江苏省常熟市2018届高三上学期期中考试数学试题+Word版含解析

2017-2018学年第一学期高三期中调研试卷数学第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：（本大题共14个小题,每小题5分,共70分．将答案填在答题纸上．）1. 已知集合，，，则__________．【答案】【解析】∵，，∴，又∴故答案为：点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 函数的定义域为__________．【答案】【解析】x应该满足：，解得：∴函数的定义域为故答案为：3. 设命题；命题，那么是的__________条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．【答案】充分不必要【解析】命题q：x2﹣5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，∵命题p：x＞4；故p是q的：充分不必要条件，故答案为：充分不必要4. 已知幂函数在是增函数，则实数的值是__________．【答案】1【解析】∵幂函数在是增函数∴，解得：故答案为：15. 已知曲线在处的切线的斜率为2，则实数的取值是__________．【答案】【解析】f′（x）=3ax2+，则f′（1）=3a+1=2，解得：a=，故答案为：．点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．（2）已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.（3）求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．6. 已知等比数列中，，，则__________．【答案】4【解析】设等比数列{a n}的公比是q，由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，则a1=1，q2=2，∴，故答案为：4．7. 函数图象的一条对称轴是，则的值是__________．【答案】【解析】∵函数图象的一条对称轴是，∴即，又∴故答案为：8. 已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】∵函数f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上单调递减，∴f（x）在（0，+∞）上也单调递减，又∵函数f（x）为奇函数且f（2）=0，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0∴不等式等价于①或②解得：x∈（﹣2，0）∪（1，2），故答案为：（﹣2，0）∪（1，2）．9. 已知，则的值是__________．【答案】【解析】∵，∴而故答案为：10. 若函数（且）的值域为，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】当x≤2时，y=﹣x+8≥6，要使函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则有x＞2时，函数y=log a x+5≥6，∴，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．11. 已知数列，满足，，，则__________．【答案】【解析】∵，，∴，，∴，，归纳猜想：∴故答案为：12. 设的内角的对边分别是，为的中点，若且，则面积的最大值是__________．【答案】【解析】由b=acosC+csinA，正弦定理：sinB=sinAcosC+sinCsinA即sin（A+C）=sinAcosC+sinCsinA可得：sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA∴cosAsinC=sinCsinA，∵sinC≠0∴cosA=sinA，即tanA=1．0＜A＜180°，∴A=45°在三角形ADC中：由余弦定理可得：即2bc=4b2+c2﹣8．∵4b2+c2≥4bc，∴bc≤=那么S=bcsinA=．故答案为：．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.13. 已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最小值是__________．【答案】【解析】函数，若对任意的实数，则：f（α）∈[﹣，0]，由于使f（α）+f（β）=0，则：f（β）∈[0，]．，，β=，所以：实数m的最小值是．故答案为：14. 已知函数，若直线与交于三个不同的点，，（其中），则的取值范围是__________．【答案】【解析】作出函数，的图象如图：设直线y=ax与y=lnx相切于（x0，lnx0），则，∴曲线y=lnx在切点处的切线方程为y﹣lnx0=（x﹣x0），把原点（0，0）代入可得：﹣lnx0=﹣1，得x0=e．要使直线y=ax与y=f（x）交于三个不同的点，则n∈（1，e），联立，解得x=．∴m∈（,），（﹣2，），∴的取值范围是（1，）．故答案为：（1，）．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知函数（）的图象与轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1），（2）时，有最大值为；时，有最小值为0.【解析】试题分析：(1)根据三角函数图象的特征明确的值；(2)在给定的范围上，结合正弦函数的图象求出在上的最大值和最小值.试题解析：解：（1）∵图象上相邻两个最高点之间的距离为，∴的周期为，∴且，∴，此时，又∵的图象与轴相切，∴且，∴；（2）由（1）可得，∵，∴，∴当，即时，有最大值为；当，即时，有最小值为0.16. 在中，角所对的边分别是，已知，且. （1）当，时，求的值；（2）若角为锐角，求的取值范围.【答案】（1）或，（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理把已知等式化为即可利用已知条件解方程组.（2）当角为锐角可转化为，从而再由由可得所以..试题解析：由题意得,.(I) 当时，,解得(II)∴,又由可得所以.17. 已知数列的前项和是，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，，，若不等式对有解，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）根据（1）的结论，进一步利用分离参数法的应用求出λ的范围．试题解析：解：（1）∵，∴，∴，又当时，由得符合，∴，∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，∴通项公式为；（2）∵，∴是以3为首项，3为公差的等差数列，∴，∴，即，即对有解，设，∵，∴当时，，当时，，∴，∴，∴.18. 如图所示的自动通风设施.该设施的下部是等腰梯形，其中为2米，梯形的高为1米，为3米，上部是个半圆，固定点为的中点.是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和平行.当位于下方和上方时，通风窗的形状均为矩形（阴影部分均不通风）.（1）设与之间的距离为（且）米，试将通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；（2）当与之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积取得最大值？