高中数学 1.3.3函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修2-2
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高中数学课件
1.3.3
函数的最大(小)值与导数
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XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
学习目标 1.理解最值的概念, 了解函数的最值与 极值的区别和联系. 2.会用导数求在给定 区间上函数的最大 值、最小值.
做一做
在开区间(a ,b )上的函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则下列关 于函数 f(x)在(a ,b )上的最值的说法错误的是( ) A.可能有最大值,也有最小值 B.可能没有最大值,也没有最小值 C.可能只有最大(小)值,没有最小(大)值 D.一定没有最大值,也没有最小值 答案 :D
练一练
函数 y=f(x)在[a ,b]上是减函数,则函数 y=f(x)在[a ,b]上的最大值 为 ,最小值为 . 答案 :f(a ) f(b )
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XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
试一试
函数 为
. 解析 :f'(x)=x2+4x-5,由 f'(x)=0 得 x2+4x-5=0,即 x=-5 或 x=1. 136 28 又 f(-6)=42,f(-5)= ,f(1)= ,f(3)=24,
x f' (x) f(x) 0 - 3 (- 3,-1) -1 (-1,1) 1 (1, 3) 3 ↘ 0 + -2 ↗ 02↘ 0
π π
由上表可知: 当 x=1 时 ,f(x)取得最大值,f(x)max=f(1)=2. 当 x=-1 时 ,f(x)取得最小值,f(x)min=f(-1)=-2.
首页 探究 一 探究 二 探究 三 探究 四
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2 .求函数 y=f(x)在 [a,b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的 一个是最大值,最小的一个是最小值.
思维脉络
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1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
一般地,如果在区间[a,b]上函数 y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.
π 2
由上表可知: 当 x=- 时 f(x)取得最大值 f 当
2 π x= 时 2 π
= ,
f(x)取得最小值 f
π 2
π =- . 2
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������ 变式训练 1 ������ 求下列函数的最值:
������ 2
������ ������ ������ - ,- 2 6 6 0
������ ������ ������ - , 6 6 6 + 0
������ ������ ������ , 6 2 2 -2
������
������ f(x) ↘ 2
������ 3 ↗ − 6 2
π 2
3 ������ − ↘ 2 6
探究一求函数的最值
1 .求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值,可用下面 简化的方法求得. (1)求出导数为零的点. (2)比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小 值. 2 .若函数在闭区间[a ,b]上连续且单调,则最大、最小值在端点处取得. 3 .比较极值与端点函数值的大小,有时需要利用作差或作商,甚至要分 类讨论.
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典型例题 1
求下列函数的最值: (1)f(x)=-x3+3x,x∈[- 3, 3]; (2)f(x)=sin 2x-x,x∈ - , . 2 2 思路分析:按照求函数最值的方法与步骤,通过列表进行计算与求解. 解 :(1)f'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1). 令 f'(x)=0,得 x=1,或 x=-1. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
(2)f'(x)=2cos 2x-1, π π π π 令 f'(x)=0,- ≤x≤ ,得 x=- 或 x= . 2 2 6 6 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f' (x)
(1)f(x)=ex (3-x2),x∈[2,5]; 解 :(1)∵f(x)=3ex -ex x2,∴ f'(x)=3ex -(ex x2+2ex x)=-ex(x2+2x-3)=-ex (x+3)(x-1), ∵在区间[2,5]上 ,f'(x)=-ex(x+3)(x-1)<0, 即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减, ∴x=2 时 ,函数 f(x)取得最大值 f(2)=-e2; x=5 时 ,函数 f(x)取得最小值 f(5)=-22e5. 1 1 1 1 (2)f'(x)= − x,令 f'(x)=0,即 − x=0,得 x=-2 或 1, 又 x+1>0,∴x>-1,∴x=-2 舍去. 1 ∵f(0)=0,f(1)=ln 2- ,f(2)=ln 3-1,∴该函数在区间[0,2]上的最大值为 ln 2- ,最小值为 0.
3
1 3 f(x)= x +2x2-5x+12 在[-6,3]上的最大值为 3
,最小值
∴当 x=-5 时 ,f(x)取最大值
答案 :
136 3 28 3
3 136 3
;x=1 时,f(x)取最小值 .
