高考数学一轮复习3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课时跟踪训练文

【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 3.4函数y ＝Asin （ωx ＋
φ）的图象及三角函数模型的简单应用课时跟踪训练 文
一、选择题
1．要得到函数f (x )＝cos2x －π
4的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )
A ．向右平移π
8个单位
B ．向左平移π
8个单位
C ．向左平移π
4
个单位
D ．向右平移π
4
个单位
解析：f (x )＝cos2x －π4＝cos2x －π
8.故选A.
答案：A
2．若函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π
2
)的最小正周期是π，且
f (0)＝3，则( )
A ．ω＝12，φ＝π
6
B ．ω＝12，φ＝π
3
C ．ω＝2，φ＝π
6
D ．ω＝2，φ＝π
3
解析：由T ＝2π
ω
＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3⇒2sin φ＝3，
∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3
. 答案：D
3．(2015·北京西城模拟)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π
8个单位后，
得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.3π4
B.π2
C.π4
D ．－π4
解析：y ＝sin(2x ＋φ)向左平移π8个单位得y ＝sin2x ＋π8＋φ＝sin2x ＋π
4＋φ是偶函
数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π
4
(k ∈Z )，
当k ＝0时，φ＝π
4
，故选C.
答案：C
4．(2014·东北三校第一次联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π
3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解
析式为( )
A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6
B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2
C ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析：函数的最大值为4，最小值为0，∴A ＝2，k ＝2，由最小正周期为π
2得ω＝4，
又因x ＝π
3
是其一条对称轴，
∴43π＋φ＝π2＋k π，φ＝k π－5
6π，k ∈Z ，所以选D. 答案：D
5．(2014·辽宁卷)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象
对应的函数( )
A ．在区间⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤π12，7π12上单调递减
B ．在区间⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π12，7π12上单调递增
C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减
D ．在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析：设平移后的函数为f (x )，则f (x )＝3sin2x －π2＋π3＝3sin2x ＋π
3－π＝－3sin2x
＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为k π－5π12，k π＋π
12
，k ∈Z ，同理得递增区间为k π＋π
12，k π＋
7π
12
，k ∈Z .从而可判断得B 正确． 答案：B
6．(2014·郑州一中模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，π2≤φ≤π的部分图象如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是( )
A ．函数f (x )的最小正周期为8
B ．f (3)＝－1
2
C ．x ＝3
2
是函数f (x )的一条对称轴
D ．函数f (x )向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数
解析：由图象可得|y A －y B |＝4，则|x A －x B |＝3，则函数f (x )的周期为6，所以ω＝
2π
6＝π3，因为f (0)＝1，所以sin φ＝12，又因为π2≤φ≤π，所以φ＝5π
6，所以f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫πx 3＋5π6， f (3)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π＋5π6＝－1，x ＝32不是函数f (x )的一条对称轴，所以A ，
B ，
C 不正确．函数f (x )向右平移一个单位后所得的函数为y ＝2cos πx
3为偶函数，所以D
选项是正确的．
答案：D 二、填空题
7．设函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
x －π3，若对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则
|x 1－x 2|的最小值为________．
解析：|x 1－x 2|的最小值即为函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
x －π3周期的一半，此函数周期为4，
故|x 1－x 2|的最小值为2.
答案：2
8．(2014·唐山二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π
2的部分图象如图所
示，则f π
2
＝__________.
解析：∵12T ＝3π4－5π12，∴T ＝2π3，∴3πω＝2π
3，∴ω＝3.
又∵3×5π12＋φ＝π＋k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，∴φ＝－π
4，
∴f π2＝sin 3π2＋φ＝sin 3π2－π4＝sin 5π4＝－2
2.
答案：－
2
2
9．(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π
3
的交点，则φ的值是__________．
解析：由题意cos π3＝sin2×π
3
＋φ，
即sin 2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k
·π6(k ∈Z )．
因为0≤φ<π，所以φ＝π
6.
答案：π6
三、解答题
10．已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，0<φ<π
2)的图象与x 轴
的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π12，π2时，求f (x )的值域．
解：(1)由最低点为M ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2π3，－2，得A ＝2.
由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π
2
，
得T 2＝π2，即T ＝π，ω＝2πT ＝2π
π
＝2. 由点M ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2π3，－2在图象上，
得2sin (2×2π3＋φ)＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，
故
4π3＋φ＝2k π－π
2
，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－11π6
，k ∈Z .
又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，
当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，f (x )取得最大值2；
当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π
2时，f (x )取得最小值－1，
故f (x )的值域为[－1,2]．
11．(2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12
t ，t ∈[0,24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
解：(1)f (8)＝10－3cos π12×8－sin π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×－
1
2－
3
2
＝10.
故实验室上午8时的温度为10℃. (2)因为f (t )＝10－2
32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin π12t ＋π3
， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin π12t ＋π
3≤1.
当t ＝2时，sin π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin π12t ＋π
3＝－1.
于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
12．(2015·潍坊模拟)已知函数f (x )＝22cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋22sin x cos x .
(1)求f (x )的最小正周期和最大值；
(2)在给出的坐标系中画出函数y ＝f (x )在[0，π]上的图象，并说明y ＝f (x )的图象是由y ＝sin 2x 的图象怎样变换得到的．
解：(1)f (x )＝
22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π4－sin x sin π4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π4＋sin x sin π4
＋2sin 2x
＝2(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )＋2sin 2x ＝2(cos 2
x －sin 2
x )＋2sin 2x
＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4.
则f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
当2x ＋π4＝2k π＋π
2(k ∈Z )，
即当x ＝k π＋π
8(k ∈Z )时，f (x )max ＝2.
(2)列表如下：
y ＝f (x )的图象是由y ＝sin 2x 的图象经过以下变换得到的：
先将y ＝sin 2x 的图象向左平移
π8个单位，得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，再将y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到y ＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．。