利用定积分求旋转体的体积Word 文档
定积分的几何应用(体积))
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
定积分求旋转体的体积
7.1.3 定积分求旋转体的体积
第七章 定积分的应用
第一节 定积分在几何上的应用
第三讲 定积分求旋转体的体积
主要内容： 一、旋转体的概念
二、平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
三、平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积
四、小结
引入：
一、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而
2
1
1 e4 e2 2
V b[ f (x)]2 dx a
y
y ex
1
o x=1 x=2 x
练习 求由抛物线 y x2、直线 x 2 及 x 轴所围成平面图形绕 x
轴旋转一周所得旋转体的体积.
A: 32
5
B: 16
5
C: 8
5
解 选A
D: 64
（3）V
Байду номын сангаас
b
[
f
(x)]2 dx
b y2dx
a
a
xx x dx
例1 求由曲线 y ex，直线 x 1, x 2以及 x 轴所围成的平面图
形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
解
V
2
1
f
x2dx
2
ex
2
dx
1
1 e2x 2
D: 1 e2 1 2
解 选C
四、小结
1. 平面图形绕 x轴旋转所得旋转体的体积
V b [ f (x)]2 dx b y2dx
a
a
2. 平面图形绕 y轴旋转所得旋转体的体积
§定积分应用之简单旋转体的体积
§定积分应⽤之简单旋转体的体积§3.2定积分应⽤之简单旋转体的体积【学习⽬标】1、利⽤定积分的意义和积分公式，求⼀些简单旋转⼏何体体积。
2、数学模型的建⽴及被积函数的确定。
【问题导学】1、复习求曲边梯形⾯积公式？定积分的⼏何意义？微积分基本定理？2、什么是旋转体？学过哪些旋转体？⼀个平⾯图形绕平⾯内的⼀条定直线旋转⼀周，所成的⽴体图形叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。
如：圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠。
3、旋转体的体积（1）计算由区间[a 、b ]上的连续曲线y=f(x)、两直线x=a 与x=b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积：v=π()b2a f x dx （2）类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线 y=f(x),两直线y=c 与y=d 及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积：()d2c v y dy π?=?[]【⾃学检测】1、给定直⾓边为1的等腰直⾓三⾓形，绕⼀条直⾓边旋转⼀周，得到⼀个圆锥体. 利⽤定积分的⽅法求它的体积2、⼀个半径为1的球可以看成由曲线y=1-x 2（半圆）与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转⼀周得到的，利⽤定积分的⽅法求球的体积3、求曲线y=e x 、x=0、x=12与x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积【当堂训练】4、求 y = x 2 与 y 2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积5、将第⼀象限内由x 轴和曲线y 2=6x 与直线x=6所围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体的体积等于6、求曲线x 轴、y 轴及直线x=1围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积7、求曲线y=1x、x=1、x=2 与x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积8、求曲线x=1与坐标轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积§3.2定积分应⽤之简单旋转体的体积1、3π2、43π3、(1)2e π-4、310π5、108π6、32π7、2π8、2π。
定积分绕非坐标轴旋转体体积
定积分绕非坐标轴旋转体体积定积分是高中数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
其中，定积分绕非坐标轴旋转体体积是一个经典的例子。
在这篇文章中，我们将会详细讨论这个问题。
一、问题的引出在高中数学中，我们学习了如何求解由函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 所围成的平面图形的面积。
我们可以利用定积分的概念求出这个面积。
