河北省鸡泽县第一中学2019-2020学年高二12月月考数学试题 Word版含答案

姓名，年级：
时间：
2019-—2020学年第一学期第三次月考
高二数学试题
一．选择题（共12小题）
1．函数y ＝cos(2x +1)的导数是（ ） A ．y ′＝sin （2x +1) B ．y ′＝﹣2x sin （2x +1） C ．y ′＝﹣2sin(2x +1）
D ．y ′＝2x sin （2x +1）
2．已知i 为虚数单位，若复数（1+i ）z ＝3﹣i ，则|z |＝（ ） A ．1
B ．2
C ．
D ．
3．已知函数f （x )在x ＝x 0处的导数为1，则＝（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．3
D ．﹣3
4．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：
x
1 2 3 4 5 y
5
6
7
8
10
由资料可知y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为ˆ 1.2y
x a =+，请估计使用年限为20年时，维修费用约为（ ） A ．26.2 B ．27
C ．27。

6
D ．28.2
5．已知椭圆22
:11424x y C m m +=--的焦距为4，则实数m =（ ）
A ．
143或203 B ．223 C ．143 D ．143
或22
3
6．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点作倾斜角为30的直线l ,若l 与y 轴
的交点坐标为()
0,b,则该双曲线的离心率为（）
A．
6
2
B．5
2
C．2D．3
7．对函数f(x）＝x•lnx，下列结论正确的是（）
A．有最小值B．有最小值
C．有最大值D．有最大值
8．函数f（x）＝x2+1﹣lnx的值域为( )
A．（0，+∞）B．
C．[+ln2，+∞）D．
9．函数f(x）的定义域为开区间（a，b）,导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b)内极值点（包括极大值点和极小值点)有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．函数y＝的部分图象大致为（）
A．B．C．D．
11．已知函数f(x）在x＞0上可导且满足f’（x）﹣f（x)＞0，则下列一定成立的为（）
A．e2f(2）＞e3f（3）B．e2f（3）＜e3f(2）
C．e3f（2）＜e2f（3）D．e2f(2）＜e3f（3）
12．已知函数f(x）＝x2的在x＝1处的切线与函数g（x）＝的图象相切,则实数a＝（）
A．B．C．D．
二．填空题(共4小题)
13．已知函数的最小值为1，则m＝．
14．已知函数f（x)＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极小值10，则a﹣b＝．15．若f（x）＝x3﹣f′（1)x2+x+，则曲线y＝f（x)在点（1，f(1）)处的切线方程是．
16．若函数f（x)＝mx2+lnx﹣x在定义域内有递减区间,则实数m的取值范围是．
三．解答题(共6小题)
17．过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来,以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式,随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况,现对[20,70]
年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分
成5组：[20,30),[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70],
并整理得到频率分布直方图：
（1）求图中的a值；
（2）采用分层抽样的方法,从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中，各抽取多少人；
(3)由频率分布直方图，求所有被调查人员的平均年龄．
18．已知函数f（x)＝2x3+mx2+m+1．
（1）讨论f（x)的单调性；
（2）若m＜0，函数f（x）在区间［0,﹣]上的最大值与最小值差为1,求m的值．
19．f（x）＝xlnx，g（x）＝x3+ax2﹣x+2（a∈R）．
（1）若g（x）的单调递减区间为,求a的值．
（2）若不等式2f（x）≤g'（x）+2恒成立，求a的取值范围．
20．抛物线y2＝4x的焦点为F，斜率为正的直线l过点F交抛物线于A、B两点，满足．
(1）求直线l的斜率；
（2）过焦点F与l垂直的直线交抛物线于C、D两点,求四边形ACBD的面积．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD ＝AC＝2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO＝4,M为PD的中点．（1)证明：MO∥平面PAB；
(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．
22．已知函数()(1)x
