高二数学抛物线定义几何性质2
高二数学抛物线的简单几何性质2
| AB | 2 p
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
抛物线的简单几何性质(2)
一、抛物线的几何性质：
性质
方程
设抛物线方程为： y 2 2 px, ( p 0)
l
y
d
M
图形
K
O
F
x
范围 对称性
顶点坐标
x 0, y R 关于 x轴对称 坐标原点(0,0)
e 1
p | MF | x0 , 2 M ( x0 , y0 )
离心率 焦半径 通径
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1、B1、P 1，依据 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
p1
2P 的 | AB | 2 sin
y
A
F1 O F2
y
l
x
F1 O
l
A
F2
d1 d2
B
B
x
y
y
F1
.
抛物线的简单几何性质
x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围：
1. l与抛物线有且仅有一个公共点；
2. l与抛物线恰有两个公共点；
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
（4） 离心率：
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0）
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
（p＞0）
y
x
l l F x
（p＞0）
y
F
O l
（p＞0）
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 （0,0） e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．
归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程；
2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点； ②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切； ⊿>0 直线与抛物线相交；
高二数学抛物线的几何性质2
o
N C
AD BC 2(
1 y) 4
p 1 y y, 2 4
AD AF , BC BF
AF BF 2( 1 y) 4
ABF中, AF BF AB 2
2( y 1 3 ) 2, 即y 4 4
1.过抛物线 y ax ( a 0) 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，
2 y 例2、已知过抛物线 2 px( p 0) 的焦点F的 ) 直线交抛物线于 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 两点。
（1）x1 x2 是否为定值？y1 y2 呢？ 1 1 （ 2） 是否为定值？ | FA | | FB |
y
A ( x1 , y1 )
F
这一结论非常奇妙,
y12 2 px1 y1 y2 2 px1 2 px 2 px ∴ y ∴ y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p ∵ y12 2 px1 , y1 y2 4 p2 ∴ y y1 y2 y1 y2 2p ∴ y ( x 2 p) ∴ AB 过定点（2p,0）. y1 y2
2.4.2抛物线的简单几 何性质(2)
复习：
图 形
y
l
O F
1、抛物线的几何性质
方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( , 0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2 x2 = 2py p p F (0, ) y 2 2 x （p>0） x2
第2课时抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的简单几何性质一、抛物线的性质1．抛物线2y ＝2px(p>0)的简单几何性质(1)对称性：以－y 代y ，方程2y ＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.(5)范围：由y2＝2px ≥0，p>0知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p 值越大，它开口越开阔． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.p 表示焦点到准线的距离，p >0.p 值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄。
4．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋p ；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝42p ，y 1·y 2＝2p.题型一、抛物线的对称性例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[解析] 如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°.∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p . 于是|AB |＝2y 1＝43p . 例2、等腰Rt △ABO 内接于抛物线2y ＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是()A ．82pB ．42p C ．22pD ．2p[答案] B题型二、抛物线焦点弦的性质例3、斜率为2的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 例4、过抛物线2y ＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|的值为_____________．[答案] 10 题型三、最值问题例5、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P 点，故最小值为22＋12，即 5. (2)如图把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1.此时，由抛物线定义知： |P 1Q |＝|P 1F |.那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4. 即最小值为4. 例6、定点M ⎪⎭⎫⎝⎛310,3与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,81 [答案] C例7、设抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．[正解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，当p >0时，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p ，由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2，所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. 