广东省普宁英才华侨中学2015-2016学年高二下学期第二次月考文数试题(解析版)

本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）
注意事项：
1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂
在其他答案标号。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合M={x ∣x ＞1}，集合N={ x ∣x 2-2 x ＜0}，则M∩N 等于
A ． { x ∣1＜x ＜2}
B ． { x ∣0＜x ＜1}
C ．{ x ∣0＜x ＜2}
D ．{ x ∣x ＞2} 【答案】A
【解析】 试题分析：由题可得；{}02N x x =<<，求它们的交集，则可得：{}=12M
N x x << 考点：集合的交集运算。

2. 设函数f （x ）=log 4x ﹣（）x ，g （x ）=的零点分别为x 1，x 2，则（ ）
A ．x 1x 2=1
B ．0＜x 1x 2＜1
C ．1＜x 1x 2＜2
D ．x 1x 2＞2
【答案】B
【解析】
考点：函数的零点及指数和对数运算的性质。

3. 已知实数a ，b 满足2a =3，3b =2，则函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间是（ ）
A ．（﹣2，﹣1）
B ．（﹣1，0）
C ．（0，1）
D ．（1，2）
【答案】B
【解析】
考点：对数函数的性质及零点判定定理的运用。

4.若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，
则此多面体的体积是（ ）
A ．87cm 3
B ．32cm 3
C ．65 cm 3
D ．2
1cm 3
【答案】A
【解析】 试题分析：由三视图可推知几何体为一个正方体切去一个角而得；则体积为：31117112228
V =-
⨯⨯⨯= 考点：三视图与几何体的体积.
5. 空间中，垂直于同一条直线的两条直线（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上均有可能 【答案】D
【解析】
试题分析：由题可建立相应的模型，如长方体模型可得；垂直于同一直线的两直线可能出现的情况为： 相交，平行，异面都可能。

考点：空间中线与线所存在的位置关系.
6. 直线3x+4y=b 与圆x 2+y 2
﹣2x ﹣2y+1=0相切，则b=（ ）
A ．﹣2或12
B ．2或﹣12
C ．﹣2或﹣12
D ．2或12
【答案】 D
【解析】
试题分析：由题直线与圆相切，可得：d r = ，则圆心与半径分别为；(1,1),1r = 341,2125
b d b +-===或 考点：直线与圆相切的性质.
7. 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，求直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
考点：运用空间向量求线面角.
8. 设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i =x i +a （a 为非零常数，i=1，2，…，10），则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为（ ）
A ．1+a ，4
B ．1+a ，4+a
C ．1，4
D ．1，4+a
【答案】A
【解析】
试题分析：由题为均值与方差的运算，可利用它们的定义和性质来解决。

即：原数据都加同一个常数，变化后数据的均值也加这个常数，而方差不变。

则可得；本题的均值和方差为：1+a ，4
考点：均值和方差的定义及性质.
9. 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则异面直线EF 和BC 1所成的角是（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．90°
D ．120°
【答案】A
【解析】
试题分析：由题为求异面直线所成角的问题，几何法为；先找，再证，最后算。

向量法；可建立空间坐标系算出；本题给出的几何体为正方体可建立空间坐标系，通过直线EF 的向量与直线BC 1的向量坐标相乘可得所成角的余弦为12
，则角为60°。

考点：异面直线所成角的算法.
10. 若A ，B 为互斥事件，则（ ）
A ．P （A ）+P （
B ）＜1 B ．P （A ）+P （B ）＞1
C ．P （A ）+P （B ）=1
D ．P （A ）+P （B ）≤1
【答案】D
考点：互斥事件的定义及性质。

11. 点P （x ，y ）在直线x+y ﹣4=0上，O 是原点，则|OP|的最小值是（ ）
A ．10
B ．22
C ．6
D ．2 【答案】B
【解析】
试题分析：由题为求点到直线连线的最小值，可知为点到直线的距离（即垂线段）。

则：
d
考点：点到直线的距离.
12. 函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2，x ∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x 0，使f （x 0）≤0的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题可令；2
20x x --≤， 解得：12x -≤≤，则可由几何概型转化为区间长度的比值：得：310
P =
考点：几何概型的应用。