3
28
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1.3.3
函数的最大(小)值与导数
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学习目标 1.理解最值的概念, 了解函数的最值与 极值的区别和联系. 2.会用导数求在给定 区间上函数的最大 值、最小值.
做一做
在开区间(a ,b )上的函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则下列关 于函数 f(x)在(a ,b )上的最值的说法错误的是( ) A.可能有最大值,也有最小值 B.可能没有最大值,也没有最小值 C.可能只有最大(小)值,没有最小(大)值 D.一定没有最大值,也没有最小值 答案 :D
练一练
函数 y=f(x)在[a ,b]上是减函数,则函数 y=f(x)在[a ,b]上的最大值 为 ,最小值为 . 答案 :f(a ) f(b )
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试一试
函数 为
. 解析 :f'(x)=x2+4x-5,由 f'(x)=0 得 x2+4x-5=0,即 x=-5 或 x=1. 136 28 又 f(-6)=42,f(-5)= ,f(1)= ,f(3)=24,
x f' (x) f(x) 0 - 3 (- 3,-1) -1 (-1,1) 1 (1, 3) 3 ↘ 0 + -2 ↗ 02↘ 0
π π
由上表可知: 当 x=1 时 ,f(x)取得最大值,f(x)max=f(1)=2. 当 x=-1 时 ,f(x)取得最小值,f(x)min=f(-1)=-2.
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2 .求函数 y=f(x)在 [a,b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的 一个是最大值,最小的一个是最小值.
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1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值
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一般地,如果在区间[a,b]上函数 y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.
π 2
由上表可知: 当 x=- 时 f(x)取得最大值 f 当
2 π x= 时 2 π
= ,
f(x)取得最小值 f
π 2
π =- . 2
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������ 2
������ ������ ������ - ,- 2 6 6 0
������ ������ ������ - , 6 6 6 + 0
������ ������ ������ , 6 2 2 -2
������
������ f(x) ↘ 2
������ 3 ↗ − 6 2
π 2
3 ������ − ↘ 2 6
探究一求函数的最值
1 .求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值,可用下面 简化的方法求得. (1)求出导数为零的点. (2)比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小 值. 2 .若函数在闭区间[a ,b]上连续且单调,则最大、最小值在端点处取得. 3 .比较极值与端点函数值的大小,有时需要利用作差或作商,甚至要分 类讨论.
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典型例题 1
求下列函数的最值: (1)f(x)=-x3+3x,x∈[- 3, 3]; (2)f(x)=sin 2x-x,x∈ - , . 2 2 思路分析:按照求函数最值的方法与步骤,通过列表进行计算与求解. 解 :(1)f'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1). 令 f'(x)=0,得 x=1,或 x=-1. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
(2)f'(x)=2cos 2x-1, π π π π 令 f'(x)=0,- ≤x≤ ,得 x=- 或 x= . 2 2 6 6 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f' (x)
(1)f(x)=ex (3-x2),x∈[2,5]; 解 :(1)∵f(x)=3ex -ex x2,∴ f'(x)=3ex -(ex x2+2ex x)=-ex(x2+2x-3)=-ex (x+3)(x-1), ∵在区间[2,5]上 ,f'(x)=-ex(x+3)(x-1)<0, 即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减, ∴x=2 时 ,函数 f(x)取得最大值 f(2)=-e2; x=5 时 ,函数 f(x)取得最小值 f(5)=-22e5. 1 1 1 1 (2)f'(x)= − x,令 f'(x)=0,即 − x=0,得 x=-2 或 1, 又 x+1>0,∴x>-1,∴x=-2 舍去. 1 ∵f(0)=0,f(1)=ln 2- ,f(2)=ln 3-1,∴该函数在区间[0,2]上的最大值为 ln 2- ,最小值为 0.
3
1 3 f(x)= x +2x2-5x+12 在[-6,3]上的最大值为 3
,最小值
∴当 x=-5 时 ,f(x)取最大值
答案 :
136 3 28 3
3 136 3
;x=1 时,f(x)取最小值 .
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