逆变换与逆矩阵

2 2
1 3
2 2 3 1
2 2

1

2 3


E2

2
思考：对于一般的旋转变换是否也有类似的结论呢？
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
一般地，设 r 是一个线性变换，如果存在线性变换s ， 使得s r r s I ，则称变换 r 可逆， 并且称s 是 r 的逆变换。
I
，
3 及对于二阶矩阵 2 1 2

1

3
2 ，存在一个二阶矩阵 2
3


1
2
2
1
2 ， 3
2
3 有 2 1 2

1


3
2 2
3


1
2 2
1 3

2 2
3


1
即对应矩阵的逆矩阵唯一。
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的， 则 A 的逆矩阵唯一
证明过程
我们把 A 的逆矩阵记为 A1 ，读作 A 的逆矩阵或 A 的逆， 从而 A1 A AA1 E2
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
0 1
1
0

(4)
D

1 1
0 0
结论： 当一个矩阵表示的是平面上向量到向量 的一一映射时，它才是可逆的。
逆矩阵就是对原先变换实施的逆变换所对应的 矩阵。
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
逆矩阵的性质
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
在实数的乘法运算中，如果 a b b a 1，
我们称 a,b 互为倒数。
本讲中，我们将恒等变换 I 对应的单位矩阵 E2
作为 1 的类比对象，研究逆变换与逆矩阵。
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
探究（课本 43 页）：
对于一个线性变换r ，是否存在一个线性变换s ，
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
• 对于下列给出的线性变换，是可逆变换的是
(1) 以x轴为反射轴作反射变换; (2) 绕原点逆时针旋转600作旋转变换; (3) 横坐标不变,沿y轴方向将纵坐标伸为原来的
2倍作伸压变换; (4) 沿y轴方向,向x 轴作投影变换; (5) 纵坐标y不变,横坐标依纵坐标的比例增加,
且(x,y) (x+2y,y) 的切变变换.
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
例题2、
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆
矩阵,若存在把它求出来;若不存在,说明理由.
(1)
A

0 1
1 0
(2)
1
B


2
0
0 1
(3)
C

使得sr×rs× I ？
对于一个二阶矩阵A ，是否存在一个二阶矩阵B ，
使得 BA×AB×E 2 ？
我们先从一些特殊的线性变换来
探究此问题。
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
例
1：旋转变换
R30
:

x
'


y
'

3 2 1x 2
试从几何变换角度求矩阵AB的逆矩阵:
(1)
A

1 0
0 1
B

0 1
1
0

(2)
A

1 0
0 2
B

1
1
2

0 1
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
逆变换和逆矩阵的概念
课本52页习题5
R 即 30
R 3
0
，类似的有 R30
R30
，
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
综上所述，对旋转变换 R30 ，我们找到了一个变换 R30 ，
使得
R 3
0
R30

R30
R30

让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
如果一个线性变换是可逆的，那么它的逆变 换是唯一的吗？？
如果一个矩阵是可逆的，那么它的逆矩阵唯 一吗？？
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
对于旋转变换 R30 , 我们知道 R30

R 3
0

R30
用矩阵语言表述为：
设 A 是一个二阶矩阵，如果存在一个二阶矩阵 B ， 使得 B A A B E2 ，则称 A 可逆， 或称 A 是可逆矩阵，并且称 B 是 A 的逆矩阵
回顾例1、例2
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
一般地，
设 A 是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为 r ，
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
2.5逆变换与逆矩阵
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
上一讲我们引进了复合变换以及矩阵的乘法，并 研究了矩阵乘法的一些性质，结合矩阵的乘法， 是否还可以研究矩阵的其他性质呢？？
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
设 r,s 是两个可逆的线性变换，
那么它们的复合变换仍可逆吗？？
性质 2：设 A, B 是二阶矩阵，如果 A, B 都可逆，
则 A B 也可逆，且 ( A B)1 B1 A1
证明过程
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
例题3、
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!

R 30


I
，
设s
是变换 R30
的任意一个变换，则s

R 30


R30
s

I
，
对任意一个向量 ，我们有：
s
(
)

I (s )

(R30

R 3
0
)s

R30

(
R 3
s 0
)

R30
(I )
R30 ( )
因此，s R30 ，即旋转变换 R30 的逆变换唯一。
由矩阵与线性变换的对应关系可以看出，
A 的逆矩阵就是 r 的逆变换所对应的矩阵。
思考：是否每个二阶矩阵都可逆呢？
投影变换不可逆
对于二阶矩阵
A

1

0
0 0

，找不到二阶矩阵
B
，
使得
B

A

A
B

E2
，即
A

1 Biblioteka 00 0
不可逆
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
例题1、
x
1 2 3 2
y ,
y
把直角坐标系内的任意
一个向量
沿逆时针方向绕原点旋转
30
，设
R 3
0
' ，
如果再进行一次变换
R30
:

x'



y
'


3x 2 1x 2
1y 2, 3y 2
即把任意一个向量
沿顺时针方向绕原点旋转 30 ，这样 ' 在 R30 的作用下又变回到 ，