当p <0时，同理可得p ＝－2，∴F (－1,0)， ∴圆F 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°，由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 的距离的比值为3. 课后作业一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214pB.212pC.136p D.1336p [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32p y 1＝3p. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝94p 2＋3p 2＝212p . 3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.4．抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( ) A.102B ．2 C. 5 D.52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 5．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0 B ．4x －3p ＝0 C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1， 即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．[答案] π4或3π4[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π4.7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题8．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。
抛物线的知识点高二
抛物线的知识点高二抛物线的知识点抛物线是一种经典的曲线形状，它在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍抛物线的基本定义、性质和公式，以及一些与抛物线相关的重要知识点。
一、抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。
定义中的焦点和准线的位置关系决定了抛物线的形状。
当焦点位于准线之上时，抛物线开口朝上；当焦点位于准线之下时，抛物线开口朝下。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线具有轴对称性，即关于准线对称。
2. 焦点和准线的距离相等性：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。
3. 点的坐标：设焦点为F，准线为x轴，抛物线上任意一点P的坐标为（x，y），则有y² = 2px，其中p是焦距。
4. 切线与焦准关系：抛物线上任意一点P处的切线与焦准线之间的夹角等于切线和准线之间的夹角。
三、抛物线的公式1. 基本形式：对于抛物线的基本形式y²= 2px，焦点在原点处，准线为x轴。
2. 平移形式：对于平移后的抛物线，坐标平移量为(a, b)，则公式变为（y - b）² = 2p（x - a）。
3. 顶点形式：对于抛物线的顶点形式，坐标顶点为(h, k)，则公式变为（y - k）² = 2p（x - h）。
4. 标准方程与顶点形式的关系：标准方程y² = 2px可通过平移得到顶点形式（y - k）² = 2p（x - h）。
五、与抛物线相关的重要知识点1. 抛物线的焦距：焦距p是决定抛物线形状的重要参数，它决定了抛物线的开口大小。
2. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程是用参数t表示抛物线上的点坐标，参数方程为x = 2at，y = at²。
3. 抛物线的平移与旋转：抛物线可以通过平移和旋转的方式进行变换，改变其位置和方向。
4. 抛物线的应用：抛物线在物理学中有广泛应用，例如在抛物运动、射击问题和天体运动等方面。
2.3.2抛物线的简单几何性质
x≤0
y∈ R y≥0 (0,0) 1
x∈ R y ≤0
x∈R
y
O F
y轴
l 2 x = -2py F (0, p ) x
（p>0）
2
p y 2
例3 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点,并且过点 M(2, 2 2 ),求它的标准方程. 例4 斜率为1的直线l经过抛物线 y2 = 4x的焦点F，且与抛物 线相交于A,B两点,求线段AB的长. 方法1：求出A,B两点坐标，用两点间距离公式求|AB|. 方法2：利用|AF|=dA到准线， |BF|=dB到准线，表示|AB|. 例5 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k, 当k为何值时，直线l与抛物线:只有一个公共点；有两个公共 点；没有公共点.
o
p 2
p 2.o xy源自p 0, 2 . o
y2=2px
y
x
.o
y
x
o
.
y x
.
o
y x
y2= -2px
x2=2py
x2= -2py
方 程 特 点
（1）方程的左边是二次项，等号的右边是一次项；
（2）焦点在一次项的那个轴上，坐标是一次项系数的
（3）抛物线的准线的方程是一次项系数的— （4）焦点到准线的距离为p
2.3.2 抛物线的简单几何性质
y2=2px 1.范围： x≥0,y∈R 抛物线关于x轴对称。 2.对称性： 对称轴叫做抛物线的轴。 3.顶点: （0，0) 叫做抛物线的顶点。 4.离心率:
K
d
o
﹒ F x
M
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距 离之比，叫做抛物线的离心率。e=1
3.3.2抛物线的简单几何性质(二)课件高二上学期数学人教A版选择性
①
p
p
2
则F , 0 , 设直线AB的方程为x my , 将其代入y 2 px , 得
(2)当AB垂直于对称轴时,焦点弦最短;
(3)A,B 两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值,即
1
(4)
||
+
1
||
=
2
x1x2= ,y1y2=-p2;
4
2
;
(5)以AB为直径的圆必与准线相切,以AF为直径的圆必与y轴相切.
2.做一做:(1)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,
2
2
因为焦点F的坐标是 , 0 , 当y0 p 时,
2
2 py0
p
直线AF的方程为y 2
x
④
2
y0 p
2
y
A
联立①④ , 消去x ,
可得y0 y 2 ( y02 p 2 ) y y0 p 2 0,
即( y y0 )( y0 y p ) 0.
程,联立方程组求解.
(2)①设出直线方程,直线方程与抛物线方程联立,根据焦点弦长公式求解.
②根据①求出点 A,B 的坐标,设出点 C 的坐标,由 = +λ,可用 λ 表
示点 C 的坐标,根据点 C 在抛物线上求出 λ 的值.