但是，如果我们将这个平面图形绕着 $x$ 轴或 $y$ 轴旋转，就可以得到一个立体图形，那么这个立体图形的体积是多少呢？这个问题就是本文要讨论的问题。
二、绕 $x$ 轴旋转首先，我们来考虑将平面图形绕着 $x$ 轴旋转所得到的立体图形的体积。
假设 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 所围成的平面图形在 $[a,b]$ 区间内，那么绕 $x$ 轴旋转所得到的立体图形可以看作是无限个圆盘的叠加。
每个圆盘的半径为 $y$，厚度为 $dx$，因此它的体积为 $\pi y^2 dx$。
我们可以将整个立体图形分成无限个这样的圆盘，然后对每个圆盘的体积进行积分，即可求得整个立体图形的体积。
具体地，整个立体图形的体积为：$$V=\int_a^b \pi y^2 dx=\pi\int_a^b y^2 dx$$这个公式就是绕 $x$ 轴旋转所得到的立体图形的体积公式。
需要注意的是，这个公式中的 $y$ 要用 $f(x)$ 和 $g(x)$ 两个函数的最大值和最小值来代替。
三、绕 $y$ 轴旋转接下来，我们来考虑将平面图形绕着 $y$ 轴旋转所得到的立体图形的体积。
假设 $x=f(y)$ 和 $x=g(y)$ 所围成的平面图形在 $[c,d]$ 区间内，那么绕 $y$ 轴旋转所得到的立体图形可以看作是无限个圆柱的叠加。
每个圆柱的半径为 $x$，高度为 $dy$，因此它的体积为 $\pi x^2 dy$。
我们可以将整个立体图形分成无限个这样的圆柱，然后对每个圆柱的体积进行积分，即可求得整个立体图形的体积。
利用积分解决曲线旋转体体积问题的方法
利用积分解决曲线旋转体体积问题的方法在数学中，我们经常会遇到曲线旋转体的体积问题。
这类问题的解决方法之一就是利用积分。
本文将介绍如何通过积分来解决曲线旋转体体积问题，帮助读者掌握这一重要的数学技巧。
一、理论基础在开始具体讨论方法之前，我们先来了解一下相关的理论基础。
曲线旋转体的体积计算公式如下：V = π∫[a,b] f(x)^2 dx其中，V表示旋转体的体积，f(x)是曲线的函数，a和b是曲线的定义域。
该公式的推导过程涉及到微积分的知识，具体推导步骤可以在相关教材中找到。
二、具体步骤接下来，我们将通过一个具体的例子来演示如何利用积分解决曲线旋转体体积问题。
以y = x^2为例，我们将其绕x轴旋转一周，求旋转体的体积。
1. 确定曲线的定义域由于y = x^2是一个二次函数，它的定义域可以取整个实数集。
2. 设定积分上下限根据曲线的定义域，我们可以设定积分的上下限为正负无穷大，即∫[-∞,+∞]。
3. 构建被积函数根据旋转体体积公式，我们需要将曲线函数平方，并乘以π。
因此，被积函数可以表示为y^2 * π = (x^2)^2 * π。
4. 求解积分将被积函数代入公式，得到积分表达式：V = π∫[-∞,+∞] (x^2)^2 dx简化该积分表达式，进行积分运算，最后得到曲线旋转体的体积。
三、例题求解我们以y = x^2为例，来具体计算旋转体的体积。
1. 确定曲线的定义域由于y = x^2是一个二次函数，它的定义域可以取整个实数集。
2. 设定积分上下限根据曲线的定义域，我们可以设定积分的上下限为正负无穷大，即∫[-∞,+∞]。
3. 构建被积函数根据旋转体体积公式，我们需要将曲线函数平方，并乘以π。
因此，被积函数可以表示为y^2 * π = (x^2)^2* π。
4. 求解积分将被积函数代入公式，得到积分表达式：V = π∫[-∞,+∞] (x^2)^2 dx简化该积分表达式，进行积分运算，最后得到曲线旋转体的体积。
定积分割补法求体积
定积分割补法是求旋转体体积的一种方法。
首先，我们需要理解旋转体的形成。
考虑一个平面曲线 y = f(x) (0 ≤ x ≤ a) 和直线 x = a 在第一象限的交点为 A(a, f(a))。
当这个平面曲线绕x轴旋转时，它形成一个旋转体。
旋转体的体积 V 可以用下面的定积分表示：
V = π∫(0, a) [f(x)]^2 dx
这就是旋转体的体积公式。
现在，我们可以用定积分割补法来求这个体积。
定积分割补法的基本思想是：将区间[0, a] 分成若干个子区间，在每个子区间上取一个点，计算该点处的函数值与该区间长度乘积的一半，然后将这些值加起来，最后乘以π并除以2，得到旋转体的体积。
具体步骤如下：
将区间 [0, a] 分成 n 个子区间，每个子区间的长度为Δx = a/n。
在每个子区间上取一个点 x_i (i = 1, 2, ..., n)，计算该点处的函数值 y_i = f(x_i)。
计算每个子区间的体积ΔV_i = π * (y_i)^2 * Δx / 2。
将所有子区间的体积加起来，得到 V = ΣΔV_i。
最后乘以π并除以2，得到最终的旋转体体积 V = π/2 * ΣΔV_i。
积分旋转体体积公式
积分旋转体体积公式
对于曲线y=f(x)，当该曲线绕x轴旋转时，其旋转体的体积V 可以用以下公式表示：
V = π∫[a, b] f(x)^2 dx.
其中，a和b是曲线在x轴上的交点，π是圆周率。
同样地，如果曲线是由x=g(y)给出的，并且绕y轴旋转，那么旋转体的体积V可以用以下公式表示：
V = π∫[c, d] g(y)^2 dy.
