广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 排列

§10.2 排列
一、内容归纳
1知识精讲：
（1）排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
（2）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.
（3）排列数公式:)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A m n )!
(!m n n -=. =n n A )!1(!-⋅=n n n
2重点难点: 正确区分排列与组合,熟练应用公式计算排列数
3思维方式: 分类讨论的思想.
4特别注意：排列数公式的连乘形式常用于计算，公式的阶乘形式常用于化简与证明.
二、题型剖析
例1： 求证:11-++=m n m n m n mA A A .
证法1:右边)!1(!)!(!+-⋅+-=m n n m m n n )!1()1(!+-++-=m n m m n n m n A m n n 1)!
1()!1(+=-++==左边 证法2:右边11)1(--⋅+⋅+-=m n m n
A m A m n 1)1(-+=m n A n ==+m n A 1左边 思维点拨：应用排列数公式进行恒等式的证明. 本题是排列数的一个性质.
练习一(变式)解方程:()22136231x x x A A A +=+；()198432-=x x A A
解：（1）()()()()1612213-++=--⨯x x x x x x x 整理得0101732=+-x x ，解得x=5或3
2
（舍）
（2）()()x x -⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯108949783 即078192
=+-x x ，解得x=13（舍）或6。

例2：有7 名学生站成一排,下列情况各有多少种不同的排法。

（1）甲、乙必须排在一起;
（2）若甲不在排头，乙不在排尾;
（3）甲、乙、丙互不相邻;
（4）甲、乙之间须隔一个人;
（5）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？
（6）若将7人分成两排，前四后三，有多少种站法？
解：（1）(捆绑法)14406622=⋅A A ； (2)37202556677=+-A A A ；
(3)(插空法)14403544=A A ; (4)1200552215=A A C ;
(5)25202
177=A ; (6)504077=A 思维点拨：解决相邻问题一般用捆绑法,解决不相邻问题一般用插空法,解决某些元素在某些位置考虑用定位法,而不在某些位置可考虑用间接法.
例3：由0,1,2,3,4共5个数字可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
（1）被4整除；（2）比21034大的偶数；（3）左起第二、四位是奇数的偶数。

解：被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分两类：
当末两位数是0，04时，其排列数为18333=A ，
当末两位数是12，24，32时，其排列数为1232
212=⋅A A 。

故满足条件的五位数共有18+12=30（个）。

（2）可分五类：当末位数是0，而首位数是2，或3或4，有183313=A A ；
当末位数是2，而首位数是3或4，有123312=A A ； 当末位数是4，而首位数是2或3，有31
122=+A A ；
当末位数是4，而首位数是3，有633=A ； 故有6+12+12+3+6=39（个）
（3）可分两类：0是末位数，有42222=⋅A A ，2或4是末位数，有41
222=⋅A A
故共有4+4=8（个）
（另解见成才之路考例3。

）
练习:由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数,问其中小于50万又不是5的倍数的数共有几个?
解:先将0和5放到中间4个数位上,然后再排其他数字,故共有2884424=A A 个数符合要求.
例4用0~9这十个数字组成没有重复数字的正整数
（1）共有几个三位数?
（2）末位数字是4的三位数有多少？
（3）求所有三位数的和;
（4）四位偶数有多少？
（5）比5231大的四位数有多少？
解：(1) 百位不能为 “0”,因此共有6482919
=⋅A A 个; （2）末位为4,百位不能为 “0”,因此共有18A ×1
8A =64个
（3）考虑各数位上的数字之和,可得所有三位数的和为:
)921(1818++⋅⋅⋅++A A +⨯+⋅⋅⋅++10)921(1818A A 100)921(29⨯⋅⋅⋅++A 355680=
（4）分末位数字是否为0两种情况考虑。

229628181439=+A A A A 种；
（5）①千位上为9,8,7,6的四位数各有3
9A 个;②千位上是5,百位上为3,4,6,7,8,9的四位数各有28A 个; ③千位上是5,百位上为2,十位上为4,6,7,8,9的四位数各有17A 个; ④千位上是
5,百位上为2,十位上为3且满足要求的共有5个,因此共有=+++=5564172839A A A N 2392种。

思维点拨:注意区分分类计数原理与分步计数原理的运用。

例5由数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作为系数,可组成多少个不同的一元二次方程 02=++c bx ax ?其中有实数的有几个?
解:(1)先确定a,而后确定b,c.共有482
414=⋅A A 个;
(2)考虑0≥∆.若c=0,则a,b 可以任意,此时共有1224=A 种;若c 不为0,则b 只能取5或7, ①当b=5时,a,c 只能取1或3,此时共有22A 个;②当b=7时,a,c 可取1,3或1,5,此时共有22
2A 种.因此,符合要求的方程共有182222224=++=A A A N 个. 思维点拨： 注意分类讨论应不重不漏.
例6：一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，问共有多少种不同的排课方法？ 解法一:（从数学课入手）
（第一类）数学排在第一节，班会课排在下午，其余四科任排，得484
4121==A A N
（第二类）数学排在上午另三节中的一节，班会排在下午，体育排在余下（不会第一节）三
节中的一节，其余三科任排，得108131213=A A A ∴ 共有排法1561084821=+=+=N N N （种）
解法二（从体育课入手）
（第一类）体育课在上午 1083312131311=⋅⋅⋅=P P P P N
（第二类）体育课在下午 484
4222=⋅=P P N
共有排法1564810821=+=+=N N N （种）
思维点拨:特殊的位置和特殊的元素优先参与排列。

三、课堂小结
对带有限制条件的排列问题,要掌握基本的解题思想方法:
(1) 直接法:位置分析法,元素分析法,捆绑法,插空法;
(2) 间接法;
(3) 一般排列应用题应从特殊元素和特殊位置入手解决.
四、作业布置
P410:ex7 P411:ex5.6.7 五、课后体会。