解:①直线 AB 的方程是 y=2 2
从而有 4x -5px+p =0,所以
(1)当a+1=0,即a=-1时,方程①是关于x的一元一次方程,解得x=-1,
= -1,
这时原方程组有唯一解
= -1.
(2)当a+1≠0,即a≠-1时,方程①是关于x的一元二次方程.
高中数学抛物线知识点 (2)
抛物线知识点1、掌握的定义 :平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线2、方程、图形、性质标准方程22(0)y pxp =>22(0)y pxp =->22(0)x pyp =>22(0)x py p =->图形统一方程焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0)(0,0) (0,0) (0,0)离心率 1e =1e =1e =1e =焦半径3、 通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为 ；4、 抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；5、 注意强调p 的几何意义： 。
方程及性质1、抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是x 轴,抛物线过点(5-,25),则抛物线的标准方程是( )A.y 2=-2xB.y 2=2xC. y 2=-4xD.y 2=-6x2、抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ）(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 3、抛物线28y x =的焦点坐标是_______ 4、抛物线22x y =的准线方程是_____________;5、设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
6、过点(2,2)P 的抛物线的标准方程是____________.7、对于抛物线x y 42=上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是 A ．)0,(-∞ B ．]2,(-∞ C ．[0，2] D ．（0，2）8、设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 是抛物线上一点，若4-=⋅AF OA ，则点A 的坐标是（ ）o F x y l ox yF lx yoF lA ．)22,2(),22,2(-B ．（1，2），（1，－2）C ．（1，2）D ．)22,2( 9、在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax x b x a 与的曲大致是( )A ．B ．C ．D ．10、已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，双曲线22221x y a b-=和抛物线22y px = (p ＞0 )的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则（ ） A. e 1e 2＜e 3 B.e 1e 2＝e 3 C. e 1e 2＞e 3 D.e 1e 2≥e 3抛物线曲线几何意义11、动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等,则P 的轨迹方程为____. 12、已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切,则p 的值为 (A)12(B) 1 (C)2 (D)4 13、以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=014、点P 到点1(,0)2A ，(,2)B a 及到直线12x =-的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是( ) A ．21 B ．23C ．21或23D ．12-或2115、点M 与点()0,4F 的距离比它到直线05=+x 的距离小1,求点M 的轨迹方程。
抛物线的简单几何性质(第2课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
|MF|=|MN|= (3 + 1)2 + (2 3 − 2 3)2
=4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形.
∴点M到直线NF的距离为2 3.
2
=4.
1−cos60°
点M到直线NF的距离为4×
3
=2
2
3.
典例精析
题型二：与抛物线有关的定点、定值问题
例3 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(−2)2
设A(x1,y1),则x1= 2
=
2 −4+4
.
2
典例精析
题型二：与抛物线有关的定点、定值问题
例3 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
解 由焦点弦长公式知|PQ|=x1+x2+p=4p.
跟踪练习
3.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( A )
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
解 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，
由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，
或(x-11)2+(y+6)2=144.
典例精析
题型一：抛物线的焦点弦
例2 过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 3的直线交C于点M(M在x轴的上方),
l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(
抛物线的简单几何性质
总结
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口
越大.
原点例，１三并：、且已典经知例过抛精点物析M线（关２于，x轴坐对标）称轴，，求它它的的顶标点准在方坐程标.
2 2 解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点M（２，2 2 ），
所以设方程为： y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2 p 2 p 2
因此所求抛物线标准方程为：y2 4x
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论
抛物线相交于A, B两点，求线段AB的长。
由已知得抛物线的焦点为F (1,0),
y
所以直线AB的方程为y x 1 A’
A
代入方程 y2 4x,得(x 1)2 4x,
化简得x2 6x 1 0.
OF
x
x1 x2 6
B’ B
AB x1 x2 2 8
所以，线段AB的长是8。
抛物线的焦点弦的特征
段AB的长。
A A`
OF
解这题,你有什么方法呢?
B` B
x
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F,且与
高二数学抛物线的简单几何性质2(新编201910)
另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组， l y
我们还可以推得以下结论：
(1)若直线的倾斜角为，则| AB | 2P .
A1
A
sin2
(2) A、B两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为 p1
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点F， 设A(x1, y1)、B(x2, y2 )，弦AB的中点为P(x0,y0 ).
