天津市2016-2017学年高一数学必修4：28二倍角习题课 Word版含解析
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4．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于()
A．－ B.
C．－aD．a
答案：C
解析：方法一：sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)
∵x∈[0，π]，∴x－ ∈ ，
当x－ ＝－ ，即x＝0时，f(x)min＝－ ；
当x－ ＝ ，即x＝ 时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－ ，2]．
9．已知α、β均为锐角，且tanβ＝ ，则tan(α＋β)＝__________.
答案：1
解析：tanβ＝ ＝ ＝tan ，
∵ －α，β∈ 且y＝tanx在 上是单调增函数，
∴β＝ －α，∴α＋β＝ ，∴tan(α＋β)＝tan ＝1.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．证明：cos ＋cos ＋cos ＝－2sin cos .
2．若 ＝－ ，则cosα＋sinα的值为()
A．－ B．－
C. D.
答案：C解析：方法一：原式来自边＝＝＝－2cos
＝－ (sinα＋cosα)
＝－
∴sinα＋cosα＝ ，故选C.
方法二：原式＝
＝
＝－ (sinα＋cosα)
＝－
∴cosα＋sinα＝ ，故选C.
3．若θ∈ ，sin2θ＝ ，则sin(5π－θ)＝()
28二倍角习题课
时间：45分钟满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若π<α<2π，则化简 的结果是()
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
答案：C
解析：∵π<α<2π，∴ < <π，∴cos <0，原式＝ ＝ ＝－cos .故选C.
(1)若f(θ)＝0，求 的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
解析：(1)∵a＝(1，－ )，b＝ ，
∴f(x)＝a·b＝sinx－ ＝sinx－ cosx.
∵f(θ)＝0，即sinθ－ cosθ＝0，
∴tanθ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝－2＋ .
(2)f(x)＝sinx－ cosx＝2sin ，
A. B.
C. 或 D．－
答案：A
解析：解法一：因为θ∈ ，所以2θ∈ .又sin2θ＝ ，所以cos2θ＝－ ＝－ ＝－ ，所以sin(5π－θ)＝sinθ＝ ＝ ＝ .故选A.
解法二：因为sin2θ＝ ，所以2sinθcosθ＝ ，即sinθcosθ＝ .又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin2θcos2θ＝sin2θ(1－sin2θ)＝ ，即sin4θ－sin2θ＋ ＝0，解得sin2θ＝ 或sin2θ＝ .又θ∈ ，所以 ≤sinθ≤1，所以sinθ＝ .所以sin(5π－θ)＝sinθ＝ ，故选A.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若θ∈ ，sin2θ＝ ，则sinθ的值为________．
答案：－
解析：因为θ∈ ，所以2θ∈ ，cos2θ<0，所以cos2θ＝－ ＝－ .又sinθ＝－ ＝－ ＝－ .
8. － 的值为__________．
答案：4
解析：原式＝ － ＝ ＝ ＝4.
＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.
方法二：原式＝－ (cos2α－cos2β)
＝－ (2cos2α－1－2cos2β＋1)
＝cos2β－cos2α＝－a.
5．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2 ，则△ABC是()
A．等边三角形B．等腰三角形
C．不等边三角形D．直角三角形
答案：B
解析：∵sinBsinC＝cos2 ，∴sinBsinC＝ ，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
即cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C.
6．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是()
A．[－1,1]B.
C. D.
答案：C
解析：cosAsinC＝ [sin(A＋C)－sin(A－C)]＝ － sin(A－C)，
∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈ .
所以最小正周期T＝2π，f(x)min＝－2.
(2)cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝ ，①
cos(β＋α)＝cosβcosα－sinβsinα＝－ .②
①＋②，得cosαcosβ＝0，
于是由0<α<β≤ ，得cosβ＝0，β＝ .
故f(β)＝2sin ＝ .
12．已知向量a＝(1，－ )，b＝(sinx,2cos2 －1)，函数f(x)＝a·b.
解析：左边＝ ·
＝
＝
＝－ ，
右边＝－sin ＝－ ，因为左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝sin ＋cos ，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝ ，cos(β＋α)＝－ ，0<α<β≤ ，求f(β)．
解析：(1)f(x)＝sinxcos ＋cosxsin ＋cosxcos ＋sinxsin ＝ sinx－ cosx＝2sin ，
A．－ B.
