高等学校春季招生考试(学业水平考试)数学试题 含答案

上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
考试注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。

2.本试卷共有31道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。

一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1. 函数2log (2)y x =+的定义域是
2. 方程28x
=的解是 3. 抛物线28y x =的准线方程是 4. 函数2sin y x =的最小正周期是
5. 已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =-，。

若//a b ，则实数 k =
6. 函数4sin 3cos y x x =+的最大值是
7. 复数23i +（i 是虚数单位）的模是
8. 在ABC ∆中，角 A B C 、
、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= 9. 在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，
异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参
加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 概率为 （结果用数值表示）。

11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到： 因为2
2
36=23⨯，所以36的所有正约数之和为
22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（
参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为
二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，
D 1
C 1
B 1
A 1
D C A
B
选对得3分，否则一律得0分。

13.展开式为ad-bc 的行列式是（ ）
（A ）
a b d c
(B)
a c
b d
(C)
a d
b c
(D)
b a d c
14.设-1()f x
为函数()f x =
）
(A) 1(2)2f -= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f -= (D) 1(4)4f -= 15.直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）
(A) (2 3)-，
(B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16函数12
()f x x -=的大致图像是（ ）
17.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）
(A)
11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b
-<- 18.若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称
(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19. 10
(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）
（A ）45x （B ）2
90x （C ） 3
120x （D ）4
252x
20.既是偶函数又在区间(0 )π，
上单调递减的函数是（ ） （A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ）
（A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22.设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ） （A ）u
Z
N （B ）u
N
N （C ）()u u ∅ （D ）{0}u
23.已知 a b c R ∈、、，“2
40b ac -<”是“函数2
()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”
的（ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件
24.已知 A B 、
为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2
MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）
（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

25.（本题满分7分）
如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，16AA =，异面直线1BC 与1
AA 所成角的大小为6
π
，求该三棱柱的体积。

[解]
26（本题满分7分）
如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B ∠为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。

[解]
27．（本题满分8分）
已知数列{}n a 的前n 项和为2
n S n n =-+，数列{}n b 满足2
n
a n
b =，求
12lim n n b b b →∞
++
+（）。

B 1
A 1
C 1
A
C
B
A
B C
[解]
28.（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分。

已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，，短轴的两个端点分别为12 B B 、 （1）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程;
（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点，且11F P FQ ⊥，
求直线l 的方程。

[解]（1）
（2）
29.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

已知抛物线2 4C y x =： 的焦点为F 。

（1）点 A P 、
满足2AP FA =-。

当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程； （2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。

[解]（1）
（2）
30.（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分。

在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记1n n n P AP θ+∠=，n N *
∈。

（1）若31
arctan
3
θ=，求点A 的坐标； （2）若点A
的坐标为(0，求n θ的最大值及相应n 的值。

[解]（1）
（2）
31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分。

已知真命题：“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”。

（1）将函数32()3g x x x =-的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标； （2）求函数2
2()log 4x
h x x
=- 图像对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”。

判断该命题的真假。

如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。

[解]（1）
（2） （3）
20XX
年上海市普通高等学校春季招生考试
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参考答案 一．（第1至12题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。

1．(2,)-+∞ 2 . 3 3. 2x =- 4. 2π 5. 3
4
- 6. 5
7. 8. 7 9. 3
π 10. 45 11. 257
66n n - 12. 4836
二．（第13至24题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。

三．（第25至31题） 25.[解]因为1CC 1AA .
所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角，即1BC C ∠=
6
π。

在Rt 1BC C ∆
中，11tan 63
BC CC BC C =⋅∠=⨯
=,
从而2ABC S BC ∆=
=
因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ∆=⋅==
26.[解]如图，设矩形为EBFP , FP 长为x 米，其中040x <<，
健身房占地面积为y 平方米。

因为CFP ∆∽CBA ∆， 以
FP CF BA CB =，504050x BF -=,求得5
504
BF x =-， 从而255(50)5044y BF FP x x x x =⋅=-=-+2
5(20)5005004
x =--+≤，
当且仅当20x =时，等号成立。

答：该健身房的最大占地面积为500平方米。

27.[解]当2n ≥时，221(1)(1)22n n n a s s n n n n n -=-=-++---=-+。

且110a s ==，所以n a =22n -+。

因为22
112
()4n n n b -+-==，所以数列{}n b 是首项为1、公比为1
4
的无穷等比数列。

故12lim n n b b b →∞+++（）14
13
14
==-。

28[解]（1）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>。

根据题意知22
21
a b a b =⎧⎨-=⎩， 解得243a =，213b = 故椭圆C 的方程为22
14133
x y +=。

（2）容易求得椭圆C 的方程为2
212
x y +=。

当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-。

A
B C
F P
E
由22(1)12
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=。

设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，，则
22121211112222
42(1) (1 ) (1 )2121
k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， 因为11F P FQ ⊥，所以11
0F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--
2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++
2271
021
k k -=
=+， 解得2
17k =
，即k =。

故直线l
的方程为10x -=
或10x -=。

29.（1）设动点P 的坐标为( )x y ，，点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，, 因为F 的坐标为(1 0)，，所以(1 )A A FA x y =-，，
由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，。

即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨
-=-⎩ 解得2A A x x
y y
=-⎧⎨=-⎩
代入2
4y x =，得到动点P 的轨迹方程为2
84y x =-。

（2）设点Q 的坐标为( 0)t ，
.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，， 则12
2y
x t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩ 解得3545x t y t
⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
若Q '在C 上，将Q '的坐标代入2
4y x =，得24150t t +=，即0t =或154
t =-。

所以存在满足题意的点Q ，其坐标为(0 0)，
和15
( 0)4
-，。

30．[解]（1）设(0 )A t ，
，根据题意，12n n x -=。

由31arctan 3θ=，知31tan 3
θ=， 而3
443343
223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t t
θ--=∠-∠===+⋅++⋅
， 所以2
41
323
t t =+，解得4t =或8t =。

故点A 的坐标为(0 4)，或(0 8)，。

（2）由题意，点n P 的坐标为1
(2
0)n -，
，1tan n n OAP -∠=。

1
11212tan tan()12n n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===。

n +≥
，所以tan n
θ≤=
当且仅当2n
n
=，即4n =时等号成立。

易知0 tan 2n y x π
θ<<
=，在(0 )2
π
，上为增函数， 因此，当4n =时，n θ
最大，其最大值为arctan
4。

31.（1）平移后图像对应的函数解析式为3
2
(1)3(1)2y x x =+-++， 整理得3
3y x x =-，
由于函数33y x x =-是奇函数，
由题设真命题知，函数()g x 图像对称中心的坐标是(1
2)-，。

（2）设2
2()log 4x
h x x
=-的对称中心为( )P a b ，
，由题设知函数()h x a b +-是奇函数。

设()(),f x h x a b =+-则2
2()
()log 4()
x a f x b x a +=--+，即2
22()log 4x a f x b a x +=---。

由不等式
2204x a a x
+>--的解集关于原点对称，得2a =。

此时22(2)()log (2 2)2x f x b x x +=-∈--，，。

任取(2,2)x ∈-，由()()0f x f x -+=，得1b =， 所以函数22()log 4x h x x
=-图像对称中心的坐标是(2 1)，。

（3）此命题是假命题。

举反例说明：函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像，但是对任意实数a 和b ，函数()y f x a b =+-，即y x a b =+-总不是偶函数。

修改后的真命题：
“函数()y f x =的图像关于直线x a =成轴对称图像”的充要条件是“函数()y f x a =+是偶函数”。