1垂直，再证明1BD A C ⊥，而对于第二，三问用空间几何难度明显较大．其次，要注意所求的平面法向量可以是单位向量，也可以不是单位向量．
22．（1）7
30；（2）5x+9y-14=0；（3）0109522=-+x y x ． 【解析】
试题分析：（1）先将直线与椭圆联立，消去y 便能得到两交点横坐标的关系，利用“弦在横轴上的投影等于两交点横坐标之差”可以求得弦长；（2）中点已知，关键要求得直线的斜率，由中点公式1221=+x x ，1221=+y y ，代入点B A ,的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+4595459522222
121y x y x ，经过化
简变形能够求得斜率，从而求得直线的方程；（3）P 为AB 中点，
则P 的坐标为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x ，且PF 与AB 共线，所以具有相同的斜率，即2
0--=x y k ，代入B A ,的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45
95459522222121y x y x 中进行化简整理，即可得到点P 的轨迹方程． 试题解析：椭圆15945952
22
2=+⇔=+y x y x ，右焦点为F （2，0） （1）过点F （2，0）且斜率为1的直线为y=x-2，设l 与椭圆交于点A ),(11y x ，B ),(22y x ⎩⎨⎧-==+2
459522x y y x 消去y 得0936142=--x x 71821=+x x ，14
921-=⋅x x ()7
3041212212=-++=x x x x k AB （2）设l 与椭圆交于A ),(11y x ，B ),(22y x ，由已知得1221=+x x ，12
21=+y y ，2
121x x y y k --= ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45
95459522222121y x y x 两式相减得：0))((9))((521212121=-++-+y y y y x x x x 0)(9)(521
212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++x x y y y y x x
095=+k 即9
5-=k L 方程为y-1=9
5-（x-1） 即5x+9y-14=0 （3）设点P （x ，y ），A ),(11y x ，B ),(22y x ，且⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x
FP AB k k =即2
02121--=--=x y x x y y k ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45
95459522222121y x y x 两式相减得：0))((9))((521212121=-++-+y y y y x x x x 0)(9)(521
212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++x x y y y y x x
0295=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+x y y x 整理得：0109522=-+x y x
AB 中点的轨迹方程为0109522=-+x y x
考点：中点公式，斜率的运用，动点的轨迹．
【方法点睛】在求直角坐标系中线段的长度时，利用两点间距离公式求线段长度，也可以线段为斜边，构造一个直角三角形，而两直角边分别为两端点坐标之差，这样能利用解三角形求得线段长度；求动点的轨迹，因为动点在运动时，总是满足一定的条件的（即动中有静，变中有不变），所以可设动点的坐标为),(y x ，选择适当的公式（如两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两点连线的斜率公式，两直线（向量）的夹角公式，定比分点坐标公式，中点公式等），或一些包含等量关系的定理、定义等，将题设条件转化成y x ,之间的关系式（等式），从而得到动点的轨迹方程．。