f x ax e =+,a R ∈，
（1）当1a =时，求函数()f x 的最小值．
（2）当
1
2a =-
时，对于两个不相等的实数1x ，2x ，有12()()f x f x =,求证：
122x x +<．
高二月考数学试卷
一．选择题（共12小题）
1-5．C DB CD 6—10 CBCCA 11-12 CB
10．解:设g（x）＝（x∈R）,则g′（x）＝＝，
又∵f′（x）﹣f（x)＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在定义域上单调递增,所以g（2）＜g(3），即＜，即e3f(2）＜e2f(3），故选：C．11．解:由f（x）＝x2，得f′（x）＝2x，则f′（1）＝2．
∴函数f（x）＝x2的在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2(x﹣1），即y＝2x﹣1；
设直线y＝2x﹣1与函数g（x）＝的图象相切于（）,
则g′(x0）＝，,联立解得，a＝．故选：B．12．解:令xlnx﹣kx+1＝0，则k＝；
令；;
∴当时，g′（x）＜0,g（x)单调递减；
当x∈[1，e]时，g′(x)＞0，g（x）单调递增；
∴当x＝1时,有g(x）min＝1；又∵，;
∴；∵f（x）在上只有一个零点；
∴g（x）＝k只有一个解；∴k＝1或；故选：D．
二．填空题 13． ln2． 14. 15． 15. 3x﹣3y+1＝0． 16.（﹣∞,]．
三．解答题（共6小题）
a （2）三个组依次抽取的人数为2，4，2
17．（1）0.020
（3）被调查人员的平均年龄为47岁
18．解：（1）f′（x）＝6x2+2mx＝2x(3x+m）;
当m＜0时，由f′（x）＞0，得，或x＜0；
由f′（x)＜0，得 0＜x＜﹣
此时f（x）在(﹣∞，0)，上单调递增，在上单调递减;
当m＝0，时f′（x）≥0，f(x）在R上单调递增;
当m＞0时，由f′（x）＞0，得，或x＞0；
由f′（x)＜0，得＜x＜0，
此时f（x）在(﹣∞，），（0，+∞)上单调递增，在上单调递减;
(2）由（1）可知,m＜0 时，
f（x)在［﹣单调递减,在上单调递增；
所以；
又f(0）＝m+1，；所以f（x）max＝m+1;
故，则m＝﹣3．
19．解：（1）∵g（x）＝x3+ax2﹣x+2，∴g′（x）＝3x2+2ax﹣1,又g（x）的单调递减区间为（），∴是方程g′（x)＝0的两个根，
∴，解得a＝﹣1．
(2）不等式2f（x）≤g′(x）+2恒成立，即2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2＝3x2+ax+1恒成立，
∵x＞0,∴a≥lnx﹣在（0，+∞）上恒成立，
令h（x)＝lnx﹣，x＞0
则a≥h（x）最大值，
又h′（x）＝；
则当0＜x＜1时,h′（x)＞0;当x＞1时，h′（x)＜0；
∴h（x）在（0，1）上递增，在(1，+∞）上递减，∴h（x)最大值为h（1）＝﹣2;
∴a取值范围为a≥﹣2．
20．解：（1)依题意知F（1,0),设直线AB的方程为x＝my+1；
将直线AB的方程与抛物线的方程联立；
消去x得y2＝4my+4．设A（x1,y1)，B(x2,y2）;
所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4; ①因为，得y1＝﹣2y2；②联立①和②,消去y1，y2，得．，又m＞0，则m＝；
故直线AB的斜率是;
（2）由条件有AB⊥CD，∴直线CD的斜率；
则直线CD的方程;
将直线CD的方程与抛物线的方程联立；得：x2﹣34x+1＝0；
设C(x3，y3），D(x4，y4）, ∴x3+x4＝34；
∴|CD｜＝x3+x4+p＝34+2＝36;
由（1)知; ∴x1+x2＝m（y1+y2）+2＝；
；所以,四边形ACBD的面积为 81．
21．解：（1）证明：∵底面ABCD是平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中
点．
∴O 是BD 中点，∴OM ∥PB ， ∵OM ⊄平面PAB ,PB ⊂平面PAB , ∴OM ∥平面PAB ；
(2)解:在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形, ∠ADC ＝60°，AD ＝AC ＝2，PO ⊥平面ABCD 且PO ＝4， ∴四边形ABCD 是菱形，
以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴,OP 为z 轴，建立空间直角坐标系,
A (1，0，0），D （0，﹣
，0),P （0，0，4），M （0，﹣，2）,
＝（﹣1,﹣
，2），
平面ABCD 的法向量＝（0，0,1)，设直线AM 与平面ABCD 所成角为θ， 则sin θ＝
＝
＝
．
∴直线AM 与平面ABCD 所成角的正弦值为．
22．（1）当1a =时，()(1)x
f x x e =+，
∴()(2)x
f x x e '=+，由()0f x '>得2x >-；由()0f x '<得2x <-;
∴()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,)-+∞上单调递增,
∴
min 21()(2)f x f e =-=-
.。