其中，c和d是曲线在y轴上的交点。
这个公式的推导涉及到微积分的知识，主要是通过将旋转体切割成无限小的圆柱体，并对这些圆柱体进行求和来得到体积。
这个公式的应用范围非常广泛，涵盖了许多不同类型的曲线和旋转体。
通过积分旋转体体积公式，我们可以精确地计算出由各种曲线
旋转而成的立体体积，这为我们在物理、工程、建筑等领域的实际问题提供了重要的数学工具。
因此，掌握和理解这个公式对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
旋转体的表面积和体积计算
旋转体的表面积和体积计算旋转体是指通过绕某一轴旋转而形成的立体图形。
在几何学中，计算旋转体的表面积和体积是一种重要的技巧。
本文将介绍旋转体的表面积和体积计算方法，以及一些常见的旋转体示例。
一、旋转体的表面积计算方法要计算旋转体的表面积，我们可以使用定积分的方法。
设旋转体由曲线y=f(x)（0≤x≤a）绕x轴旋转而成，其中f(x)在闭区间[0,a]上连续且非负。
基于定积分的表面积计算公式为：S = 2π∫[a→0] y·ds其中，ds表示曲线的微小弧长。
在极坐标下，微小弧长ds可以表示为：ds = √(1+(dy/dx)²)·dx通过将dy/dx替换为f'(x)，我们可以将表面积计算公式简化为：S = 2π∫[a→0] f(x)·√(1+f'(x)²)·dx通过求解上述定积分，即可得到旋转体的表面积。
二、旋转体的体积计算方法旋转体的体积计算同样可以使用定积分的方法。
仍假设旋转体由曲线y=f(x)（0≤x≤a）绕x轴旋转而成。
体积计算公式为：V = π∫[a→0] y²·dx通过将y替换为f(x)，我们可以将体积计算公式写为：V = π∫[a→0] f(x)²·dx求解上述定积分即可得到旋转体的体积。
三、旋转体计算示例下面将以圆锥为例，演示旋转体的表面积和体积计算方法。
圆锥由一条斜边和底面形成，底面是一个半径为r的圆。
我们将底面放置在坐标轴上，圆锥的斜边与x轴的交点记为（0，h）。
要计算圆锥的表面积和体积，首先我们需要确定圆锥的方程。
通过类似三角函数的方法，我们可以得到圆锥的方程为：y = h/r·x其中，0≤x≤r，0≤h≤√(r²-x²)。
根据上述方程，我们可以计算出圆锥的表面积和体积。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了旋转体的表面积和体积计算方法，并以圆锥为例进行了演示。
高等数学(一元微积分)02-7.10定积分应用之旋转体的体积
a,b 内积分，得旋转体体积为
V b f 2 xdx ． a
(5.2.6)
类似，由曲线 x g( y) ，直线 y c, y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转，
所得旋转体(如图 5.2.13)的体积为
V d g 2 ( y)dy ． c
(5.2.7)
图 5.2.12
图 5.2.13
a b
Vx
a a
a2
x2
2
dx
2b 2 a2
a
(a
2
x 2 )dx
0
2b 2 a2
a
2
x
x3 3
a
0
4 ab 2 ． 3
图 5.2.14
图 5.2.15
a 绕 y 轴旋转的椭球体，可看作右半椭圆 x
b2 y 2 与 y 轴围成的平面图
b
形绕 y 轴旋转而成(如图 5.2.15 所示)，取 y 为积分变量，y [b,b] ，由公式(5．2．7)
所求椭球体体积为
b a
Vy
b b
b2
y2
2
dy
2a 2 b2
b (b 2 y 2 )dy
0
2a 2 b2
b
2
y
y3 3
b
0
4 a 2b ． 3
7.10 旋转体的体积
设旋转体是由连续曲线 y f (x) 和直线 x a, x b (a b) 及 x 轴所围成的曲
边梯形绕 x 轴旋转而成(如图 5.2.12)，我们来求它的体积V ．这是已知平行截面面 积求立体体积的特殊情况，这时截面面积 A(x) 是圆面积．
在区间 a,b 上点 x 处垂直 x 轴截面面积为 A(x) f 2 x ，在 x 的变化区间
演示文稿定积分的几何应用体积
第一页，共25页。
一、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条
直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴
．
圆柱
第二页，共25页。
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线
y f ( x)、直线 x a、 x b及 x轴所围成
的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积
2 2 (x 3)(4 x2 )dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
第十三页，共25页。
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x 轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
2
2
例 1 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
a
2 3
2
x3
3
x [a, a]
a
o
ax
旋转体的体积
a 2
2
3
a 2
2
3
V a 3 x3 dx 2 a 3 x3 dx
a
0
32 a3 . 105
b
V 2 (m x) | f (x) | dx (※)——柱壳法 a
第十四页，共25页。
二、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分 来计算.
