2014河北省中考数学

2014年河北省中考数学试卷
数学试卷
本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分：卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷总分120分，考试时间120分钟．
卷Ⅰ（选择题，共42分）
一、选择题（本大题共16个小题，1～6小题，每小题2分；7～16小题，每小题3分，共
42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2014河北省，1，2分）2-是2的（ ）
A ．倒数
B ．相反数
C ．绝对值
D ．平方根 【答案】B ． 2．（2014河北省，2，2分）如图1，△ABC 中，D
E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE =2， 则BC =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 【答案】C ． 3．（2014河北省，3，2分）计算：221585-=（ ）
A ．70
B ．700
C ．4900
D ．7000 【答案】D ． 4．（2014河北省，4，2分）如图2，平面上直线a ，b 分别过线段OK 两端点（数据如图）， 则a ，b 相交所成的锐角是（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．70°
D ．80° 【答案】B ．
5．（2014河北省，5，2分）a 、b 是两个连续整数，若b a <7<，则a 、b 分别是（ ） A ．2，3 B ．3，2 C ．3，4 D ．6，8 【答案】A ． 6．（2014河北省，6，2分）如图3，直线l 经过第二、三、四象限，l 的解析式是n x m y +2-=)(，则m 的取值范围在数轴上表示为（ ）
【答案】C ．
7．（2014河北省，7，3分）化简：=1
--1-2x x x x （ ）
A ．0
B ．1
C ．x
D ．
1-x x
【答案】C ． 8．（2014河北省，8，3分）如图4，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼
成面积为2的正方形，则n≠（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A．
9．（2014河北省，9，3分）某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为（）
A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米
【答案】B．
10．（2014河北省，10，3分）图5-1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成5-2的正方体，则图5-1中小正方形顶点A、B在围成的正方体上的距离是（）
A．0 B．1 C．2D．3
【答案】B．
11．（2014河北省，11，3分）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某以结果出现的频率，绘制了如图6的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
【答案】D．
12．（2014河北省，12，3分）如图7，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使P A+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（）
【答案】D．
13．（2014河北省，13，3分）在研究相似问题时，甲乙同学的观点如下：
对于两人的观点，下列说法正确的是（）
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【答案】C．
14．（2014河北省，14，3分）定义新运算：a ⊕b =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->．，)0()0(b b a b b
a
例如：4⊕554=，4⊕54)5(=-．则
函数y =2⊕x （0≠x 的图象大致是（）
【答案】D ．
15．（2014河北省，15，3分）如图9，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图）， 则=空白
阴影S S （ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】C ． 16．（2014河北省，16，3分）五名学生投篮球，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一众数是7，则他们投中次数的总和可能是（ ）
A ．20
B ．28
C ．30
D ．31 【答案】B ．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中的横线上） 17．（2014河北省，17，3分）计算：=2
1
⨯8______． 【答案】2．
18．（2014河北省，18，3分）若实数m ，n 满足0=2014-+2-2)(n m ，则=+01-n m ______． 【答案】
2
3
． 19．（2014河北省，19，3分）如图10，将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形．则=扇形S ______2cm ．
【答案】4． 20．（2014河北省，20，3分）如图11，点O ，A 在数轴上表示的数分别是0，0.1．