C．－aD．a
答案：C
解析：方法一：sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)
∵x∈[0，π]，∴x－ ∈ ，
当x－ ＝－ ，即x＝0时，f(x)min＝－ ；
当x－ ＝ ，即x＝ 时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－ ，2]．
9．已知α、β均为锐角，且tanβ＝ ，则tan(α＋β)＝__________.
答案：1
解析：tanβ＝ ＝ ＝tan ，
∵ －α，β∈ 且y＝tanx在 上是单调增函数，
∴β＝ －α，∴α＋β＝ ，∴tan(α＋β)＝tan ＝1.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．证明：cos ＋cos ＋cos ＝－2sin cos .
2．若 ＝－ ，则cosα＋sinα的值为()
A．－ B．－
C. D.
答案：C解析：方法一：原式来自边＝＝＝－2cos
＝－ (sinα＋cosα)
＝－
∴sinα＋cosα＝ ，故选C.
方法二：原式＝
＝
＝－ (sinα＋cosα)
＝－
∴cosα＋sinα＝ ，故选C.
3．若θ∈ ，sin2θ＝ ，则sin(5π－θ)＝()
28二倍角习题课
时间：45分钟满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若π<α<2π，则化简 的结果是()
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
答案：C
解析：∵π<α<2π，∴ < <π，∴cos <0，原式＝ ＝ ＝－cos .故选C.
(1)若f(θ)＝0，求 的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
解析：(1)∵a＝(1，－ )，b＝ ，
∴f(x)＝a·b＝sinx－ ＝sinx－ cosx.
∵f(θ)＝0，即sinθ－ cosθ＝0，
∴tanθ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝－2＋ .
(2)f(x)＝sinx－ cosx＝2sin ，
A. B.
C. 或 D．－
答案：A
解析：解法一：因为θ∈ ，所以2θ∈ .又sin2θ＝ ，所以cos2θ＝－ ＝－ ＝－ ，所以sin(5π－θ)＝sinθ＝ ＝ ＝ .故选A.
解法二：因为sin2θ＝ ，所以2sinθcosθ＝ ，即sinθcosθ＝ .又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin2θcos2θ＝sin2θ(1－sin2θ)＝ ，即sin4θ－sin2θ＋ ＝0，解得sin2θ＝ 或sin2θ＝ .又θ∈ ，所以 ≤sinθ≤1，所以sinθ＝ .所以sin(5π－θ)＝sinθ＝ ，故选A.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若θ∈ ，sin2θ＝ ，则sinθ的值为________．
答案：－
解析：因为θ∈ ，所以2θ∈ ，cos2θ<0，所以cos2θ＝－ ＝－ .又sinθ＝－ ＝－ ＝－ .
8. － 的值为__________．
答案：4
解析：原式＝ － ＝ ＝ ＝4.
＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.
方法二：原式＝－ (cos2α－cos2β)
＝－ (2cos2α－1－2cos2β＋1)
＝cos2β－cos2α＝－a.
5．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2 ，则△ABC是()
A．等边三角形B．等腰三角形
C．不等边三角形D．直角三角形
答案：B
解析：∵sinBsinC＝cos2 ，∴sinBsinC＝ ，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
即cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C.
6．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是()
A．[－1,1]B.
C. D.
答案：C
解析：cosAsinC＝ [sin(A＋C)－sin(A－C)]＝ － sin(A－C)，
∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈ .
所以最小正周期T＝2π，f(x)min＝－2.
(2)cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝ ，①
cos(β＋α)＝cosβcosα－sinβsinα＝－ .②
①＋②，得cosαcosβ＝0，
于是由0<α<β≤ ，得cosβ＝0，β＝ .
故f(β)＝2sin ＝ .
12．已知向量a＝(1，－ )，b＝(sinx,2cos2 －1)，函数f(x)＝a·b.
解析：左边＝ ·
＝
＝
＝－ ，
右边＝－sin ＝－ ，因为左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝sin ＋cos ，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝ ，cos(β＋α)＝－ ，0<α<β≤ ，求f(β)．
解析：(1)f(x)＝sinxcos ＋cosxsin ＋cosxcos ＋sinxsin ＝ sinx－ cosx＝2sin ，