2017-2018学年福建省莆田市八年级(下)期中数学试卷(解析版)

2017-2018学年福建省莆田市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A. B. C. D.
2.下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是（）
A. 3，5，7
B. 5，7，8
C. 4，6，7
D. 1，，2
3.下列二次根式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
4.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，
则∠A等于（）
A. B. C. D.
5.下列计算错误的是（）
A. B.
C. D.
6.如图，点P是平面坐标系中一点，则点P到原点的距离是（）
A. 3
B.
C.
D.
7.关于▱ABCD的叙述，正确的是（）
A. 若，则▱ABCD是菱形
B. 若，则▱ABCD是正方形
C. 若，则▱ABCD是矩形
D. 若，则▱ABCD是正方形
8.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的
面积是（）
A. B. 16 C. D. 8
9.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB
交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）
A. 5
B. 4
C.
D.
10.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和
CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，
交FG于点P，则GT=（）
A.
B.
C. 2
D. 1
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.已知，则x+y=______．
12.如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC
边上的中线BD的长为______cm．
13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点
O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为______．
14.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面
积分别记为S1、S2，则S1+S2等于________．
15.如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）
中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有______个．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
16.计算：
（1）2+3--；
（2）（7+4）（7-4）-（-1）2．
四、解答题（本大题共7小题，共95.0分）
17.如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的
延长线于F，若CD=6，求BF的长．
18.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙ON上，这时梯足B到墙底端O
的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
19.如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，
过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点
F．求证：AM=EF．
20.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，DC=12，
AD=13，求四边形ABCD的面积．
21.如图，两张宽度相等的纸条叠放在一起，重叠部分构成四边形
ABCD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若纸条宽3cm，∠ABC=60°，求四边形ABCD的面积．
22.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是
AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，
连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）填空：
①当AB=AC时，四边形ADCF是______形；
②当∠BAC=90°时，四边形ADCF是______形．
23.（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长
CD到点G，使DG=BE，连接EF，AG．求证：EF=FG；
（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：由题意得：2x-1≥0，
解得：x≥，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件可得2x-1≥0，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】D
【解析】
解：A.因为32+52≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；
B.因为52+72≠82，所以不能构成直角三角形，此选项错误；
C.因为42+62≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；
D.因为12+（）2=22，能构成直角三角形，此选项正确．
故选D．
分别计算每一组中，较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大
数的平方即可判断．
3.【答案】D
【解析】
解：A、=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、=2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式：满足①被开方数中不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）的二次根式叫最简二次根式．
4.【答案】C
【解析】
解：∵DE=DC，∠C=80°，
∴∠DEC=80°，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC=80°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-80°=100°，
故选：C．
根据等边对等角可得∠DEC=80°，再根据平行线的性质可得∠B=∠DEC=80°，∠A=180°-80°=100°．
此题主要考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．
5.【答案】D
【解析】
解：A、==7，正确；
B、==2，正确；
C、+=3+5=8，正确；
D、，故错误．故选D．
根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
6.【答案】A
【解析】
解：连接PO，∵点P的坐标是（，），
∴点P到原点的距离==3．
故选A．
连接PO，在直角坐标系中，根据点P的坐标是
（，），可知P的横坐标为，纵坐标为
，然后利用勾股定理即可求解．
此题主要考查学生对勾股定理、坐标与图形性质的理解和掌握，解答此题的关键是明确点P的横坐标为，纵坐标为．
7.【答案】C
【解析】
解：∵▱ABCD中，AB BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；
∵▱ABCD中，AC BD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；
∵▱ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，选项C正确；
∵▱ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误．
故选：C．
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D 错误，C正确；即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC BD，OA=OC=AC=×4=2，∠BAC=
∠BAD=×120°=60°，
∴AC=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，OB=2，
∴BD=2OB=4，
∴该菱形的面积是：AC•BD=×4×4=8．
故选C．
首先由四边形ABCD是菱形，求得AC BD，OA=AC，∠BAC=∠BAD，然后在直角三角形AOB中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与
方程思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线积的一半．
9.【答案】D
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM=3，
∴DC=6，
∵AD=BC=10，
∴AC==2，
∴BO=AC=，
故选：D．
已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以
及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长．
10.【答案】B
【解析】
解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°-90°-45°=45°，
∴∠DTG=180°-∠GDT-∠CGE=180°-45°-45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG=8-4=4，
∴GT=×4=2．
故选：B．
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出
∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰
直角三角形的判定与性质．
11.【答案】1
【解析】
解：∵，
∴，
解得，
则x+y=-1+2=1，
故答案为1．
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质，利用该性质建立关于x、y的方程组是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
解：∵AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，由勾股定理的逆定理得，△ABC是直角三角形，
∴BD=AC=cm．
由勾股定理的逆定理，判断三角形为直角三角形，再根据直角三角形的性质
直接求解．
解决此题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，明确了直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半之后此题就不难了．
13.【答案】20
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵BC=9，BD=14，AC=8，
∴AD=9，OA=4，OD=7，
∴△AOD的周长为：AD+OA+OD=20．
故答案为：20．
首先根据平行四边形的对边相等、对角线互相平分，求出AD、OA、OD的长度，代入AD+OA+OD计算即可求出所填答案．
本题用到的知识点是平行四边形的性质，利用性质（平行四边形的对边相等、对角线互相平分）进行计算是解此题的关键．
14.【答案】2π
【解析】
解：S1=π（）2=πAC2，S2=πBC2，
所以S1+S2=π（AC2+BC2）=πAB2=2π．
故答案为2π．
根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．
15.【答案】3n
【解析】
解：在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1C1∥AB1A1B1∥BC1A1C1∥B1C
A1C1=AB1A1B1=BC1A1C1=B1C，
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个．
在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
同理可证：四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、
A2C2B2C1是平行四边形，共有6个．
…
按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
根据平行四边形的判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．在图（1）中，有3个平行四边形；在图（2）中，有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．由特殊到一般，善于从中找出规律是关键．
16.【答案】解：（1）原式=4+2--
=2；
（2）原式=49-48-（3-2+1）
=1-4+2
=2-3．
【解析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功
倍．
17.【答案】解：∵E是▱ABCD的边AD的中点，
∴AE=DE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AB∥CD，
∴∠F=∠DCE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD=6，
∴BF=AB+AF=12．
【解析】
由平行四边形的性质得出AB=CD=6，AB∥CD，由平行线的性质得出
∠F=∠DCE，由AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF=CD=6，即可求出BF的长．此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键．
18.【答案】解：在直角△ABO中，AB为斜边，已知AB=2.5米，BO=0.7米，
则根据勾股定理求得AO==2.4米，
∵A点下移0.4米，
∴CO=2米，
在Rt△COD中，已知CD=2.5米，CO=2米，
则根据勾股定理DO==1.5米，
∴BD=OD-BO=1.5米-0.7米=0.8米，
所以梯子向外平移0.8米．
【解析】
在直角△ABO中，已知AB，BO可以求AO，在△COD中，再利用勾股定理计算出DO的长，进而可得BD的长．
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理的灵活运用，本
题中找到AB=CD的等量关系是解题的关键．
19.【答案】证明：延长EM交AD于点P，延长FM交AB
于点Q，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，点M为对角线BD上一点，
∴四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF
为矩形，
∴AQ=PM=FM，QM=ME．
在△AQM和△FME中，，
∴△AQM≌△FME（SAS），
∴AM=EF．
【解析】
延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，根据正方形的性质可得出：四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，进而可得出
AQ=FM，QM=ME，结合∠AQM=∠FME=90°即可证出△AQM≌△FME（SAS），再利用全等三角形的性质可证出AM=EF．
本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质，利用全等三角形的判定定值SAS证出△AQM≌△FME是解题的关键．
20.【答案】解：连接AC，∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵DC=12，AD=13，
∴AC2+DC2=52+122=25+144=169，
AD2=132=169，
∴AC2+DC2=AD2，
∴△ACD是∠ACD=90°的直角三角形，
四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，
=AB•BC+AC•CD
=×3×4+×5×12
=6+30
=36．
【解析】
连接AC，然后根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理逆定理计算出∠ACD=90°，然后根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，列式进行计算即可得解．
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，连接AC，构造出直角三角形是解题的关键．
21.【答案】解：（1）过点A作AE BC于E，AF CD于F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE=AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S
=BC•AE=CD•AF．
▱ABCD
又∵AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠ABC=60°，AE=3cm，
∴AB==2cm，
∴BC=2cm，
∴四边形ABCD的面积=AE•BC=6cm2．
【解析】
（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
（2）解直角三角形求得菱形的边长，根据平行四边形的面积公式求得即可．本题考查了菱形的判定、解直角三角形以及四边形的面积，证得四边形为菱形是解题的关键．．
22.【答案】矩；菱
【解析】
证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EBD．
在△AEF和△DEB中
∵，
∴△AEF≌△DEB（AAS）．
∴AF=BD．
∴AF=DC．
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）①当AB=AC时，四边形ADCF是矩形；
②当∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形．
故答案为矩形，菱形．
（1）首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB（AAS），进而得出AF=BD，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案；
（2）①根据矩形的判定定理即可得到结论；②根据菱形的判定定理即可得到结论．
此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出
△AEF≌△DEB是解题关键．
23.【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
∠ABE=∠ADG，AD=AB，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF=FG；
（2）解：如图，过点C作CE BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，
，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，
，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．
∴MN2=BM2+NC2．
∵BM=1，CN=3，
∴MN2=12+32，
∴MN=．
【解析】
（1）证△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，根据全等三角形的性质求出即可；（2）过点C作CE BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角
∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到
∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边
MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；。