A( x) 表示过点
x 且垂直于 x 轴 o a
绕y轴旋转体体积公式定积分
绕y轴旋转体体积公式定积分一、绕y轴旋转体体积公式（定积分形式）1. 圆盘法（当函数x = g(y)绕y轴旋转时）- 假设我们有一个函数x = g(y)，y的取值范围是[c,d]。
- 把这个区域绕y轴旋转一周得到一个旋转体。
- 我们在[c,d]内任取一个小区间[y,y + Δ y]。
- 当Δ y很小时，这个小区间对应的小曲边梯形绕y轴旋转得到的近似几何体是一个薄圆盘，圆盘的半径为x = g(y)，厚度为Δ y。
- 根据圆盘的体积公式V=π r^2h（这里r = g(y)，h=Δ y），这个薄圆盘的体积Δ V≈π[g(y)]^2Δ y。
- 那么整个旋转体的体积V=∫_c^dπ[g(y)]^2dy。
2. 圆柱壳法（当函数y = f(x)绕y轴旋转时，x的取值范围是[a,b]）- 对于函数y = f(x)，我们在[a,b]内任取一个小区间[x,x+Δ x]。
- 当Δ x很小时，这个小区间对应的小曲边梯形绕y轴旋转得到的近似几何体是一个薄壁圆柱壳。
- 圆柱壳的半径为x，高度为y = f(x)，厚度为Δ x。
- 圆柱壳的体积Δ V≈ 2π x f(x)Δ x（这里2π x是圆柱壳的侧面积，f(x)是高度，Δ x是厚度）。
- 那么整个旋转体的体积V = ∫_a^b2π x f(x)dx。
二、例题。
1. 圆盘法例题。
- 求由曲线x=√(y)，y = 0，y = 4所围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。
- 解：这里g(y)=√(y)，y的取值范围是[0,4]。
- 根据圆盘法的体积公式V=∫_c^dπ[g(y)]^2dy，我们有V=∫_0^4π(√(y))^2dy=∫_0^4π y dy。
- 计算定积分∫_0^4π y dy=πfrac{y^2}{2}big_0^4=π×frac{4^2}{2}-π×frac{0^2}{2}=8π。
2. 圆柱壳法例题。
- 求由曲线y = x^2，y = 0，x = 1，x = 2所围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。
参数方程绕x轴旋转体体积公式
参数方程绕x轴旋转体体积公式
参数方程绕x轴旋转体的体积公式可以通过定积分来求解。
假
设我们有一个参数方程 x = f(t), y = g(t)，其中 t 的范围为 [a, b]。
我们要求这个曲线绕x轴旋转一周所形成的立体的体积。
首先，我们可以将参数方程表示的曲线在x轴上的投影表示为
函数 y = g(x)。
然后我们可以得到这个函数的旋转体的截面面积公
式为A(x) = π[g(x)]^2。
接下来，我们可以利用定积分公式来求解旋转体的体积。
旋转
体的体积 V 可以表示为：
V = ∫[a, b] A(x) dx.
其中 A(x) 是曲线在x处的截面面积，[a, b] 是参数t的范围。
将A(x) = π[g(x)]^2 代入上式，我们可以得到：
V = ∫[a, b] π[g(x)]^2 dx.
这个定积分可以通过求解函数 g(x) 的表达式并进行积分来得
到旋转体的体积。
需要注意的是，在使用参数方程求解旋转体体积时，要确保曲线在整个参数范围内都是非负的，否则需要分段处理。
另外，还需要注意对于绕x轴旋转的体积公式，也可以利用壳方法或圆盘法来求解，具体方法取决于问题的具体情况。
综上所述，参数方程绕x轴旋转体的体积公式可以通过定积分来求解，需要将参数方程表示的曲线在x轴上的投影转化为函数形式，并利用定积分公式求解旋转体的体积。
3.8.4定积分的几何应用(求旋转体的体积)
x ( y) 、直线 y c 、y d 及 y 轴所围
成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体，
y
体积为
d
V d [( y)]2 dy c
x ( y)
c
o
x
例2 求摆线 x a(t sin t)，y a(1 cos t)的一拱
与 y 0 所围成的图形绕 y 轴旋转构成的旋转
y
体的体积.
2a C
B x x2( y)
可看作平面图形 OABC 与 OBC o x x1( y)
A
2a x
分别绕 y轴旋转构成旋转体的体积之差.