将线段OA 分成100等份，其分点由左向右依次为1M ，2M ，…，99M ； 再将线段O 1M 分成100等份，其分点由左向右依次为1N ，2N ，…，99N ； 继续将线段O 1N 分成100等份，其分点由左向右依次为1P ，2P ，…，99P ； 则点37P 所表示的数用科学记数法表示为_______． 【答案】6107.3-⨯．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 21．（2014河北省，21，10分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式时，对于042>-ac b 的情况，她是这样做的：
由于0≠a ，方程02=++c bx ax 变形为： ,2a
c
x a b x -=+……第一步 222)2()2(a
b
a c a
b x a b x +-=++
，……第二步 2
2244)2(a ac
b a b x -=
+，……第三步 )04(44222>--=+ac b a ac b a b x ，……第四步
a
ac b b x 242-+-=．……第五步
（1）嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当042>-ac b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是______．
（2）用配方法解方程02422=--x x ． 【答案】解：（1）四；a
ac
b b x 242-±-=．
（2）方程02422=--x x 变形，得 2422=-x x ， 124122+=+-x x ， 25)1(2=-x ，
51±=-x ，
51±=x ，
所以4-=x 或6=x ． 22．（2014河北省，22，10分）如图12-1，A ，B ，C 是三个垃圾存放点，点B ，C 分别位于点A 的正北和正东方向，AC =100米．四人分别测得∠C 的度数如下表：
他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图12-2，12-3；
（1）求表中∠C 的平均数x ；
（2）求A 处的垃圾量，并将图12-2补充完整；
（3）用（1）中的x 作为∠C 的度数，要将A 处的垃圾沿道路AB 都运到B 处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用． （注：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75） 【答案】解：（1）=
x 374
40
383634=+++；
（2）根据扇形统计图的特点可得A 所占的比例为 %5.12%5.37%501=--；
因为总垃圾量为
640%
50320
=； 所以A 处所占的垃圾量=640×12.5%=80； 补全条形统计图如下：
（3）因为AC
AB
=
︒37tan ，所以7510075.0=⨯≈AB ； 所以费用为75×0.005×80=30（元）． 答：运垃圾所需的费用为30元．
23．（2014河北省，23，11分）如图13，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ． （1）求证：△ABD ≌△ACE ； （2）求∠ACE 的度数；
（3）求证：四边形ABFE 是菱形．
【答案】解：
（1）∵△ABC 绕点A 逆时针方向旋转100°得到△ADE ， ∴AB =AD =AC =AE ，∠BAC =∠DAE =40°，∠BAD =∠CAE =100°．
∵在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC
AB ，
∴△ABD ≌△ACE ．
（2）∵AC =AE ， ∴∠ACE =∠AEC ． ∵∠CAE =100°，∠ACE =∠AEC ， ∴∠ACE =40°． （3）∵∠ACE =40°，∠BA C=40°， ∴AB ∥CE ．
∵△ABD ≌△ACE ，∠ACE =40°， ∴∠ABD =∠ACE =40°． ∵∠BAC =40°，∠CAE =100°， ∴∠BAE =140°． ∵∠BAE =140°，∠ABD =40°， ∴∠BAE +∠ABD =180°． ∴AE ∥BD ．
∵AB ∥CE ，AE ∥BD ，
∴四边形ABFE 是平行四边形． ∵AB =AD ，AC =AE ，AB =AC ， ∴AB =AE ．
∵四边形ABFE 是平行四边形，AB =AE ， ∴四边形ABFE 是菱形．
24．（2014河北省，24，11分）如图14，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，O 九个格点．抛物线l 的解析式为c bx x y n ++1-=2)(（n 为整数）． （1）n 为奇数，且l 经过点H （0，1）和C （2，1），求b ，c 的值，并直接写出哪个格点是
该抛物线上的顶点；
（2）n 为偶数，且l 经过点A （1，0）和B （2，0），通过计算说明点F （0，2）和H （0，1）是否在抛物线上；
（3）若l 经过这九个格点中的三个，直接写出满足这样条件的抛物线条数．
【答案】解：（1）因为n 为奇数，则抛物线解析式为c bx x y ++-=2
将H （0，1）和C （2，1）代入上式，得b =2，c =1． 所以抛物线解析式为122++-=x x y
化为顶点式为2)1(2+--=x y ，其顶点坐标为（1，2）； 所以顶点所在的格点为E ；
（2）因为n 为偶数，则抛物线的解析式为c bx x y ++=2； 将A （1，0）和B （2，0）代入上式，得b =3-，c =2 所以抛物线解析式为232+-=x x y ．
将x =0代入上式可得y =2，所以F 点在该抛物线上，H 点不在该抛物线上．
（3）6．