【答案】（1），（2）当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积取得最大值.【解析】试题分析：（1）三角形的面积与x的关系是分段函数，所以分类讨论即可．....................................试题解析：解：（1）当时，过作于（如下图），则，，，由，得，∴，∴；当时，过作于，连接（如下图），则，，∴，∴，综上：；（2）当时，在上递减，∴；2°当时，，当且仅当，即时取“=”，∴，此时，∴的最大值为，答：当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积取得最大值.19. 已知函数，.（1）求过点的的切线方程；（2）当时，求函数在的最大值；（3）证明：当时，不等式对任意均成立（其中为自然对数的底数，）.【答案】（1），（2）当时，的最大值为；当时，的最大值为；（3）见解析【解析】试题分析：（1）设出切点坐标，表示出切线方程，代入点的坐标，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出F（x）的最大值即可；（3）问题可化为m＞（x﹣2）e x+lnx﹣x，设，要证m≥﹣3时m ＞h（x）对任意均成立，只要证h（x）max＜﹣3，根据函数的单调性证明即可．试题解析：解：（1）设切点坐标为，则切线方程为，将代入上式，得，，∴切线方程为；（2）当时，，，∴，，当时，，当时，，∴在递增，在递减，∴当时，的最大值为；当时，的最大值为；（3）可化为，设，，要证时对任意均成立，只要证，下证此结论成立.∵，∴当时，，设，则，∴在递增，又∵在区间上的图象是一条不间断的曲线，且，，∴使得，即，，当时，；当时，，；∴函数在递增，在递减，∴，∵在递增，∴，即，∴当时，不等式对任意均成立.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.20. 已知数列各项均为正数，，，且对任意恒成立，记的前项和为.（1）若，求的值；（2）证明：对任意正实数，成等比数列；（3）是否存在正实数，使得数列为等比数列.若存在，求出此时和的表达式；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见解析（3）存在使数列为等比数列，此时，.【解析】试题分析：（1）根据，，且对任意恒成立，代值计算即可．（2）a1=1，a2=2，且a n a n+3=a n+1a n+2对任意n∈N*恒成立，则可得，从而的奇数项和偶数项均构成等比数列，即可证明，（3）在（2）中令，则数列是首项为3，公比为的等比数列，从而得到，．又数列为等比数列，解得，∴，，∴求出此时和的表达式.试题解析：解：（1）∵，∴，又∵，∴；（2）由，两式相乘得，∵，∴，从而的奇数项和偶数项均构成等比数列，设公比分别为，则，，又∵，∴，即，设，则，且恒成立，数列是首项为，公比为的等比数列，问题得证；（3）在（2）中令，则数列是首项为3，公比为的等比数列，∴，且，，，，∵数列为等比数列，∴即即解得（舍去），∴，，从而对任意有，此时，为常数，满足成等比数列，当时，，又，∴，综上，存在使数列为等比数列，此时，.2017-2018学年第一学期高三期中调研试卷数学（附加）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. A．（几何证明选讲）如图，为圆的直径，在圆上，于，点为线段上任意一点，延长交圆于，.（1）求证：；（2）若，求的值.【答案】（1）见解析，（2）4【解析】试题分析：（1）连接，∵，∴，又，∴为等边三角形，∵，∴为中边上的中线，∴；（2）连接，证明，∴，即.试题解析：（1）证明：连接，∵，∴，又，∴为等边三角形，∵，∴为中边上的中线，∴；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）解：连接，∵，边等边三角形，可求得，∵为圆的直径，∴，∴，又∵，∴，∴，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：几何证明选讲.22. B．（矩阵与变换）已知矩阵，，求的值.【答案】【解析】试题分析：矩阵的特征多项式为，令，解得矩阵的特征值，，进而求得：的值.试题解析：矩阵的特征多项式为，令，解得矩阵的特征值，，当时特征向量为，当时特征向量为，又∵，∴.23. C．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线和圆的直角坐标方程；（2）若圆任意一条直径的两个端点到直线的距离之和为，求的值.【答案】（1），（2）或.【解析】试题分析：（1）将t参数消去可得直线l的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2带入圆C可得直角坐标系方程；（2）利用点到直线的距离公式求解即可．试题解析：（1）直线的普通方程为；圆的直角坐标方程为；（2）∵圆任意一条直径的两个端点到直线的距离之和为，∴圆心到直线的距离为，即，解得或.24. D．（不等式选讲）设均为正数，且，求证：.【答案】见解析【解析】试题分析：作差再利用均值不等式得=试题解析：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，，=，所以．考点：均值不等式【必做题】每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25. 在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏.第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2，…，10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7，…，10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2，…，5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物.已知客人甲参加了该游戏.（1）求甲拿到礼物的概率；（2）设表示甲参加游戏的轮数，求的概率分布和数学期望.【答案】（1），（2）见解析【解析】试题分析：（1）甲拿到礼物的事件为A，在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲拿到礼物的概率．（2）随机变量ξ的所有可能取值是1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列及数学期望．试题解析：（1）甲拿到礼物的事件为，在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，则，答：甲拿到礼物的概率为；（2）随机变量的所有可能取值是1,2,3,4.，，，，随机变量的概率分布列为：所以.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.26. （1）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）设，试比较与的大小，并证明你的结论.【答案】（1），（2）见解析【解析】试题分析：（1）利用导函数分类讨论研究其单调性即可求解；（2）在（1）中取a=1，得，令，上式即为，，累加即可证明.试题解析：（1）原问题等价于对任意恒成立，令，则，当时，恒成立，即在上单调递增，∴恒成立；当时，令，则，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，即存在使得，不合题意；综上所述，的取值范围是.（2）在（1）中取，得，令，上式即为，即，上述各式相加可得.。