从点A、B、P分别向抛物线的准线作
ly
垂线，垂足分别为A1、B1、P1，依据
A1
A
抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
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| AB | 2 p
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|,
高二数学抛物线的简单几何性质2
探究2 既然过抛物线焦点的直线与 其相交，交点的纵坐标的乘积是一 个定值，那么过抛物线对称轴上其 他任意一定点，是否也有这个性质 呢?
探究3 设抛物线 y2 2 px 上两动点
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，且满足 y1 y2 k(k为 常 数)，问AB是否恒过
某一定点？
y A(x1,y1)
M1
p2 (2)x1x2= 4
B1
,y1y2= - p2
(3) 1 1 2
| AF | | BF | P
M
OF
X
B(x2,y2)
(4) A,O, B1三 点 共 线, B, O, A1三 点 共 线
y
A1
y2=2px(p>0) M1
A(x1,y1)
MN OFB1来自B(x2,y2)探究4 设抛物线 y2 2 px 上两动点
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，且满足 y1 y2 k(k为 常 数)，求AB中点P的
轨迹方程.
探究5 设抛物线 y2 2 px 上两动点
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，O为坐标原点，
OA⊥OB，则直线AB是否过定点？ 求AB中点P的轨迹方程.
数)，求证：直线AB过定点。
将“探究6”的MA MB “直线MA 与直线MB的倾斜角之差为900”变为 “直线MA与直线MB的倾斜角之和
为900”，即kMA kMB r ，r =1,直线
AB过定点.
将“探究6”的MA MB “直线MA 与直线MB的倾斜角之差为900”变为 “直线MA与直线MB的倾斜角之和 为1800”，直线AB不过定点，但可得
探究8 若M为抛物线 y2 2 px( p 0)
抛物线的几何性质(二)
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三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。——马克思
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三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知
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三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。——萧绛
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三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。——佚名
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三十六、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。——佚名
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三十七、一块砖没有什么用，一堆砖也没有什么用，如果你心中没有一个造房子的梦想，拥有天下所有的砖头也是一堆废物；但如果只有造房子的梦想，而没有砖头，梦想也没法实现。——俞敏洪
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三十八、如意算盘，不一定符合事实。——奥地利
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二、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。——林语堂
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三、多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争朝夕。尊敬的，也让人羡慕。当大多数人碌碌而为为现实奔忙的时候，坚持下去，不用害怕与众不同，你该有怎么样的人生，是该你亲自去撰写的。加油！让我们一起捍卫最初的梦想。——柳岩
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五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
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六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙
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七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏
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八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名