第II 卷（非选择题 共90分）
注意事项：第II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。

二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

）
13. 计算lg 25+lg2lg5+lg2= ．
【答案】 1
【解析】
试题分析：由题2
lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5(lg 5lg 2)lg 2lg 5(lg10)lg 21++=++=+=
考点：对数运算及其性质.
14. 某研究性学习小组要进行城市空气质量调查，按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组，其中甲、乙两组的城市数分别为8和24，若用分层抽样从这48个城市抽取12个进行调查，则丙组中应抽取的城市数为 ．
【答案】 4
考点：分层抽样的算法.
15. 不等式＜log 381的解集为 ．
【答案】 （1，2）
【解析】
试题分析：由题为指数不等式，需化为普通不等式解决。

则：222221
11()4,()(),2,20222
x x x x x x x x ---<<->---<，解得：12x <<
考点：指数和对数的运算性质及不等式的解法。

16. 对于数列{}n a ，若()*
,m n N m n ∀∈≠，都有()n m a a t t n m -≥-为常数成立，则称数列{}n a 具有性质
()P t ．若数列{}n a 的通项公式为2n a
a n n =- ，且具有性质()10P ，则实数a 的取值范围是
_______________.
【答案】[)36,+∞
【解析】 试题分析：由题：2n a a n n
=-，则；22()10n m a a n m a a a n m m n n m n m mn -
---==++≥--
又，10a m n mn +>+≥
232210,102a t t a t t t =≥+≥≥- 令；232*
max ()102,()206,,,(3)36g t t t g t t t m n N g '=-=-∈=又，所以; 36a ≥
考点：均值不等式及运用导数求函数的最值.
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知直线x ﹣y+a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4=0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值．（10分）
【答案】a=0或a=6．
考点：直线与圆的位置关系及方程思想。

18. 某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．
（1）求线性回归方程；（
）
（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： =， =﹣．（12分）
【答案】(1) y ^
＝-2x ＋50. (2) 30度
【解析】
试题分析：（1）由题为算线性回归方程，根据公式需先算出两个平均数，再分别算出求和部分，代入公式可得回归方程。

计算中由于数据较多，运算量较大，需分步进行。

（2）由（1）得出的回归方程，可代入方程得出气温为10℃时的用电量的预报值。

试题解析：（1）由表可得：； 又，；
∴，； ∴线性回归方程为：；
（2）根据回归方程：当x=10时，y=﹣2×10+50=30；
∴估计当气温为10℃时的用电量为30度．
考点：（1）线性回归方程的算法 . （2）回归方程的应用。

19. 如图1，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿EF 将矩形ADFE 折起使得二面角A EF C --的大小为90︒（如图2），点G 是CD 的中点．
（1）若M 为棱AD 上一点，且4AD MD =，求证：DE ⊥平面MFC ；
（2）求二面角E FG B --的余弦值（12分）
【答案】(1) 见解析
【解析】 试题分析：（1） 由题为证明线与面垂直，可运用线面垂直的判定定理；线与平面中的两条相交直线垂直，则线与面垂直。

结合题中的条件，折叠中DE CF ⊥，再利用4AD MD =，可算出DE MF ⊥而的证。

（2）由题为求二面角的余弦，可运用空间向量算出。

先建立空间坐标系，（以F 为坐标原点）再
标出所需点的坐标，写出对应的向量坐标。

然后算出对应平面的法向量。

最后运用向量坐标的乘法，计算法向量的乘法可得二面角的余弦。

试题解析： （1）证明：在矩形ADFE 中，4AD FE ==，2AE DF ==，
由4AD MD =得：1MD =
，又由勾股定理得：DE =
MF =
所以：sin AE ADE DE ∠==
，cos MD DMF MF ∠== 所以：+=2ADE DMF π
∠∠，即：DE MF ⊥
ABCD 为正方形，二面角A EF C --为直二面角，E 、F 为中点
所以：CF ⊥面MFC ； 所以：CF DE ⊥
故有：DE CF DE MF CF MF F ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩
，所以，DE ⊥面MFC
（2）以F 为坐标原点，分别以FD,FC,FE 为x, y, z 轴，如图所示构建空间直角坐标系，则：
()0,0,4E ，()0,0,0F ，()1,1,0G ，()0,2,4B
()0,0,4FE =，()1,1,0FG =，()0,2,4FB =
设面EFG 的法向量为111(,,)m x y z =，面BFG 的法向量为222(,,)n x y z =，则有：
00m FE m FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩，00
n FB n FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 即：111400z x y =⎧⎨+=⎩，22222400y z x y +=⎧⎨+=⎩ 故可取：()1,1,0m =-，()2,2,1n =-， 22cos ,3
m n
m n m n <>== 考点：（1）线与面垂直的证明. （2）运用空间向量算二面角。