解
Vy
2a
x
2
2
(
y
)dy
0
2a
x
2
1
(
y
)dy
0
a2(t sin t)2 a sin t dt 2 a2(t sin t)2 a sin t dt 0
a3
2
(t
sin t)2 sin t dt
6
3a3 .0Biblioteka 梯形绕x轴旋转而成的o
薄片的体积为体积元素，
x x dx
x
dV [ f ( x)]2dx
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2dx a
例 1 求抛物线 y2 2x ( x 0,1 )绕x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
解
1
V (2x)dx
0
[ x2 ]10
o
x
绕 y 轴旋转所得旋转体体积
第三章 一元函数积分学
第八节 定积分的几何应用 ——求旋转体的体积
求旋转体体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条 直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．
定积分体积绕x轴和y轴例题
定积分体积绕x轴和y轴例题
已知曲线y=x^2，将其绕x轴旋转一周，求所得的立体图形的体积。
解：首先，我们需要确定积分区间。
由于y=x^2在第一象限上方，我们可以取积分区间为[0,1]。
其次，我们需要确定积分式。
由于我们绕x轴旋转，因此积分式要用到微元体积公式：
dV = πy^2dx
代入y=x^2，得到：
dV = πx^4dx
最后，我们可以列出积分式：
V = ∫0^1πx^4dx
用积分公式求解，得到V=π/5。
因此，所得的立体图形的体积为π/5。
例题2：用定积分求绕y轴旋转的立体图形的体积
已知曲线y=x^2，将其绕y轴旋转一周，求所得的立体图形的体积。
解：同样地，我们需要确定积分区间和积分式。
由于我们绕y轴旋转，积分式要用到微元体积公式：
dV = 2πxydx
代入y=x^2，得到：
dV = 2πx^3dx
积分区间为[0,1]，因此积分式为：
V = ∫0^12πx^3dx
同样用积分公式求解，得到V=π/2。
因此，所得的立体图形的体积为π/2。
定积分绕y轴旋转体体积公式
高数定积分求旋转体体积，绕y轴的怎么算
首先分析待求不等式的右侧：x²(3-2lnx)+3(1-2x)，不妨记为g(x)，显然g(1)= 0；再分析可知其定义域为x>0。
再分析奇函数的性质，f(x)=-f(-x)，对于x=0就有f(0)=-f(0)，所以f(0)=0。
构建函数h(x)=f(x-1)-g(x)，不等式的解集就是h(x)<0的区间；根据上述分析可发现：
h(1)=f(0)-g(1)=0
分析h的导函数：
h`(x)=f`(x-1)-g`(x)
因为f`(x)>-2，令x=t-1，代入不等式得到：f`(t-1)>-2，所以f`(x-1)>-2。
继续分析g`(x)：
g`(x)=2x(3-2lnx)+x²[-(2/x)]-6=4x-6-4xlnx
扩展资料：
若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。
若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
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定积分的简单应用
——简单旋转体的体积
2013.4.11
【学习目标】:
1.进一步理解微积分基本定理，并能应用其求简单的定积分.
2.会用定积分解决简单旋转体的体积问题.
重点：用定积分解决简单旋转体的体积问题．
难点：用定积分解决简单旋转体的体积问题．
【预习自测】:
阅读课本89页—90页，完成下列问题：
1.你怎么理解由定积分求简单旋转体的体积的？
2.用定积分求简单旋转体体积的步骤？
【合作探究】
一．由定积分求圆锥(圆台)体积 例1.由直线x x y ,=轴和直线3=x 所围成的平面图形 绕x 轴旋转一周得到一个圆锥体，
求其体积.
变式训练：求由直线x x x x y 和，21,2===轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的几
何体的体积.
二. 由定积分求球体体积
例2.由曲线x x y 与24-=
轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
变式训练：由曲线x x y 与22-=轴所围成的图轴旋转一周所形成的几何体的体积
三.由定积分球一般旋转体的体积
例3. 由曲线x x x x y ,2,02===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体
积.
变式训练：由曲线x x x x y ,3,21===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体
积.
【我的收获】
【巩固练习】
1. 由曲线x x x y 与π20,sin ≤≤=轴所围成的图形的面积为（ ）
A.0
B.2
C.π2
D.4
2. 由曲线x x x x y ,2,11=-=+=与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体
积为 .（写出定积分表达式并求出定积分）
3.求由曲线x x x x y ,0,112=-=+-=与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的
体积.
4. 求由曲线x x y 与216-=轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
5.求由曲线x x x x y ,2,022
===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体
积.
能力提升：求由曲线22=+=y x x y 与所围成的平面图形的面积？如将此平面图形绕x 旋
转一周得到的旋转体的体积为多少？。