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二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅
高二数学抛物线知识点
高二数学抛物线知识点在高中数学中，抛物线是一个重要的几何形状，它在物理、工程和计算机科学等领域中都有广泛的应用。
学习抛物线的知识可以帮助学生更好地理解和应用数学原理。
在高二数学课程中，学生将会学习关于抛物线的基本概念、性质和相关公式。
本文将以多个方面来介绍高二数学中的抛物线知识点。
一、抛物线的基本定义抛物线是一种特殊形状的二次曲线，它由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定。
具体而言，抛物线是所有到焦点距离和到准线距离相等的点组成的图形。
抛物线由一个开口向上或向下的弧线组成，其形状特征能够通过方程或者图形来描述。
二、抛物线的标准方程在高二数学中，抛物线的标准方程是一个重要的知识点。
对于一个开口向上或向下的抛物线，其标准方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。
通过标准方程，我们可以了解抛物线的开口方向、顶点坐标以及其他重要属性。
三、抛物线的顶点和焦点抛物线的顶点是图形的最高点或最低点，它在数学问题中起到重要的定位作用。
对于一个开口向上或向下的抛物线，顶点的 y 坐标是抛物线函数的最大值或最小值。
顶点坐标可以通过标准方程或者其他数学方法来确定。
抛物线的焦点是抛物线曲线和准线的交点，它在抛物线的几何构造中发挥重要作用。
焦点坐标的确定同样可以通过标准方程来实现。
焦点是抛物线的特殊点之一，它在许多物理和工程问题中具有重要的几何意义。
四、抛物线的对称性和切线抛物线具有一些重要的几何性质，其中之一是对称性。
对称轴是指通过抛物线顶点并垂直于准线的直线。
抛物线关于对称轴具有对称性，即对称轴上的任意点关于对称轴可以找到另一个点与之对称。
对称性是抛物线在计算和应用中的一个重要特征。
在抛物线上的每个点处，可以找到一条切线，它与该点的切点相切于抛物线。
切线是指与曲线仅仅在某一个点处相切的直线。
切线的斜率与抛物线在该点的斜率相等，因此可以通过求导来求得切线的斜率。
切线在计算动力学和微积分问题中有广泛的应用。
抛物线的几何性质 (2)
抛物线的几何性质抛物线是数学中一种重要的曲线形式。
它具有许多有趣的几何性质，是数学研究和应用领域中的常见对象。
本文将介绍抛物线的基本定义、性质和应用。
1. 抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。
在数学上，我们可以通过以下方式定义抛物线：•定义焦点为F，准线为直线L。
•抛物线是到焦点F的距离等于到准线L的距离的所有点的轨迹。
2. 抛物线的基本性质抛物线具有以下几何性质：对称性抛物线具有关于准线的对称性和焦点的对称性。
即，对于抛物线上的任意一点P，将其关于准线L作垂线交准线于M，焦点F在准线上的垂线下的点O，那么点M和点O关于准线L对称。
焦点与准线的关系对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离等于到准线L的距离。
此外，焦点F与准线L的距离称为抛物线的焦距。
顶点抛物线的顶点是抛物线的最高（或最低）点，位于准线与对称轴的交点，记为V。
顶点V是抛物线的对称中心，所以对于任意一点P，连结顶点V和点P的直线都与准线L垂直。
焦直线抛物线的焦点F到抛物线上任意一点P的连线与准线L垂直，这条垂线称为焦直线。
焦准直线焦点F和准线L的连线称为焦准直线，它垂直于抛物线的轴线。
曲线的标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
3. 抛物线的应用抛物线的几何性质在现实世界中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：物体运动轨迹当物体受到一个竖直向下的恒力作用时，它的运动轨迹往往是一条抛物线。
例如，抛出的物体，如炮弹、子弹等，它们的运动轨迹可以用一条抛物线来描述。
天然天体许多天然天体的形状和运动也可以用抛物线来描述。
例如，行星的运动、小行星的轨道等都可以近似为抛物线。
镜面反射在光学中，抛物面反射镜被广泛应用于望远镜、车灯、卫星天线等设备中。
抛物面反射镜具有将光线聚焦到一个点的特点，故而能起到放大和聚焦的作用。
抛物线拱门抛物线也经常用于建筑中的拱门设计。
抛物线的几何性质2
F
(0,
p) 2
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y≤0 x∈R
y轴
2、通径： y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P( x0 , y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
2p yA yB
(x xA)即
y
2p yA yB
(x
yA yB ) 2p
而因为OA⊥OB ，可知 xAxB yA yB 0 推出 yA yB 4 p2 ，代入
即：x12 x22 2 px1 2 px2 0， y
（x1 x2）（x1 x2 2 p） 0.
A
x1 0，x2 0，2 p 0，
O
x
x1 x2 .
B
由此可得 | y1 || y2 |，即线段AB关于x轴对称.
设A( x1, y1 )因为x轴垂直于AB，且AOx 30o，
y
A
y2=2px
O
C(2p,0) x
B
L:x=2p
证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 KOA =1，KOB =-1 因此OA⊥OB
变题1 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B
两点，求证：OA⊥OB.
