(江苏专版)201X届高考数学一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 第4讲 函数的奇偶性与周期

第4讲 函数的奇偶性与周期性
1．若函数f (x )＝x （2x ＋1）（x －a ）
为奇函数，则实数a ＝________． [解析] 因为f (x )＝x
（2x ＋1）（x －a ）是奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)，
所以－1（－2＋1）（－1－a ）＝－1（2＋1）（1－a ），所以a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12
. 经检验，符合题意，所以a ＝12
. [答案] 12
2．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))已知函数f (x )＝x (3x －a ·3－x )是奇函数，则a ＝________.
[解析] 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0，即－x (3－x －a ·3x )＋x (3x －a ·3－x )＝0，即x (3x －3－x
)·(a ＋1)＝0对任意x 恒成立，所以a ＝－1.
[答案] －1
3．(2016·高考江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________． [解析] 由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110
，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25
. [答案] －25
4．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3
－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，则f (6)＝________. [解析] 当x >0时，x ＋12>12，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12＋12＝ f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12－12，即f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5)＝f (4)＝…＝f (1)＝－f (－1)＝2. [答案] 2
5．已知函数f (x )的定义域为(3－2a ，a ＋1)，且f (x ＋1)为偶函数，则实数a ＝________.
[解析] 因为函数f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数f (x )关于x ＝1
对称，所以区间(3－2a ，a ＋1)关于x ＝1对称，所以3－2a ＋a ＋12
＝1，即a ＝2. [答案] 2
6．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1，若f (a )＝11，则f (－a )＝________．
[解析] 观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10，则f (－a )＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.
[答案] －9
7．(2018·苏州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(2－x )，则f (0)＋f (2)的值为________．
[解析] 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，故f (0)＝－f (0)，即f (0)＝0，f (2)＝－f (－2)＝－log 24＝－2，所以f (0)＋f (2)＝－2.
[答案] －2
8．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为________．
[解析] 函数f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，
即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.
则f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3.
[答案] －3
9．(2018·山东省乳山一中月考)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －2)<f (2)的x 的取值范围是________．
[解析] 偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，由对称性知其在(－∞，0)上单调递减，因此应有|2x －2|<2，解得x ∈(0，2)．
[答案] (0，2)
10．(2018·徐州质量检测)已知函数f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧2（1－x ），0≤x ≤1x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 018(2)的值为________．
解析：因为f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，所以f n (2)的值具有周期性，且周期为3，所以f 2 018(2)＝f 3×672＋2(2)＝f 2(2)＝0.
答案：0
11．已知函数f (x )＝x 2＋a
x
(x ≠0，常数a ∈R )．
(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．
[解] (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2
， f (－x )＝f (x )，函数f (x )是偶函数．
当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x
(x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0； f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，
即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．
故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．
(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，
这时f (x )＝x 2＋1x
. 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 22＋1x 2 ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋
x 2－x 1x 1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.
由于x 1≥2，x 2＞2，
故x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1
x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，
故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．
12．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0，7]上只有f (1)＝f (3)＝0.
(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；
(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论．
[解] (1)因为f (1)＝0，且f (x )在[0，7]上只有f (1)＝f (3)＝0，
又因为f (2－x )＝f (2＋x )，令x ＝－3，则f (－1)＝f (5)≠0，
所以f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠－f (1)．
所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)f (10＋x )＝f (2＋8＋x )＝f [2－(8＋x )]
＝f (－6－x )＝f [7－(13＋x )]＝f (7＋13＋x )
＝f (20＋x )，
所以f (x )以10为周期．
又f (x )的图象关于x ＝7对称知，f (x )＝0在(0，10)上有两个根，
则f (x )＝0在(0，2 005]上有201×2＝402个根；
在[－2 005，0]上有200×2＝400个根；
因此f (x )＝0在闭区间[－2 005，2 005]上共有802个根．
1．(2018·南通模拟)设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：
①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52＝________. [解析] 依题意，函数f (x )为奇函数且周期为2，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋f (1)＋f (0) ＝2－1＋21－1＋20－1 ＝ 2.
[答案] 2
2．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________．
[解析] 由题意可知h (x )＋g (x )＝e x
＋x ，①
用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以－h (x )＋g (x )＝e －x －x .②
由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x 2
， 所以g (0)＝e 0＋e 02
＝1. [答案] 1
3．(2018·山东省实验中学测试)若f (x )是定义在R 上的函数，对任意的实数x ，都有f (x ＋4)≤f (x )＋4，且f (x ＋2)≥f (x )＋2，若f (3)＝4，则f (2 015)的值是________．
[解析] 由f (x ＋2)≥f (x )＋2，得f (x ＋4)≥f (x ＋2)＋2≥f (x )＋4，又因为f (x ＋
4)≤f (x )＋4.
所以f (x ＋4)＝f (x )＋4，所以f (x ＋4k )＝f (x )＋4k (k ∈Z )，则f (2 015)＝f (3＋4×503)
＝f (3)＋4×503＝2 016.
[答案] 2 016
4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．
[解析] 由f (x )是偶函数得f (－2)＝f (2)，再由偶函数在对称区间上单调性相反，得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以由2|a －1|＜2，得|a －1|＜12，即12＜a ＜32
. [答案] ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2
＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0
是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．
[解] (1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .
又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，
于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1， 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．
6．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．
(1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，
有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，
所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.
(2)f (x )为偶函数．证明如下：
令x 1＝x 2＝－1，
有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，
所以f (－1)＝12
f (1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，
所以f(x－1)＜2，等价于f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.
所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．。