25．（2014河北省，25，11分）图15-1和15-2中，优弧⌒AB 所在⊙O 的半径为2，32=AB ．点P 为优弧⌒AB 上一点（点P 不与A ，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A '． （1）点O 到弦AB 的距离是______；
当BP 经过点O 时，A AB '∠=______；
（2）当A B '与⊙O 相切时，如图15-2，求折痕BP 的长；
（3）若线段A B '与优弧⌒AB
只有一个公共点B ，设∠ABP =α，确定α的取值范围． 【答案】解：（1）1；60°．
连接OA ，过点O 作AB 的垂线，垂足为H ． 因为32=AB ，OH ⊥AB ，所以AH =HB =3．
在Rt △AOH 中，AH =3，OA =2，所以OH =134=-，
即点O 到弦AB 的距离为1；
当BP 经过点O 时，连接P A ，则∠BAP =90°．
由于BP =2×2=4，32=AB ，所以cos 2
3==
∠BP AB ABP ． 则∠ABP =30°．
由于∠ABP =∠A ′BP ，所以∠AB A ′=2×30°=60°．
（2）连接OB 和OA ′，则BO ⊥BA ′．
2，
∵BO=2，BA′=3
∴tan∠BOA′=3．
∴∠BOA′=60°，则∠OA′B=30°．
连接AO，
∵AO=BO，∠BOA′=60°，
∴∠OAB=∠OBA=30°．
∵AB=BA′，
∴∠A′AB=∠AA′B=30°．
∴点A、O、A′共线．
∴AA′垂直平分PB．
∵AA′垂直平分PB，∠A′OB=60°，BO=2，
2．
∴PB=3
（3）根据第（1）问第2个空的解答过程可知当0°＜＜30°时，线段BA′与优弧⌒
AB只有一个公共点B；
根据第（2）问解答过程可知当60°＜＜120°时，线段BA′与优弧⌒
AB只有一个公共点B；
综上所述可知的取值范围为0°＜＜30°或60°＜＜120°．
26．（2014河北省，26，13分）某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD ，如图16-1和16-2．现有1号、2号两游览车分别从出口A 和景点C 同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．
探究 设行驶时间为t 分．
（1）当0≤t ≤8时，分别写出1号车、2号车在左半换线离出口A 的路程1y ，2y （米）与t （分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t 的值．
（2）t 为何值时，1号车第三次恰好经过景点C ？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．
发现 如图16-2，游客甲在BC 上的一点K （不与点B ，C 重合）处候车，准备乘车到出口A ．设CK =x 米．
情况一：若他刚好错过2号车，便搭车即将到来的1号车；
情况二：若他刚好错过1号车，便搭车即将到来的2号车；
比较哪种情况用时较多？（含候车时间）
决策 已知游客乙在DA 上从D 向出口A 走去，步行的速度是50米/分．当行进到DA 上一点P （不与点D ，A 重合）时，刚好与2号车迎面相遇．
（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A 用时少，请你简要说明理由；
（2）设P A =s （0＜s ＜800）米．若他想尽快到达出口A ，根据s 的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式，他该如何选择？
【答案】探究：
解：（1）根据题意可知：
1号车在左半环线离出口A 的路程1y 与t 之间的函数关系为：t y 2001 （0≤t ≤8）；
2号车在左半环线离出口A 的路程2y 与t 之间的函数关系为：t y 20016002-=（0≤t ≤8）； 当两车相距路程为400米时，应分两种情况：
①当未相遇前，两车相距路程为400米，则有
200t +200t +400=2×800
解得
t =3
即当t =3分时，两车相距的路程为400米．
②当相遇之后，两车相距路程为400米，则有
200t +200t =2×800+400
解得
t =5
即当t =5分时，两车相距的路程为400米．
综上所得，当t =3分或5分时，两车相距的路程为400米．
（2）当1号车第三次恰好经过景点C 时，它已经从A 点开始绕正方形了2圈半，则 可知2×800×4+800×2=200t ，解得t =40．
即t =40分时，1号车第三次恰好经过景点C ，且这段时间内它与2号车相遇了5次． 发现：
解：情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车时，从开始等车到到达出口A ，所有时间为：
200
16200160020021600x x x -=++-（分钟） 情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车时，从开始等车到到达出口A ，所有时间为：
200
16200160020021600x x x +=-++（分钟） 由于2001620016x x +<-
，所以选择情况二用时较多． 决策：
解：（1）因为若乘坐2号车，它还需要逆时针的通过D →C →B →A ，而若乘坐1号车，此时1号车已顺时针的走到CD 边上，当与P 点位置重合时，它只需要再走P A 这段路程即可，所以乘1号车比乘2号车到出口用时少．
（2）若到P 点之后，再继续步行到达出口A 点，则需用时间为：50
s （分钟）； 若到P 点之后，开始等候1号车， 那么到达出口A 点，需用时间为：
200
-8=200+200-800+-800s s s s （分钟） 因为0<s <800，所以 当0<s ≤320时，50
≥200-8s s ，即选择步行； 当320< s ≤800，502008s s <-
，即选择乘坐1号车．。