证明（1）当直线l斜率存在时设 其方程为y=k(x-2p)
由已知条件可得点A的坐标是 （40，30），代入方程可得
抛物线的二级结论高中
抛物线的二级结论高中抛物线是高中数学中以描述物体经过重力加速下落或弹射而上升运动的曲线。
本文将主要介绍抛物线的几何定义和特点，以及抛物线的几何求解、性质及典型问题的分析思路。
抛物线的几何定义抛物线是满足某一关系式的曲线，这个关系式通常是一元二次方程：y＝ax2＋bx＋c或者是参数方程：x＝at2，y＝bt3其中a、b、c为常数，t为参数。
它是空间曲线，但在数学中，它以二维平面形式存在。
抛物线的特点抛物线有以下几个特点：首先，它是由多条直线段拼接成的，因此，它是一种连续的曲线；其次，它的几何形状是“半椭圆”形的，它的凸度满足：根据椭圆的特性，它的形状有明显的不对称性，它的一边是凸起的，相反的一边是凹下的；此外，抛物线具有可积性，可以求解出它的积分；最后，抛物线两条轴线对称，在数学上抛物线的方程也是对称的。
抛物线的几何求解1、夹角法抛物线的求解，可以利用夹角法，即不断地找到与x轴、y轴、抛物线有夹角的线段，从而确定抛物线的形状。
由于抛物线的组成为多条直线段，因此，当把这些线段根据它们的夹角来确定，就可以求解抛物线的形状了。
2、椭圆法根据抛物线的几何性质，可以把它看做由多条椭圆段拼接而成，可以用椭圆法来求解抛物线。
即根据椭圆线段的几何性质，首先求解出椭圆段的长短轴，再把椭圆段拼接起来，即可组成抛物线。
抛物线的性质抛物线的形状决定了它的性质，最明显的是连续性：抛物线的曲线性使它的性质可以连续地变化。
另外，抛物线的可积性也使它具有可计算性，可以求出它的积分，也可以求出其极限。
此外，抛物线的二次函数形式也是其比较显著的性质，使它在数学上有着几何意义，也正是基于此，可以对抛物线进行更多有效的分析，了解它的其他几何性质。
高二数学抛物线的几何性质2
只 有 一 个 交 点 不 一 定 就 相 切
结论
1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物 线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(1)x1x2=p2/4;
(2)y1y2=-p2;
(3)|AB|=x1+x2+p
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
小结
1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物 线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (1)x1x2=p2/4; (2)y1y2=-p2; (3)|AB|=x1+x2+p/2 (4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ (5)以AB为直径的圆与准线相切. 2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物 线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),
1.点在抛物线外 2.点在抛物线上 3.点在抛物线内
y02-2px0>0 y02-2px0=0 y02-2px0<0
直线与抛物线
1.直线与抛物线相离
y
0
2.直线与抛物线相切
O x
0
3.直线与抛物线相交
0
(有两个不同的交点相交)
证明或二次项系数为 :与抛物线y2=2px(p>0) 0,方程( 的对称轴 组 )只 平行的直线和抛物线只有一个交点 有一解,只有一个交点相交 .
1 1 2 点弦,求证: | FA | | FB | p
4. AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A、B在准线 上的射影分别为M、N,求证:以MN为直径的圆与 AB相切于焦点F.
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A
y 2 px1
2 1
，
y2 2 px2
2
o
x
又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22 即 ：x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,
抛物线是一种常见的圆锥曲线， 我们要掌握它的定义、标准方程及 几何性质，并能灵活运用它们解决 生活中实际的问题。
作业：P123 习 题8.6 T4,T5。
同学们 再见
；