20. 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？（12分）
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）由题为古典概率问题，先根据题意，标记事件，然后数清楚所有的基本事件数（为分母），同时计数标记事件所含的基本事件数（为分子），利用古典概率公式可求；
（2）由题再概率计算中出现了“至少”，可考虑找对立事件，即“甲、乙二人都抽到判断题”，转而算它的概率，再利用对立事件概率和为1可得。

试题解析：（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有5×4=20种抽法
记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，
则事件A含有的基本事件数为3×2=6
∴，∴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是
（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B，
其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，记为事件C，
则事件C含有的基本事件数为2×1=2
∴，∴，
∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是．
考点：（1）古典概率的算法. （2）对立事件及补集思想。

21.某公司是一家专做某产品国内外销售的企业，第一批产品在上市40天内全部售完，该公司对第一批产品的销售情况进行了跟踪调查，其调查结果如下：图①中的折线是国内市场的销售情况；图②中的抛物线是国外市场的销售情况；图③中的折线是销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同），
（1）求该公司第一批产品在国内市场的日销售量f（t）（单位：万件），国外市场的日销售量g（t）（单位：万件）与上市时间t（单位：天）的关系式；
（2）求该公司第一批产品日销售利润Q（t）（单位：万元）与上市时间t（单位：天）的关系式．（12分）【答案】(1) f（t）=，g（t）=﹣t2+6t，0≤t≤40， (2) 见解析
【解析】
试题分析：（1）由题为利用函数图像求函数关系式，可根据所给的图像（图1，图2），先设出函数解析式，再代入点的坐标可求出，（注意图1为分段函数，图2为二次函数）。

（2）由（1）已知f（t），g（t）的函数关系式，再结合题中的利润图像可先得出利润与时间函数关系q（t），然后得出日销售利润Q（t）与上市时间t的函数关系；Q（t）=q（t）•[f（t）+g（t）]。

试题解析：（1）依题意，f（t）=，
g（t）=at（t﹣40），∴60=20a（20﹣40），∴a=﹣
∴g（t）=﹣t2+6t，0≤t≤40，
（2）q（t）=∴这家公司的日销售利润Q（t）的解析式：
Q（t）=q（t）•[f（t）+g（t）]=．
考点：（1）由函数图像求函数关系式。

（2）函数的应用及函数模型的建立能力。

22.已知函数
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域为[log m m（β﹣1），log m m（α﹣1）]的定义域区间[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，请说明理由．（12分）
【答案】(1) 见解析 (2) 见解析（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）由题为证明函数的奇偶性，需回到定义。

题中给出了函数解析式，需先求出函数的定义域，再由定义出发可证出；
（2）由题为证明函数的单调性，需回到定义。

题中给出区间，可利用单调性的定义，在具体的变形运算中，需结合对数运算的性质进行分析，同时需对参数m进行分类讨论而得出结论。

（3）为存在性问题，可先假设存在。

结合（2）中的单调性结论，建立关于m的方程，求解可推出[α，β]的值。

试题解析：（1）由得f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），关于原点对称．
∵
∴f（x）为奇函数
（2）∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）．
设x1，x2∈[α，β]，则x1＜x2，且x1，x2＞3，
f（x1）﹣f（x2）==
∵（x1﹣3）（x2+3）﹣（x1+3）（x2﹣3）=6（x1﹣x2）＜0，
∴（x1﹣3）（x2+3）＜（x1+3）（x2﹣3），即，
∴当0＜m＜1时，log m，即f（x1）＞f（x2）；
当m＞1时，log m，即f（x1）＜f（x2），
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．
（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数，
∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[log m m（β﹣1），log m m（α﹣1）]，
则有∴
∴α，β是方程的两个解
解得当时，[α，β]=，
当时，方程组无解，即[α，β]不存在．
考点：（1）函数奇偶性的定义及证明。

（2）函数单调性的定义及证明。

（3）存在性问题及方程思想。