/ 东营搬家公司，有那么点儿不舒服的感觉。他想想，公公派出来的信使，也是个公公吧？公公少了点东西，所以不舒服， 也是情有可原吧？便还是殷勤接待上了，问他：“这是口信吗，要您特地捎来？”他也不知来人何阶何品，反正京里特使，客气些总是没错的。 唐太守让座，号称带了回信的来人只是“唔”了一声，便大模大样往主位上坐了。他年纪轻轻，唐太守头发胡子都白了，他难道回太守一份客 气都不可以吗？！唐太守心中窝火，碍着有求于人，也不敢发火，仍然赔着笑脸，求问那公公的答复。来人哼了一声，袖子里扔出一封信来， 是唐太守传进京中求救的信。唐太守不知何意，心里的火是噌噌的更往上蹿：你小子是来救场子的还是来砸场子的？！当场就想翻脸。那人袖 子里又丢出一封信来，这次是唐太守那相熟公公的回信了，唐太守心头一喜，也就不跟这狂妄的毛头小子计较，先拆信要紧。拆下来，越读， 唐太守额头上越是见汗。全读完了，他就跪下去了：“臣，万死，千岁殿下饶臣狗命！”相熟的那位公公，在信里用不容认错的笔迹，痛哭流 涕的向唐太守汇报：信，被七王爷本尊截到了，七王爷要亲自来锦城一趟，请太守准备好认罪吧。唐太守于是不但跪下，并且开始叩头，一边 叩一边想：“我是没见过七王爷，不过上头这人相貌，跟当今几位宗亲，果然也是有些相似的，气派就更像了„„但万一是有人开玩笑呢？哎 呀这太荒唐了——哎呀，地板咋就这么硬？疼哪！我额头是不是见了血了？”“起来吧。”七王爷终于开恩。第七十六章 长孙也被拉皮条(4) 唐太守松了一口气，不再磕了，但也不敢起来。七王爷来的时候，就带了几个人来，一开始，太守府里都当是普通随从，就让在外头等着。他 们站得笔笔直，都跟木工师傅弹过墨绳锯出来似的，并且目不斜视，有些老练的已经觉得不对了。七王爷淡淡道：“叫我的人进来。”唐太守 赶紧亲自到门边下令，老家人慌着把令传到门外去，一干家丁赶紧放行。那一行四个侍卫，一个跟一个，排成一条直线，像匕首似的，雄纠纠 气昂昂的插进太守房间里，看也不看唐太守，“啪”的向七王爷行个礼。七王爷道：“印。”当先一个侍卫拉起衣襟、探手入怀、取出印盒、 开盒呈印，一串动作像上刺刀似的，干净利落，一气呵成。他本把宝印呈给七王爷，七王爷向唐太守抬抬下巴，那侍卫手腕立刻一翻，一个漂 亮的直角转折，连一丝回旋都不打，直送唐太守面前。突兀得像捅过来一把刀。唐太守哪敢正眼相对，卑躬屈膝侧了首，抬起一点点眼皮，一 瞻仰，顿时又挨烫的兔子似的把目光垂了下去。玉质金纹，上塑螭龙，这是朝廷颁给各宗亲的宝印，图文样式，皆存之太庙、颁之众府，倘有 失
B
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X1>0，X2>0，2p>0,
y
A
X =x .
1 2
o
x
由此可得|y1|=|y2|,，即线段 AB关于x轴对称。因为x轴垂直 于AB，且 Aox 30 ， 所以
B
2 1
y1 3 tan 30 x1 3
y x1 , 2p
y1 2 3 p,| AB | 2 y1 4 3 p.
(三）、练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称
轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
么抛物线通径长是
16
.
2、一个正三角形的三个顶点，都在抛
物线
y 4x上，其中一个顶点为坐标
2
原点，则这个三角形的面积为 48 3 。
（四）、课时小结：
y
A
y 2 px( p 0)
2
O
F B
x
由已知条件可得点A的坐标是 （40，30），代入方程可得
302 2 p 40
45 p 4
25 所求的标准方程为y x 2 45 焦点坐标为 ( , 0) 8
2
例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点， 2 另外两个顶点在抛物线 y 2 px( p 0) 上， 求这个三角形的边长。
[抛物线的几何性质Ⅱ]
回
方程 图形
l
顾
范围 对称轴 顶点 离心率
x轴
y 2 px ( p 0)
2
y
O F x
x0 x0
y 2 px
2
y
F
l O
x
( p 0)
x轴
x 2 py ( p 0)
2
y
O
(0, 0) e 1
F
l x l
y0 y0
y轴 y轴
x 2 py ( p 0)
焦点F并且垂直X轴，那么得到的线段AB= 6 。
（二）、定义
通径：经过抛物线的焦点并且垂直于抛物 线的轴所得的弦叫作抛物线的通径，长为2p。
例1、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一 部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯 口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线 的标准方程及焦点的位置。
解：如图所示，在探照灯的轴截 面所在平面建立直角坐标系，使 反光镜的顶点与原点重合，x轴 垂直于灯口直径。 设抛物线的标准方程是：
2
y
O
F
x
(一)、复习题组训练 2 （1）抛物线 y 4 x的弦AB垂直x轴，若|AB|= 4 3 ，
则焦点到AB的距离为 2 （2）已知直线x-y=2与抛物线
y 4x 交于A、B两
2
。
点，那么线段AB的中点 坐标是 (4, 2) 。 2 （3）已知抛物线方程为 y 6 x ，线段AB过